成考專升本高等數(shù)學(xué)(二)重點及解析(精簡版)

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高等數(shù)學(xué)（二）重點知識及解析（占80分左右） Ⅰ、函數(shù)、極限 一、基本初等函數(shù)(又稱簡單函數(shù))： （1）常值函數(shù)： （2）冪函數(shù)： （3）指數(shù)函數(shù)：(〉0, （4）對數(shù)函數(shù)：(〉0, （5）三角函數(shù)：，，， （6）反三角函數(shù)：，，， 二、復(fù)合函數(shù)：要會判斷一個復(fù)合函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成的。 例如：是由，這兩個個簡單函數(shù)復(fù)合而成. 例如：是由，和這三個簡單函數(shù)復(fù)合而成. 該部分是后面求導(dǎo)的關(guān)鍵！ 三、極限的計算 1、利用函數(shù)連續(xù)性求極限（代入法）：對于一般的極限式（即非未定式），只要將代入到函數(shù)表達式中，函數(shù)值即是極限值，即。 注意：（1）常數(shù)極限等于他本身，與自變量的變化趨勢無關(guān)，即。 （2）該方法的使用前提是當?shù)臅r候，而時則不能用此方法。 例1：，，，， 例2： 例3： （非特殊角的三角函數(shù)值不用計算出來） 2、未定式極限的運算法 （1）對于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，將代入后函數(shù)值即是極限值。 例1：計算. ………未定式，提取公因式 解：原式= 例2：計算. ………未定式，提取公因式 解：原式=== （2）對于未定式：分子、分母同時除以未知量的最高次冪，然后利用無窮大的倒數(shù)是無窮小的這一關(guān)系進行計算。 例1：計算 ………未定式，分子分母同時除以n 解：原式 ………無窮大倒數(shù)是無窮小 例2：計算. ………未定式，分子分母同除以 解：原式== ………無窮大倒數(shù)是無窮小，因此分子是0分母是2 3、利用等價無窮小的代換求極限 （1）定義：設(shè)和是同一變化過程中的兩個無窮小，如果=1，稱與是等價無窮小，記作～. （2）定理：設(shè)、、、均為無窮小，又～，～，且存在 則= 或 （3）常用的等價無窮小代換：當時， ～, ～ 例1：當時，～2，～ 例2：極限=== ………用2等價代換 例3：極限== ………用等價代換 Ⅱ、一元函數(shù)的微分學(xué) 一、導(dǎo)數(shù)的表示符號 （1）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)記作： ， 或 （2）函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)記作： ， 或 二、求導(dǎo)公式（必須熟記） （1） （C為常數(shù)） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例：1、= 2、 3、= 4、 5、 6、 三、導(dǎo)數(shù)的四則運算 運算公式（設(shè)U，V是關(guān)于X的函數(shù)，求解時把已知題目中的函數(shù)代入公式中的U和V即可，代入后用導(dǎo)數(shù)公式求解.） （1） （2） 特別地（為常數(shù)） （3） 例1：已知函數(shù)，求. 解：=== 例2：已知函數(shù)，求和. 解：=== 所以= （注意：lne=1,ln1=0） 例3：已知函數(shù)，求. 解：=== 四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 1、方 法 一： 例如求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）首先判斷該復(fù)合函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成的. 如由和這兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成 （2）用導(dǎo)數(shù)公式求出每個簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 即=，=2 （3）每個簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積即為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；注意中間變量要用原變量替代回去. ∴=2=2 2、方 法 二（直接求導(dǎo)法）： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 等于 構(gòu)成該復(fù)合函數(shù)的簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。如果對導(dǎo)數(shù)公式熟悉，對復(fù)合函數(shù)的過程清楚，可以不必寫出中間變量而直接對復(fù)合函數(shù)從外往里求導(dǎo). 例1：設(shè)函數(shù)，求. 解：==== 例2：設(shè)函數(shù)，求. 解：=== 注意：一個復(fù)合函數(shù)求幾次導(dǎo)，取決于它由幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成。 五、高階導(dǎo)數(shù) 1、二階導(dǎo)數(shù)記作：， 或 我們把二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù). 2、求法：（1）二階導(dǎo)數(shù)就是對一階導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo) （2）三階導(dǎo)數(shù)就是對一階導(dǎo)數(shù)求兩次導(dǎo)，對二階導(dǎo)求一次導(dǎo) 例1：已知，求. 解：∵=，∴= 例2：已知，求. 解：∵==，∴=2=4 即= 六、微分的求法： （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （2）再乘以即可.即. 例1：已知，求. 解：∵==== ∴= 例2：設(shè)函數(shù)，求. 解：∵== ∴= Ⅲ、二元函數(shù)的微分學(xué) 一、多元函數(shù)的定義：由兩個或兩個以上的自變量所構(gòu)成的函數(shù)，稱為多元函數(shù)。其自變量的變化范圍稱為定義域，通常記作。 例如：二元函數(shù)通常記作：， 二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 1、偏導(dǎo)數(shù)的表示方法： （1）設(shè)二元函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)對和對的偏導(dǎo)數(shù)記為： ，， ； ，， （2）設(shè)二元函數(shù)，則函數(shù)在點處對和對的偏導(dǎo)數(shù)記為： ，， ； ，，； 2、偏導(dǎo)數(shù)的求法 （1）對求偏導(dǎo)時，只要將看成是常量，將看成是變量，直接對求導(dǎo)即可. （2）對求偏導(dǎo)時，只要將看成是常量，將看成是變量，直接對求導(dǎo)即可. 如果要求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)，只要求出上述偏導(dǎo)函數(shù)后將和代入即可. 例1：已知函數(shù)，求和. 解：=，= 例2：已知函數(shù)， 求和. 解：=，= 三、全微分 1、全微分公式：函數(shù)在點處全微分公式為： 2、全微分求法：（1）、先求出兩個一階偏導(dǎo)數(shù)和. （2）、然后代入上述公式即可. 例1：設(shè)函數(shù)，求. 解：∵=，= ∴ 例2：設(shè)函數(shù)，求. 解：∵=， = ∴ 四、二階偏導(dǎo)的表示方法和求法： （1）=== ……兩次都對求偏導(dǎo) （2）=== ……先對求偏導(dǎo)，再對求偏導(dǎo) （3）==== ……先對求偏導(dǎo)，再對求偏導(dǎo) （4）=== ……兩次都對求偏導(dǎo) 可見二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)共四種，它們都是的函數(shù)。在求二階偏導(dǎo)的時候一定要注意對變量的求導(dǎo)次序（寫在符號前面的變量先求偏導(dǎo)）. 例1：設(shè)函數(shù)，求，，和. 解：∵=， = 得=，=，=，= 例2：設(shè)函數(shù)，求，. 解：∵= 得=，= Ⅳ、一元函數(shù)的積分學(xué) 一、原函數(shù)的定義：設(shè)是區(qū)間I上的一個可導(dǎo)函數(shù)，對于區(qū)間I上的任意一點， 都有 ，則稱是在區(qū)間I上的一個原函數(shù). 例1：，因此是的一個原函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù). 由于，可見只要函數(shù)有一個原函數(shù)，那么他的原函數(shù)就有無窮多個. 例2：設(shè)的一個原函數(shù)為，求. 解：因為是的一個原函數(shù)，即=，所以===. 得== （注：） 二、不定積分 （一）、定義：我們把的所有原函數(shù)稱為在區(qū)間I上的不定積分，記作： （其中） 注意：不定積分是原函數(shù)的的全體，因此計算結(jié)果常數(shù)C勿忘！ （二）、不定積分的性質(zhì) 〈1〉 〈2〉 （其中為常數(shù)） （三）、基本積分公式（和導(dǎo)數(shù)公式一樣，必須熟記） 〈1〉 〈2〉 （k為常數(shù)） 〈3〉 〈4〉 〈5〉 〈6〉 〈7〉 〈8〉 〈9〉 例1： 例2：（利用換元法，設(shè)） 又如： （四）、不定積分的計算 1、直接積分法：對被積函數(shù)進行恒等變形，并用積分性質(zhì)和積分公式進行積分的方法。 例1：=== 例2： 2、湊微分法 （1）適用前提：如果被積函數(shù)是兩個函數(shù)相乘（或相除）或者被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)（通常為較為簡單的復(fù)合函數(shù)）的情況，此時可以考慮用湊微分法。 （2）湊微分法解法步驟 〈1〉湊微分 〈2〉換 元 〈3〉直接積分法 〈4〉反換元 例1：求不定積分 解：原式== ……（1.湊微分）將湊成 = ……（2.換 元）將換元成 = ……（3.直接積分法）求出的不定積分 = ……（4.反換元）再用反換元 例2：求不定積分 解：原式= ……（1.湊微分）將湊成 = ……（2.換 元）將換元成 = ……（3.直接積分法）求出的不定積分 = ……（4.反換元）再用反換元 例3：求不定積分 解：原式= ……（1.湊微分）將湊成 = ……（2.換 元）將換元成 = ……（3.直接積分法）求出的不定積分 = ……（4.反換元）再用反換元 注意：湊微分時要注意湊完微分后前后變量要統(tǒng)一！如果能熟練掌握換元過程，此時就可以不必寫出中間變量，而直接進行積分。 例4：== （將湊成） 例5：== （將湊成） 3、分部積分法（考到概率為40℅左右，要了解的可參考重點解析“詳細版”） 三、不定積分 （一）、定積分的定義：由曲邊梯形的面積引出定義公式 A= （A為曲邊梯形的面積） 其中為被積函數(shù)，為積分區(qū)間，為積分下限，為積分上限。 用定積分所要注意的事項： 1、因為定積分是曲邊梯形的面積，因此定積分的值一定是一個常數(shù)，所以對定積分求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值必為零。 例： ， 2、當a=b時，=0 因定積分上限b＞a，當b＜a時，= 例：， （二）、定積分的計算 1、變上限積分的計算 （1）定義：積分上限為變量時的定積分稱為變上限積分，變上限積分是上限的函數(shù)， 記作 （2）變上限積分的導(dǎo)數(shù)： ……將代入到即可 例1：設(shè)，則. 例2： 2、牛頓—萊布尼茨公式 （1）公式：如果是連續(xù)函數(shù)在上的一個原函數(shù)，則有 == （2）由公式可知：連續(xù)函數(shù)在上定積分，就是的一個原函數(shù)在上的增量（上限值減下限值）。而連續(xù)函數(shù)的不定積分，就是的全體原函數(shù)（原函數(shù)后面加常數(shù)C）?？梢姸ǚe分和不定積分的計算都是圍繞求原函數(shù)進行的。 例1：求定積分 解：原式=== 例2：求定積分 （將湊成） 解：原式==== 例3：求定積分 （將湊成） 解：原式===== 注意：用湊微分法計算定積分時，在換元時，由于引入了新的變量，故原變量的積分限要更換成新變量的積分限;如不想更換積分限，可省略換元步驟。 3、分部積分法（考到概率為40℅左右，要了解的可參考重點解析“詳細版”） 附表：幾個特殊角的三角函數(shù)值 角 度 三 角 - 不存在 不存在 不存在 不存在 不存在 不存在 12