【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科不等式與線性劃】專題2 第5練

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第5練　如何讓“線性規(guī)劃”不失分 [題型分析高考展望]　“線性規(guī)劃”也是高考每年必考內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式考查，題目難度大多數(shù)為低、中檔，在填空題中出現(xiàn)時(shí)難度稍高.二輪復(fù)習(xí)中，要注重?？碱}型的反復(fù)訓(xùn)練，注意研究新題型的變化點(diǎn)，爭取在該題目上做到不誤時(shí)，不丟分. 常考題型精析 題型一　已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值 例1　若變量x，y滿足約束條件且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 點(diǎn)評　(1)確定平面區(qū)域的方法：“直線定界，特殊點(diǎn)定域”. (2)線性目標(biāo)函數(shù)在線性可行域中的最值，一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，故可先求出可行域的頂點(diǎn)，然后代入比較目標(biāo)函數(shù)的取值即可確定最值. 變式訓(xùn)練1　(2014山東)已知x，y滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a2＋b2的最小值為(　　) A.5 B.4 C. D.2 題型二　解決參數(shù)問題 例2　(2014浙江)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 點(diǎn)評　所求參數(shù)一般為對應(yīng)直線的系數(shù)，最優(yōu)解的取得可能在某點(diǎn)，也可能是可行域邊界上的所有點(diǎn)，要根據(jù)情況利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行確定.有時(shí)還需分類討論. 變式訓(xùn)練2　(2015山東)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于(　　) A.3 B.2 C.－2 D.－3 題型三　簡單線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用 例3　設(shè)變量x，y滿足約束條件則lg(y＋1)－lg x的取值范圍為(　　) A.[0,1－2lg 2] B.[1，] C.[，lg 2] D.[－lg 2,1－2lg 2] 點(diǎn)評　若變量的約束條件形成一個(gè)區(qū)域，如圓、三角形、帶狀圖形等，都可考慮用線性規(guī)劃的方法解決，解決問題的途徑是：集中變量的約束條件得到不等式組，畫出可行域，確定變量的取值范圍，解決具體問題. 變式訓(xùn)練3　(2015課標(biāo)全國Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________. 高考題型精練 1.(2015北京)若x，y滿足則z＝x＋2y的最大值為(　　) A.0 B.1 C. D.2 2.(2015安徽)已知x，y滿足約束條件則z＝－2x＋y的最大值是(　　) A.－1 B.－2 C.－5 D.1 3.(2014課標(biāo)全國Ⅰ)不等式組的解集記為D，有下面四個(gè)命題： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2； p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命題是(　　) A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3 4.(2015青島聯(lián)考)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1，1)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是(　　) A.[－1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[－1,2] 5.(2015重慶)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為(　　) A.－3 B.1 C. D.3 6.設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 7.某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為(　　) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 8.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是9，則實(shí)數(shù)a的值為________. 9.在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)作圓M，則最大圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________. 10.拋物線y＝x2在x＝1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界).若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x＋2y的取值范圍是______________. 11.4件A商品與5件B商品的價(jià)格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價(jià)格之和不大于24，則買3件A商品與9件B商品至少需要________元. 12.給定區(qū)域D：令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線. 答案精析 第5練　如何讓“線性規(guī)劃”不失分 常考題型精析 例1　B [畫出可行域，如圖陰影部分所示. 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z. 由得 ∴A(－1，－1). 由得 ∴B(2，－1). 當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，zmin＝2(－1)－1＝－3＝n.當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，zmax＝22－1＝3＝m，故m－n＝6.] 變式訓(xùn)練1　B [線性約束條件所表示的可行域如圖所示. 由解得 所以z＝ax＋by在A(2,1)處取得最小值，故2a＋b＝2， a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.] 例2　[1，] 解析　畫可行域如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，則a>0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范圍是[1，]. 變式訓(xùn)練2　B [不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示. 易知A(2,0)， 由得B(1,1). 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. ∴當(dāng)a＝－2或a＝－3時(shí)，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)a＝2或3時(shí)，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值， ∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.] 例3　A [如圖所示，作出不等式組確定的可行域. 因?yàn)閘g(y＋1)－lg x ＝lg ，設(shè)t＝， 顯然，t的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)E(0，－1)連線的斜率. 由圖，可知點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，t取得最小值； 點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，t取得最大值. 由解得即B(3,2)； 由解得即C(2,4). 故t的最小值為kBE＝＝1， t的最大值為kCE＝＝，所以t∈[1，]. 又函數(shù)y＝lg x為(0，＋∞)上的增函數(shù)， 所以lg t∈[0，lg ]， 即lg(y＋1)－lg x的取值范圍為[0，lg ]. 而lg ＝lg 5－lg 2＝1－2lg 2， 所以lg(y＋1)－lg x的取值范圍為[0,1－2lg 2]. 故選A.] 變式訓(xùn)練3　3 [畫出可行域如圖陰影所示， ∵表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率， ∴點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大. 由　得 ∴A(1,3).∴的最大值為3.] 高考題型精練 1.D [可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為y＝－x＋z，當(dāng)直線y＝－x＋z過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z取得最大值2. ] 2.A [約束條件下的可行域如圖所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，當(dāng)直線y＝2x＋z過點(diǎn)A(1,1)時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為－1，故選A.] 3.C [作出不等式組表示的可行域，如圖 (陰影部分). 由得交點(diǎn)A(2，－1). 目標(biāo)函數(shù)的斜率k＝－>－1， 觀察直線x＋y＝1與直線x＋2y＝0的傾斜程度，可知u＝x＋2y過點(diǎn)A時(shí)取得最小值0.(y＝－＋，表示縱截距)結(jié)合題意知p1，p2正確.] 4.C [作出可行域，如圖所示，由題意＝－x＋y. 設(shè)z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，過點(diǎn)(1,1)時(shí)z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；過點(diǎn)(0,2)時(shí)z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴的取值范圍是[0,2].] 5.B [不等式組表示的區(qū)域如圖，則圖中A點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝1＋m，B點(diǎn)縱坐標(biāo)yB＝， C點(diǎn)橫坐標(biāo)xC＝－2m， ∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)＝＝， ∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1.] 6.C [當(dāng)m≥0時(shí)，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，因此m<0. 如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域. 要使可行域內(nèi)包含y＝x－1上的點(diǎn)，只需可行域邊界點(diǎn)(－m，m)在直線y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.] 7.C [設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時(shí)租金為z元， 則z＝1 600x＋2 400y， x、y滿足 畫出可行域如圖. 直線y＝－x＋過點(diǎn) A(5,12)時(shí)縱截距最小， ∴zmin＝51 600＋2 40012＝36 800， 故租金最少為36 800元.] 8.1 [如圖陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，據(jù)題意易知平面區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，其中A(a，a＋4)，C(a，－a)，故|AC|＝|2a＋4|，則S△ABC＝|2a＋4||a＋2|＝9，解得a＝1或a＝－5(不合題意，應(yīng)舍去).] 9.(x－1)2＋y2＝4 [在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，所求的圓M是相應(yīng)的平面區(qū)域的邊界三角形的內(nèi)切圓，設(shè)所求的圓心M坐標(biāo)是(a，b)，于是有由此解得a＝1，b＝0，相應(yīng)的圓的半徑是3－a＝2，因此所求的圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋y2＝4.] 10. 解析　由y＝x2得y′＝2x，則y′|x＝1＝2， 拋物線y＝x2在x＝1處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，切線y＝2x－1與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域D如圖所示(陰影部分). 由y＝0得x＝， 知A 由x＝0得y＝－1知，B(0，－1) 因此－2≤x＋2y≤. 11.22 解析　設(shè)1件A商品的價(jià)格為x元，1件B商品的價(jià)格為y元，買3件A商品與9件B商品需要z元，則z＝3x＋9y，其中x，y滿足不等式組作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，其中A(0,4)，B(0,8)， C(，). 當(dāng)y＝－x＋z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值.所以zmin＝3＋9＝22. 因此當(dāng)1件A商品的價(jià)格為元，1件B商品的價(jià)格為元時(shí)，可使買3件A商品與9件B商品的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為22元. 12.6 解析　線性區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，取得最小值時(shí)點(diǎn)為(0,1)，最大值時(shí)點(diǎn)為(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可確定6條不同的直線.