【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科】第二篇 第4講
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第4講 數(shù)列問題 題型一 數(shù)列通項與求和 例1 (12分)(2014江西)已知首項都是1的兩個數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn=,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=3n-1,求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 規(guī)范解答 解 (1)因為bn≠0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, 得-+2=0,[2分] 即-=2,[3分] 所以cn+1-cn=2, 所以{cn}是以c1==1為首項,2為公差的等差數(shù)列,[5分] 所以cn=1+(n-1)2=2n-1.[6分] (2)因為bn=3n-1,cn=2n-1. 所以an=cnbn=(2n-1)3n-1.[7分] 所以Sn=130+331+532+…+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,[9分] 作差得: -2Sn=1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n =-2-(2n-2)3n,[11分] 所以Sn=(n-1)3n+1.[12分] 評分細則 第(1)問得分點 1.利用已知條件合理轉(zhuǎn)化得2分. 2.寫成等差數(shù)列定義形式得1分. 3.得出其首項、公差進而寫出通項得3分. 第(2)問得分點 1.由bn=3n+1,cn=2n-1,得到{an}的通項得1分. 2.在等式兩端同乘以3給2分. 3.錯位相減給1分. 4.錯位相減后求和正確得2分. 5.最后結(jié)果整理得1分. 第一步:由已知條件確定{an}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列; 第二步:由等差數(shù)列或等比數(shù)列通項公式求得{an}的通項公式; 第三步:分析表達式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.(例如:公式法、裂項法,本題用錯位相減法); 第四步:明確規(guī)范表述結(jié)論; 第五步:反思回顧.查看關(guān)鍵點,易錯點及解題規(guī)范.如本題中在求an時,易忽視對n=1,n≥2時的討論. 跟蹤訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+kn(其中k∈N*),且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k,并求an; (2)求數(shù)列的前n項和Tn. 題型二 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 例2 (12分)(2014浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列,且a1=2,b3=6+b2. (1)求an與bn; (2)設(shè)cn=-(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ①求Sn; ②求正整數(shù)k,使得對任意n∈N*,均有Sk≥Sn. 規(guī)范解答 解 (1)由題意知a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6, 知a3==()6=8.[2分] 又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去), 所以數(shù)列{an}的通項為an=2n(n∈N*),[4分] 所以,a1a2a3…an==()n(n+1). 故數(shù)列{bn}的通項為bn=n(n+1)(n∈N*).[6分] (2)①由(1)知cn=-=- =-(n∈N*), Sn=-(1-+-+…+-), 所以Sn=-(n∈N*).[8分] ②因為c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,[9分] 當(dāng)n≥5時,cn=, 而-=>0, 得≤<1, 所以,當(dāng)n≥5時,cn<0.[11分] 綜上,對任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.[12分] 評分細則 第(1)問得分點 1.利用已知條件得到a3=8得2分;得出b2,b3的關(guān)系式也給1分. 2.解對an=2n得2分,求出q可得1分,但q=-2不舍去不得分. 3.解出bn得2分. 第(2)問得分點 1.裂項得1分,求和寫出正確結(jié)果得1分,不管過程有無. 2.驗算前4項給1分. 3.驗算后給出最后結(jié)果給2分. 4.證明方式不唯一,只要論證合理,同樣得分. 第一步:由已知條件和數(shù)列性質(zhì)求基本量,確定數(shù)列的特性(等差或等比數(shù)列); 第二步:求出an或Sn的通項公式; 第三步:分析an,Sn涉及的函數(shù)或不等式,利用相關(guān)函數(shù)或不等式性質(zhì)解決題目中的問題; 第四步:得出結(jié)果,敘述完整; 第五步:回顧反思.查驗“n”的取值是否符合要求,運算過程是否有不當(dāng)之處. 跟蹤訓(xùn)練2 已知點是函數(shù)f(x)=ax (a>0,且a≠1)的圖象上的一點.等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)-c.數(shù)列{bn} (bn>0)的首項為c,且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=+ (n≥2). (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)若數(shù)列的前n項和為Tn,問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少? 答案精析 第4講 數(shù)列問題 跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)當(dāng)n=k∈N*時,Sn=-n2+kn取最大值, 即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4, 從而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2). 又a1=S1=,所以an=-n. (2)因為bn==, Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++, 所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+- =4--=4-. 跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)∵f(1)=a=,∴f(x)=x. 由題意知,a1=f(1)-c=-c, a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-, a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-. 又數(shù)列{an}是等比數(shù)列, ∴a1===-=-c, ∴c=1.又公比q==, ∴an=-n-1=-2n (n∈N*). ∵Sn-Sn-1=(-)(+) =+ (n≥2). 又bn>0,>0,∴-=1. ∴數(shù)列{}構(gòu)成一個首項為1、公差為1的等差數(shù)列, =1+(n-1)1=n,即Sn=n2. 當(dāng)n≥2時,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 當(dāng)n=1時,b1=1也適合此通項公式. ∴bn=2n-1 (n∈N*). (2)Tn=+++…+ =+++…+ =+++…+==. 由Tn=>,得n>, ∴滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為101.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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