【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 選講】專題9 第43練
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第43練 不等式選講 [題型分析高考展望] 本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法.求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍,不等式的證明等,結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問(wèn)題及基本不等式,絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn),主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想. ??碱}型精析 題型一 含絕對(duì)值不等式的解法 例1 已知函數(shù)f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2},求a的值. 點(diǎn)評(píng) (1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟: ①求零點(diǎn);②劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào);③分別解去掉絕對(duì)值的不等式;④取每個(gè)結(jié)果的并集,注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值. (2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式,使得代數(shù)問(wèn)題幾何化,既通俗易懂,又簡(jiǎn)潔直觀,是一種較好的方法. 變式訓(xùn)練1 (2014重慶改編)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 題型二 不等式的證明 例2 (1)已知x,y均為正數(shù),且x>y.求證:2x+≥2y+3. (2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足:|x+y|<,|2x-y|<, 求證:|y|<. 點(diǎn)評(píng) (1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法.作差法證明不等式的一般步驟:①作差;②分解因式;③與0比較;④結(jié)論.關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力. (2)在不等式的證明中,適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧. 變式訓(xùn)練2 (1)若a,b∈R,求證:≤+. (2)已知a,b,c均為正數(shù),a+b=1,求證:++≥1. 題型三 利用算術(shù)—幾何平均不等式或柯西不等式證明或求最值 例3 (1)已知a,b,c均為正數(shù),證明:a2+b2+c2+(++)2≥6,并確定a,b,c為何值時(shí),等號(hào)成立; (2)已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求++的最大值. 點(diǎn)評(píng) 利用算術(shù)—幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí),首先要觀察式子特點(diǎn),構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式,其次要注意取得最值的條件是否成立. 變式訓(xùn)練3 (2015福建)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (1)求a+b+c的值; (2)求a2+b2+c2的最小值. 高考題型精練 1.(2015江蘇)解不等式x+|2x+3|≥2. 2.(2015陜西)已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}. (1)求實(shí)數(shù)a,b的值; (2)求+的最大值. 3.(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)若a>0,b>0,且+=. (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由. 4.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值. 5.設(shè)a、b、c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1. 6.(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0). (1)證明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范圍. 7.(2014福建)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3. 8.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍. 答案精析 第43練 不等式選講 ??碱}型精析 例1 解 (1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)+|x-4| = 當(dāng)x≤2時(shí),由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 當(dāng)2<x<4時(shí),f(x)≥4-|x-4|無(wú)解; 當(dāng)x≥4時(shí),由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5; 所以f(x)≥4-|x-4|的解集為{x|x≤1或x≥5}. (2)記h(x)=f(2x+a)-2f(x), 則h(x)= 由|h(x)|≤2,解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}, 所以于是a=3. 變式訓(xùn)練1 解 設(shè)y=|2x-1|+|x+2| = 當(dāng)x<-2時(shí),y=-3x-1>5; 當(dāng)-2≤x<時(shí),y=-x+3>;當(dāng)x≥時(shí),y=3x+1≥,故函數(shù)y=|2x-1|+|x+2|的最小值為.因?yàn)椴坏仁絴2x-1|+|x+2|≥a2+a+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,所以≥a2+a+2.解不等式≥a2+a+2,得-1≤a≤,故a的取值范圍為[-1,]. 例2 證明 (1)因?yàn)閤>0,y>0,x-y>0, 2x+-2y =2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+≥ 3=3, 所以2x+≥2y+3, (2)因?yàn)?|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 由題設(shè)知|x+y|<,|2x-y|<, 從而3|y|<+=, 所以|y|<. 變式訓(xùn)練2 證明 (1)當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立. 當(dāng)|a+b|≠0時(shí),由0<|a+b|≤|a|+|b|?≥, 所以= ≤= ≤+. (2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b, +a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c, 所以++≥1. 例3 解 (1)方法一 因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由算術(shù)—幾何平均不等式得 a2+b2+c2≥3(abc) ,① ++≥3(abc), 所以(++)2≥9(abc).② 故a2+b2+c2+(++)2 ≥3(abc) +9(abc) . 又3(abc) +9(abc) ≥2=6,③ 所以原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立. 當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)=9(abc) 時(shí),③式等號(hào)成立. 故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí),原不等式等號(hào)成立. 方法二 因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.① 同理++≥++,② 故a2+b2+c2+(++)2 ≥ab+bc+ac+++≥6.③ 所以原不等式成立. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),①式和②式等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時(shí),③式等號(hào)成立. 故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí),原不等式等號(hào)成立. (2)方法一 利用算術(shù)—幾何平均不等式 (++)2 =(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+2+2+2 ≤(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+[(3a+1)+(3b+1)]+[(3b+1)+(3c+1)]+[(3a+1)+(3c+1)] =3[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]=18, ∴++≤3, ∴(++)max=3. 方法二 利用柯西不等式 ∵(12+12+12)[()2+()2+()2] ≥(1+1+1)2 ∴(++)2 ≤3[3(a+b+c)+3]. 又∵a+b+c=1, ∴(++)2≤18, ∴++≤3, 當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),等號(hào)成立. ∴(++)max=3. 變式訓(xùn)練3 解 (1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí),等號(hào)成立. 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b. 所以f(x)的最小值為a+b+c. 又已知f(x)的最小值為4, 所以a+b+c=4. (2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1) ≥2=(a+b+c)2=16, 即a2+b2+c2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=,b=,c=時(shí)等號(hào)成立. 故a2+b2+c2的最小值為. 高考題型精練 1.解 原不等式可化為 或 解得x≤-5或x≥-. 綜上,原不等式的解集是 . 2.解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 則解得a=-3,b=1. (2)+ =+ ≤ =2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=1時(shí)等號(hào)成立,故(+)max=4. 3.解 (1)由=+≥,得ab≥2,且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立. 故a3+b3≥2≥4, 且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立. 所以a3+b3的最小值為4. (2)由(1)知,2a+3b≥2≥4. 由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6. 4.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}. (2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0. 此不等式化為不等式組 或 即或 因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為{x|x≤-}. 由題設(shè)可得-=-1,故a=2. 5.證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c. 所以++≥1. 6.(1)證明 由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2. 所以f(x)≥2. (2)解 f(3)=+|3-a|. 當(dāng)a>3時(shí),f(3)=a+, 由f(3)<5,得31化為|x+1|-2|x-1|-1>0. 當(dāng)x≤-1時(shí),不等式化為x-4>0,無(wú)解; 當(dāng)-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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