中考數(shù)學(xué) 第一編 教材知識(shí)梳理篇 第三章 函數(shù)及其圖象 第六節(jié) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用試題
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第六節(jié) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 ,河北8年中考命題規(guī)律) 年份 題號(hào) 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2014 9 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 以正方形板材面積與成本關(guān)系為背景，利用二次函數(shù)關(guān)系求板材邊長 3 3 2013 25 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 以運(yùn)輸為背景，給出幾組數(shù)據(jù)，(1)求二次函數(shù)解析式；(2)(3)問通過二次函數(shù)解析式求某一點(diǎn)的值；(4)求使二次函數(shù)值保持不變的條件 12 12 2012 24(2) 一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用 以工廠生產(chǎn)薄板為背景，(2)①求滿足關(guān)系的二次函數(shù)解析式；②求最大利潤 5 5 2011 8 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 以拋小球?yàn)楸尘?，已知函?shù)解析式求最大高度 2 2 2010 26(1) (2)(3) 一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 以銷售節(jié)能產(chǎn)品為背景，(1)代入函數(shù)解析式求值；(2)求滿足關(guān)系的二次函數(shù)解析式；(3)求利潤最大時(shí)x的值及a的值 9 9 2009 9 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 以剎車為背景，已知?jiǎng)x車距離與剎車速度的二次函數(shù)解析式，求開始剎車時(shí)的速度 2 2 命題 規(guī)律 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用為河北近8年中考每年的必考考點(diǎn)，題型一般為選擇、解答題，分值為2－12分，在選擇中考查比較簡單，解答中綜合性較強(qiáng)．縱觀河北8年考查內(nèi)容可以看出，?？碱愋陀校?1)單純二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，其中在選擇題中考查了3次，在解答題中考查了2次；(2)二次函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合，其中在解答題中考查了2次．近兩年沒考． 命題預(yù)測 預(yù)計(jì)2017年會(huì)以考查一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用問題為主．一般設(shè)問求函數(shù)的解析式，然后通過解析式求最值問題，題型以解答題為主. ,河北8年中考真題及模擬) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6次) 1．(2014河北9題3分)某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設(shè)邊長為x cm，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝18，那么當(dāng)成本為72元時(shí)，邊長為( A ) A．6 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm 2．(2009河北9題2分)某車的剎車距離y(m)與開始剎車時(shí)的速度x(m/s)之間滿足二次函數(shù)y＝x2(x>0)．若該車某次的剎車距離為5 m，則開始剎車時(shí)的速度為( C ) A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s 3．(2011河北8題2分)一個(gè)小球被拋出后，距離地面的高度h(m)和飛行時(shí)間t(s)滿足下面函數(shù)關(guān)系式：h＝－5(t－1)2＋6，則小球距離地面的最大高度是( C ) A．1 m B．5 m C．6 m D．7 m 4．(2012河北24題9分)某工廠生產(chǎn)一種合金薄板(其厚度忽略不計(jì))，這些薄板的形狀均為正方形，邊長(單位：cm)在5～50之間．每張薄板的成本價(jià)(單位：元)與它的面積(單位：cm2)成正比例．每張薄板的出廠價(jià)(單位：元)由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)． 薄板的邊長(cm) 20 30 出廠價(jià)(元/張) 50 70 (1)求一張薄板的出廠價(jià)與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式； (2)已知出廠一張邊長為40 cm的薄板，獲得的利潤是26元(利潤＝出廠價(jià)－成本價(jià))． ①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng)邊長為多少時(shí)，出廠一張薄板獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ [參考公式：拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是] 解：(1)設(shè)一張薄板的邊長為x cm，出廠價(jià)為y元，則y＝2x＋10；(2)①設(shè)一張薄板的利潤為w元，則w＝－x2＋2x＋10；②出廠一張邊長為25 cm的薄板，獲得的利潤最大，最大利潤是35元． 5．(2013河北25題12分)某公司在固定線路上運(yùn)輸，擬用運(yùn)營指數(shù)Q量化考核司機(jī)的工作業(yè)績．Q＝W＋100，而W的大小與運(yùn)輸次數(shù)n及平均速度x(km/h)有關(guān)(不考慮其他因素)，W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數(shù)據(jù)． 次數(shù)n 2 1 速度x 40 60 指數(shù)Q 420 100 (1)用含x和n的式子表示Q； (2)當(dāng)x＝70，Q＝450時(shí)，求n的值； (3)若n＝3，要使Q最大，確定x的值； (4)設(shè)n＝2，x＝40，能否在n增加m%(m>0)同時(shí)x減少m%的情況下，而Q的值仍為420，若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說明理由． [參考公式：拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是] 解：(1)∴Q＝－x2＋6nx＋100； (2)將x＝70，Q＝450代入Q＝－x2＋6nx＋100中，得450＝－702＋670n＋100，解得n＝2； (3)當(dāng)n＝3時(shí)，Q＝－x2＋18x＋100＝－(x－90)2＋910. ∵－<0，∴函數(shù)圖象開口向下，有最大值， 則當(dāng)x＝90時(shí)，Q有最大值， 即要使Q最大，x＝90； (4)由題意，得420＝－[40(1－m%)]2＋62(1＋m%)40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50. ,中考考點(diǎn)清單) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用為每年的必考點(diǎn)，題型多為選擇、解答題，有以下兩種?？碱愋停?1)單純二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；(2)與一次函數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用．出題形式有三種：(1)以某種產(chǎn)品的銷售為背景；(2)以公司的工作業(yè)績?yōu)楸尘埃?3)以某公司裝修所需材料為背景．設(shè)問方式主要有：(1)列函數(shù)關(guān)系式并求值；(2)求最優(yōu)解；(3)求最大利潤及利潤最大時(shí)自變量的值；(4)求最小值；(5)選擇最優(yōu)方案． 解二次函數(shù)應(yīng)用題步驟及關(guān)鍵點(diǎn) 步驟 關(guān)鍵點(diǎn) (1)分析問題 明確題中的常量與變量及其它們之間的關(guān)系，確定自變量及函數(shù) (2)建立模型，確定函數(shù)解析式 根據(jù)題意確定合適的解析式或建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 (3)求函數(shù)解析式 變量間的數(shù)量關(guān)系表示及自變量的取值范圍 續(xù)表 (4)應(yīng)用性質(zhì)，解決問題 熟記頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法，注意a的正負(fù)及自變量的取值范圍 【方法技巧】(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤問題，應(yīng)理清變量所表示的實(shí)際意義，注意隱含條件的使用，同時(shí)考慮問題要周全，此類問題一般是運(yùn)用“總利潤＝總售價(jià)－總成本”或“總利潤＝每件商品所獲利潤銷售數(shù)量”，建立利潤與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)最值：若函數(shù)的對(duì)稱軸在自變量的取值范圍內(nèi)，頂點(diǎn)坐標(biāo)即為其最值，若頂點(diǎn)坐標(biāo)不是其最值，那么最值可能為自變量兩端點(diǎn)的函數(shù)值；若函數(shù)的對(duì)稱軸不在自變量的取值范圍內(nèi)，可根據(jù)函數(shù)的增減性求解，再結(jié)合兩端點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)比，從而求解出最值． 中考重難點(diǎn)突破) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 【例】(2016石家莊二十八中二模)為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價(jià)是40元，超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒． (1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售的利潤P(元)最大？最大利潤是多少？ (3)為穩(wěn)定物價(jià)，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6 000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？ 【解析】(1)根據(jù)“當(dāng)售價(jià)定為每盒45元時(shí)，每天可以賣出700盒，每盒售價(jià)每提高1元，每天要少賣出20盒”即可得出每天的銷售量y(盒)與每盒售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)利潤＝1盒粽子所獲利的利潤銷售量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；(3)先由(2)中所求得的P與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)這種粽子的每盒售價(jià)不得高于58元，且每天銷售粽子的利潤不低于6 000元，求出x的取值范圍，再根據(jù)(1)中， 所求得的銷售量y(盒)與每盒售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式即可求解． 【學(xué)生解答】解：(1)y＝700－20(x－45)＝－20x＋1 600； (2)P＝(x－40)(－20x＋1 600)＝－20x2＋2 400x－64 000＝－20(x－60)2＋8 000.∵x≥45，a＝－20<0，∴當(dāng)x＝60時(shí)，P最大＝8 000.即當(dāng)每盒售價(jià)定為60元時(shí)，每天銷售的利潤最大，最大利潤為8 000元； (3)由題意，得－20(x－60)2＋8 000＝6 000.解得x1＝50，x2＝70.∵拋物線P＝－20(x－60)2＋8 000的開口向下，∴當(dāng)50≤x≤70時(shí)，每天銷售粽子的利潤不低于6 000元．又∵x≤58，∴50≤x≤58.∵在y＝－20x＋1 600中，k＝－20<0，∴y隨x的增大而減?。喈?dāng)x＝58時(shí)，y最?。剑?058＋1 600＝440.即超市每天至少銷售粽子440盒． (2016唐山九中二模)某動(dòng)車站在原有的普通售票窗口外新增了無人售票窗口，普通售票窗口從上午8點(diǎn)開放，而無人售票窗口從上午7點(diǎn)開放，某日從上午7點(diǎn)至10點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口售出的車票數(shù)y1(張)與售票時(shí)間x(h)的變化趨勢(shì)如圖①，每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù)y2(張)與售票時(shí)間x(h)的變化趨勢(shì)是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，如圖②.若該日截至上午9點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口與每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù)恰好相同． (1)求圖②中所確定拋物線的解析式； (2)若該日共開放5個(gè)無人售票窗口，截至上午10點(diǎn)，兩種窗口共售出的車票數(shù)不少于900張，則至少需要開放多少個(gè)普通售票窗口？ 解：(1)設(shè)y2＝ax2，當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝y(tǒng)1＝40.把(2，40)代入y2＝ax2，得a＝10.∴y2＝10x2； (2)設(shè)y1＝kx＋b(1≤x≤3)，把(1，0)，(2，40)分別代入y1＝kx＋b，得解得∴y1＝40x－40.當(dāng)x＝3時(shí)，y1＝80，y2＝90.設(shè)需要開放m個(gè)普通售票窗口，∴80m＋905≥900，∴m≥5.∵m為整數(shù)，∴m≥6. 答：至少需要開放6個(gè)普通售票窗口． ,中考備考方略) 1．(2016葫蘆島中考)小明開了一家網(wǎng)店，進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，計(jì)劃經(jīng)銷甲、乙兩種商品．若甲商品每件利潤10元，乙商品每件利潤20元，則每周能賣出甲商品40件，乙商品20件．經(jīng)調(diào)查，甲、乙兩種商品零售單價(jià)分別每降價(jià)1元，這兩種商品每周可各多銷售10件．為了提高銷售量，小明決定把甲、乙兩種商品的零售單價(jià)都降價(jià)x元． (1)直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y(件)與降價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式：y甲＝__10x＋40__，y乙＝__10x＋20__； (2)求出小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W(元)與降價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式．如果每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的，那么當(dāng)x定為多少元時(shí)，才能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大？ 解：由題意得W＝(10－x)(10x＋40)＋(20－x)(10x＋20)＝－20x2＋240x＋800，由題意得10x＋40≥(10x＋20)，解得x≤2，W＝－20x2＋240x＋800＝－20(x－6)2＋1 520.∵a＝－20<0，∴當(dāng)x<6時(shí)，W隨x的增大而增大．∴當(dāng)x＝2時(shí)，W的值最大． 答：當(dāng)x定為2元時(shí)，才能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大． 2．(2016滄州九中模擬)如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12 m，寬是4 m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且拋物線上的點(diǎn)C到墻面OB的水平距離為3 m，到地面OA的距離為 m. (1)求該拋物線的關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離； (2)一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6 m，寬為4 m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？ (3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8 m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？ 解：(1)y＝－x2＋2x＋4.∴當(dāng)x＝－＝6時(shí)，y最大＝10，即拱頂D到地面OA的距離為10 m； (2)由題知車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為(2，0)或(10，0)，當(dāng)x＝2或x＝10時(shí)，y＝>6，∴能安全通過； (3)令y＝8，即－x2＋2x＋4＝8，可得x2－12x＋24＝0，解得x1＝6＋2，x2＝6－2，x1－x2＝4. 答：兩排燈的水平距離最小是4 m. 3．(2016鄂州中考)鄂州市化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)一種化工原料若干千克，價(jià)格為每千克30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每千克60元，不低于每千克30元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y(kg)是銷售單價(jià)x(元)的一次函數(shù)，且當(dāng)x＝60時(shí)，y＝80；x＝50時(shí)，y＝100.在銷售過程中，每天還要支付其他費(fèi)用450元． (1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； (2)求該公司銷售該原料日獲利W(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？ 解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，根據(jù)題意，得解得∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)； (2)由題意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6 450，∴所求函數(shù)的關(guān)系式為W＝－2x2＋260x－6 450(30≤x≤60)； (3)W＝－2(x－65)2＋2 000.∵－2<0，∴當(dāng)30≤x≤60時(shí)，y隨x的增大而增大．∴當(dāng)x＝60時(shí)，W有最大值為1 950，∴當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，該公司日獲利最大，最大利潤為1 950元． 4．(2016泉州中考)某校在基地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，帶隊(duì)老師考問學(xué)生：基地計(jì)劃新建一個(gè)矩形的生物園地，一邊靠舊墻(墻足夠長)，另外三邊用總長69 m的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個(gè)寬為3 m的出入口，如圖所示，如何設(shè)計(jì)才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生爭議的情境： 請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問題： (1)設(shè)AB＝x m(x>0)，試用含x的代數(shù)式表示BC的長； (2)請(qǐng)你判斷誰的說法正確，為什么？ 解：(1)72－2x；(2)小英說法正確．矩形面積S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648.∵72－2x>0，∴x<36，∴0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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