九年級數(shù)學上學期10月月考試卷（含解析） 蘇科版 (4)

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2016-2017學年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 一、填空題：（本大題共12題，每題2分，共24分） 1．若關于x的一元二次方程x（2x﹣3）=﹣4的一般形式中二次項系數(shù)為2，則一次項系數(shù)為　?。? 2．方程（x﹣1）2=4的解為　?。? 3．已知==，若2x+3y﹣z=18，則x﹣y+z=　　． 4．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一個根是0，則a的值是　?。? 5．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，則BC的長是　?。? 6．如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，則CD的長為　?。? 7．已知關于x的方程kx2﹣4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍　　． 8．等腰△ABC的底和腰的長恰好是方程x2﹣4x+3=0的兩個根，則等腰△ABC的周長為　?。? 9．如圖，要設計一幅寬20厘米，長30厘米的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：1，如果要使彩條所占面積是圖案面積的一半，那么豎彩條寬度是多少？若設豎彩條寬度是x厘米，則根據(jù)題意可列方程　?。? 10．若關于x的方程（x﹣m）（x﹣1）=0有兩個不相等的正實數(shù)根，則m的范圍是　?。? 11．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，點D是AB的中點，E是AC邊上的一點，若以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，則AE的長為　?。? 12．若關于x的一元二次方程為ax2+bx+c=0的兩根之和為3，則關于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的兩根之和為　　． 　 二、選擇題：（本大題共6題，每題3分，共18分） 13．如圖，已知△ABC，P為AB上一點，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　?。? A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D． 14．已知一元二次方程的兩根分別是2和﹣3，則這個一元二次方程是（　?。? A．x2﹣6x+8=0 B．x2+2x﹣3=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2+x﹣6=0 15．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9 16．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且，則S△ADE：S四邊形BCED的值為（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 17．若實數(shù)x滿足方程（x2﹣2x）2+3（x2﹣2x）﹣4=0，則x2﹣2x的值為（　?。? A．﹣4 B．1 C．﹣1或4 D．1或﹣4 18．若關于x一元二次方程x2﹣4x+c=0的兩根為x1、x2，且x12﹣x1x2=0，則c的值是（　?。? A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4 　 三、解答題：（本大題共9題，共78分） 19．解方程： （1）x2﹣2x﹣8=0； （2）2x2﹣5x﹣2=0； （3）（x﹣3）2=12+4（x﹣3）； （4）﹣=1． 20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，△OAB的頂點分別為O（0，0），A（1，2），B（2，﹣1）． （1）以點O（0，0）為位似中心，按位似比1：3在位似中心的同側將△OAB放大為△OA′B′，放大后點A、B的對應點分別為A′、B′，請在圖中畫出△OA′B′； （2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應點C的坐標　　； （3）直接寫出四邊形ABA′B′的面積是　　． 21．如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊上一動點，且∠ADE=60， （1）求證：△ABD∽△DCE； （2）若等邊△ABC的邊長為9，AE=7，求BD的長． 22．某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元，設可變成本平均每年增長的百分率為x． （1）用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為　　萬元； （2）如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x． 23．已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根． （1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長； （2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？ 24．小麗去某商場為校合唱隊購買一款進價是50元/件的服裝，商場經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，每件服裝的售價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的售價都降低2元，但每件服裝的售價不低于它的進價． （1）按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1200元．請問她購買了多少件這種服裝？ （2）填空：如果你是商店經(jīng)理，你希望小麗一次性購買這種服裝　　件，才能盈利最多． 25．如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈的位置． （1）在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度越來越　　（用“長”或“短”填空）；請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子BE； （2）當小亮離開燈桿的距離OB=3.6m時，身高為1.6m的小亮的影長為1.2m， ①燈桿的高度為多少m？ ②當小亮離開燈桿的距離OD=6m時，小亮的影長變?yōu)槎嗌賛？ 26．如圖1，點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC． （1）設AC=2， ①求AB的長； 填空：設AB=x，則BC=2﹣x ∵點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC， ∴　　，可列方程為　　， 解得方程的根為　　，于是，AB的長為　?。? ②在線段AC（如圖1）上利用三角板和圓規(guī)畫出點B的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若m、n為正實數(shù)，t是關于x的方程x2+2mx=n2的一正實數(shù)根， ①求證：（t+m）2=m2+n2； ②若兩條線段的長分別為m、n（如圖2），請畫出一條長為t的線段（保留作圖痕跡，不寫作法）． 27．如圖1，在平面直角坐系中，點A（0，2）、B（﹣1，0）、C（0，﹣4），點P是x軸上的一點，AB?AQ=AC?AP，且∠BAC=∠PAQ． （1）求證：△ABP∽△ACQ； （2）求直線CQ的函數(shù)表達式； （3）若點P的橫坐標t， ①當t=4時，求點Q的坐標； ②用含t的代數(shù)式表示點Q的坐標（直接寫出答案） 　  2016-2017學年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中市九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一、填空題：（本大題共12題，每題2分，共24分） 1．若關于x的一元二次方程x（2x﹣3）=﹣4的一般形式中二次項系數(shù)為2，則一次項系數(shù)為　﹣3?。? 【考點】一元二次方程的一般形式． 【專題】計算題；一次方程（組）及應用． 【分析】方程整理為一般形式，找出一次項系數(shù)即可． 【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x+4=0， 則一次項系數(shù)為﹣3， 故答案為：﹣3 【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0）． 　 2．方程（x﹣1）2=4的解為　3或﹣1?。? 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】觀察方程的特點，可選用直接開平方法． 【解答】解：（x﹣1）2=4，即x﹣1=2，所以x1=3，x2=﹣1． 【點評】用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”． 　 3．已知==，若2x+3y﹣z=18，則x﹣y+z=　6?。? 【考點】比例的性質． 【分析】根據(jù)題意設x=2k，y=3k，z=4k，代入即可得出k的值，再計算即可． 【解答】解：∵ ==， ∴設x=2k，y=3k，z=4k， ∵2x+3y﹣z=18， ∴4k+9k﹣4k=18， ∴k=2， ∴x﹣y+z=4﹣6+8=6； 故答案為6． 【點評】本題考查了比例的性質，掌握比例的性質是解題的關鍵． 　 4．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一個根是0，則a的值是　﹣1?。? 【考點】一元二次方程的解． 【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次項系數(shù)a﹣1≠0． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一個根是0， ∴x=0滿足該方程，且a﹣1≠0． ∴a2﹣1=0，且a≠1． 解得a=﹣1． 故答案是：﹣1． 【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 　 5．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，則BC的長是　6?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】由平行可得對應線段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把數(shù)值代入可求得BC． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD：DB=1：2，DE=2， ∴， 解得BC=6． 故答案為：6． 【點評】本題主要考查平行線分線段成比例的性質，掌握平行線分線段成比例中的對應線段是解題的關鍵． 　 6．如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，則CD的長為　5?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】易證△BAD∽△BCA，然后運用相似三角形的性質可求出BC，從而可得到CD的值． 【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， ∴=． ∵AB=6，BD=4， ∴=， ∴BC=9， ∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5． 故答案為5． 【點評】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質，由角等聯(lián)想到三角形相似是解決本題的關鍵． 　 7．已知關于x的方程kx2﹣4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍　k＜4且k≠0　． 【考點】根的判別式． 【分析】方程有兩個不相等實數(shù)根，則根的判別式△＞0，建立關于k的不等式，求得k的取值范圍，且二次項系數(shù)不為零． 【解答】解：∵a=k，b=﹣4，c=1， △=b2﹣4ac=16﹣4k＞0，即k＜4方程有兩個不相等的實數(shù)根， 則二次項系數(shù)不為零k≠0． ∴k＜4且k≠0． 【點評】總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 8．等腰△ABC的底和腰的長恰好是方程x2﹣4x+3=0的兩個根，則等腰△ABC的周長為　7　． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質． 【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長．首先求出方程的根，再根據(jù)三角形三邊關系定理列出不等式，確定是否符合題意． 【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3， 當3為腰，1為底時，3﹣1＜3＜3+1，能構成等腰三角形，周長為3+3+1=7； 當1為腰，3為底時，1+1＜3，不能構成等腰三角形． 故周長為7， 故答案為：7． 【點評】本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去． 　 9．如圖，要設計一幅寬20厘米，長30厘米的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：1，如果要使彩條所占面積是圖案面積的一半，那么豎彩條寬度是多少？若設豎彩條寬度是x厘米，則根據(jù)題意可列方程　（30﹣2x）（20﹣4x）=300?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】假設圖案中的彩條被減去，剩余的圖案就可以合并成一個長方形．為所以如果設彩條的x，那么這個長方形的長為（30﹣2x）cm，寬為（20﹣4x）cm．然后再根據(jù)彩條所占的面積是原來圖案的一半，列出一元二次方程． 【解答】解：設豎彩條的寬為xcm，則有 （30﹣2x）（20﹣4x）=300； 故答案為：（30﹣2x）（20﹣4x）=300． 【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關鍵是能夠將彩條平移至邊上，難度不大． 　 10．若關于x的方程（x﹣m）（x﹣1）=0有兩個不相等的正實數(shù)根，則m的范圍是　m＞0且m≠1　． 【考點】根的判別式． 【分析】先求出方程的解，得出m＞0，整理后求出△＞0，求出m≠1，即可得出答案． 【解答】解：（x﹣m）（x﹣1）=0，x=m或1， ∵關于x的方程（x﹣m）（x﹣1）=0有兩個不相等的正實數(shù)根， ∴m＞0，展開得：x2+（﹣m﹣1）x+m=0， ∴△=（﹣m﹣1）2﹣41m＞0， 解得：m≠1， 故答案為：m＞0且m≠1． 【點評】本題考查了解一元二次方程的根的判別式的應用，能正確理解根的判別式的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當b2﹣4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根． 　 11．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，點D是AB的中點，E是AC邊上的一點，若以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，則AE的長為　4或　． 【考點】相似三角形的性質． 【分析】根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可解答，由于沒有確定三角形相似的對應角，故應分類討論． 【解答】解：分兩種情況： ①△ADE∽△ABC， ∴AD：AB=AE：AC， 即3：6=AE：8， ∴AE=4； ②△ADE∽△ACB， ∴AE：AB=AD：AC， 即AE：6=3：8， ∴AE=， 故答案為：4或． 【點評】本題考查的是相似三角形的性質，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解． 　 12．若關于x的一元二次方程為ax2+bx+c=0的兩根之和為3，則關于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的兩根之和為　1?。? 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】設方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的兩根分別為x1﹣1，x2﹣1，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得x1+x2=3，進而即可得出（x1﹣1）+（x2﹣1）的值，此題得解． 【解答】解：設方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2，則方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的兩根分別為x1﹣1，x2﹣1， 由題意得：x1+x2=3， ∴（x1﹣1）+（x2﹣1）=（x1+x2）﹣1﹣1=1． 故答案為：1． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，根據(jù)根與系數(shù)的關系找出x1+x2=3是解題的關鍵． 　 二、選擇題：（本大題共6題，每題3分，共18分） 13．如圖，已知△ABC，P為AB上一點，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　?。? A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】由圖可得∠A=∠A，又由有兩角對應相等的三角形相似，即可得A與B正確，又由兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似，即可得C正確，利用排除法即可求得答案． 【解答】解：∵∠A=∠A， ∴當∠ACP=∠B時，△ACP∽△ABC，故A選項正確； ∴當∠APC=∠ACB時，△ACP∽△ABC，故B選項正確； ∴當時，△ACP∽△ABC，故C選項正確； ∵若，還需知道∠ACP=∠B，∴不能判定△ACP∽△ABC．故D選項錯誤． 故選：D． 【點評】此題考查了相似三角形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是掌握有兩角對應相等的三角形相似與兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似定理的應用． 　 14．已知一元二次方程的兩根分別是2和﹣3，則這個一元二次方程是（　?。? A．x2﹣6x+8=0 B．x2+2x﹣3=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2+x﹣6=0 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】首先設此一元二次方程為x2+px+q=0，由二次項系數(shù)為1，兩根分別為2，﹣3，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）2=﹣6，繼而求得答案． 【解答】解：設此一元二次方程為x2+px+q=0， ∵二次項系數(shù)為1，兩根分別為2，﹣3， ∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）2=﹣6， ∴這個方程為：x2+x﹣6=0． 故選：D． 【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系．此題難度不大，注意若二次項系數(shù)為1，x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反過來可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2． 　 15．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】方程思想． 【分析】配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方． 【解答】解：由原方程移項，得 x2﹣2x=5， 方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2的一半的平方1，得 x2﹣2x+1=6 ∴（x﹣1）2=6． 故選：C． 【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 16．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且，則S△ADE：S四邊形BCED的值為（　?。? A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】首先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，證得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求得答案． 【解答】解：在△ADE與△ACB中， ， ∴△ADE∽△ACB， ∴S△ADE：S△ACB=（AE：AB）2=1：4， ∴S△ADE：S四邊形BCED=1：3． 故選C． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質．注意相似三角形的面積的比等于相似比的平方． 　 17．若實數(shù)x滿足方程（x2﹣2x）2+3（x2﹣2x）﹣4=0，則x2﹣2x的值為（　?。? A．﹣4 B．1 C．﹣1或4 D．1或﹣4 【考點】換元法解一元二次方程． 【分析】設x2﹣2x=t，則原方程轉化為關于t的一元二次方程t2+3t﹣4=0，由因式分解法解該方程即可． 【解答】解：設x2﹣2x=t，則原方程轉化為t2+3t﹣4=0， 整理，得 （t+4）（t﹣1）=0． 解得t=﹣4或t=1． 即x2﹣2x的值為﹣4或1． 故選：D． 【點評】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理． 　 18．若關于x一元二次方程x2﹣4x+c=0的兩根為x1、x2，且x12﹣x1x2=0，則c的值是（　?。? A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得c的值；②利用根的判別式等于0來求c的值． 【解答】解：解x12﹣x1x2=0，得 x1=0，或x1=x2， ①把x1=0代入已知方程，得 c=0； ②當x1=x2時，△=16﹣4c=0， 解得：a=4． 綜上所述，c=0或c=4． 故選：C． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解的定義．解答該題的技巧性在于巧妙地利用了根的判別式等于0來求a的另一值． 　 三、解答題：（本大題共9題，共78分） 19．解方程： （1）x2﹣2x﹣8=0； （2）2x2﹣5x﹣2=0； （3）（x﹣3）2=12+4（x﹣3）； （4）﹣=1． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解分式方程． 【分析】（1）首先把等號左邊分解因式可得（x﹣4）（x+2）=0，進而可得x﹣4=0，x+2=0，再解即可； （2）首先確定方程中a、b、c的值，然后計算出△，再用求根公式計算即可； （3）首先把方程整理成一般式可得x2﹣10x+9=0，把等號左邊分解因式可得（x﹣9）（x﹣1）=0，進而可得x﹣9=0，x﹣1=0，再解即可； （4）首先去分母，把方程整理成一般式可得x2+x﹣6=0，把等號左邊分解因式可得（x+3）（x﹣2）=0，進而可得x+3=0，x﹣2=0，再解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8=0， （x﹣4）（x+2）=0， 則x﹣4=0，x+2=0， 解得：x1=4，x2=﹣2； （2）a=2，b=﹣5，c=﹣2， △=b2﹣4ac=25+16=41， x==， 則； （3）（x﹣3）2=12+4（x﹣3）， x2﹣6x+9﹣12﹣4x+12=0， x2﹣10x+9=0， （x﹣9）（x﹣1）=0， 則x﹣9=0，x﹣1=0， 解得：x1=9，x2=1； （4）2（x+1）﹣3（x﹣1）=（x+1）（x﹣1）， 2x+2﹣3x+3=x2﹣1， x2+x﹣6=0， （x+3）（x﹣2）=0． x+3=0，x﹣2=0， 解得：x1=﹣3，x2=2， 檢驗：當x=﹣3時，（x+1）（x﹣1）≠0， 當x=2時，（x+1）（x﹣1）≠0， 所以：方程的解集為x1=﹣3，x2=2． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的解法，關鍵是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解． 　 20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，△OAB的頂點分別為O（0，0），A（1，2），B（2，﹣1）． （1）以點O（0，0）為位似中心，按位似比1：3在位似中心的同側將△OAB放大為△OA′B′，放大后點A、B的對應點分別為A′、B′，請在圖中畫出△OA′B′； （2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應點C的坐標?。?a，3b）??； （3）直接寫出四邊形ABA′B′的面積是　20?。? 【考點】作圖-位似變換． 【分析】（1）利用位似圖形的性質得出對應點位置進而求出即可； （2）利用位似圖形的性質結合位似比進而求出即可； （3）先后求出S△A′OB′、S△AOB，繼而根據(jù)S四邊形ABA′B′=S△A′OB′﹣S△AOB可得． 【解答】解：（1）如圖，△OA′B′即為所求作三角形； （2）∵點A（1，2）的對應點A′的坐標：（3，6），點B（2，﹣1）的對應點B′的坐標：（6，﹣3）； ∴點C（a，b）的對應點C的坐標為：（3a，3b）； 故答案為：（3a，3b）； （3）∵OA=OB=，AB=， ∴OA2+OB2=AB2， ∴△AOB為等腰直角三角形， 則S△AOB=OA?OB=， 同理可得S△A′OB′=OA′?OB′=， ∴四邊形ABA′B′的面積是S△A′OB′﹣S△AOB=20， 故答案為：20． 【點評】此題主要考查了位似變換，根據(jù)題意得出對應點位置是解題關鍵． 　 21．如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊上一動點，且∠ADE=60， （1）求證：△ABD∽△DCE； （2）若等邊△ABC的邊長為9，AE=7，求BD的長． 【考點】相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】（1）由在等邊△ABC中，∠ADE=60，易得∠B=∠C=60，∠CDE=∠BAD，則可證得：△ABD∽△DCE； （2）首先設BD=x，則CD=BC﹣CD=9﹣x，然后由△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案． 【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60， ∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=60， ∴∠CDE=∠BAD， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵等邊△ABC的邊長為9，AE=7， ∴AB=BC=AC=9， ∴CE=2， 設BD=x，則CD=BC﹣CD=9﹣x， ∵△ABD∽△DCE， ∴=， ∴=， 解得：x=3或x=6． ∴BD的長為：3或6． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．注意利用方程思想求解是關鍵． 　 22．某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬元，可變成本逐年增長，已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元，設可變成本平均每年增長的百分率為x． （1）用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為　2.6（1+x）2　萬元； （2）如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元，求可變成本平均每年增長的百分率x． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】（1）根據(jù)增長率問題由第1年的可變成本為2.6萬元就可以表示出第二年的可變成本為2.6（1+x），則第三年的可變成本為2.6（1+x）2，故得出答案； （2）根據(jù)養(yǎng)殖成本=固定成本+可變成本建立方程求出其解即可 【解答】解：（1）由題意，得 第3年的可變成本為：2.6（1+x）2， 故答案為：2.6（1+x）2； （2）由題意，得 4+2.6（1+x）2=7.146， 解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合題意，舍去）． 答：可變成本平均每年增長的百分率為10%． 【點評】本題考查了增長率的問題關系的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)增長率問題的數(shù)量關系建立方程是關鍵． 　 23．已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數(shù)根． （1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長； （2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？ 【考點】一元二次方程的應用；平行四邊形的性質；菱形的性質． 【專題】應用題；壓軸題． 【分析】（1）讓根的判別式為0即可求得m，進而求得方程的根即為菱形的邊長； （2）求得m的值，進而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長． 【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0， 整理得：（m﹣1）2=0， 解得m=1， 當m=1時，原方程為x2﹣x+=0， 解得：x1=x2=0.5， 故當m=1時，四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長是0.5； （2）把AB=2代入原方程得，m=2.5， 把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5， ∴C?ABCD=2（2+0.5）=5． 【點評】綜合考查了平行四邊形及菱形的有關性質；利用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長是解決本題的關鍵． 　 24．小麗去某商場為校合唱隊購買一款進價是50元/件的服裝，商場經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，每件服裝的售價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的售價都降低2元，但每件服裝的售價不低于它的進價． （1）按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1200元．請問她購買了多少件這種服裝？ （2）填空：如果你是商店經(jīng)理，你希望小麗一次性購買這種服裝　12或13　件，才能盈利最多． 【考點】二次函數(shù)的應用． 【分析】（1）根據(jù)一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，表示出每件服裝的單價，進而得出等式方程求出即可； （2）設一次性出售x件時，商店老板此次獲得的利潤y（元）最大，根據(jù)題意得到函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質即可得到結論． 【解答】解：（1）設購買了x件這種服裝，∵1080=800＜1200， ∴x＞10， 根據(jù)題意得出：[80﹣2（x﹣10）]x=1200， 解得：x1=20，x2=30， 當x=30時，80﹣2（30﹣10）=40（元）＜50不合題意舍去； 答：她購買了20件這種服裝； （2）設一次性出售x件時，商店老板此次獲得的利潤y（元）最大， ①當0≤x≤10時，y=（80﹣50）x=30x， 當x=10時，y取得最大值300元； ②當x＞10時，根據(jù)題意得：y=x[80﹣2（x﹣10）﹣50]=﹣2x2+50x=﹣2（x﹣12.5）2+312.5， ∵a=﹣2＜0，x為整數(shù)， ∴當x=12或x=13時，商店老板此次獲得的利潤y（元）最大，y最大=312（元）， 故答案為：12或13． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)題意找出等量關系列出函數(shù)關系式，要求同學們掌握運用配方法求二次函數(shù)的最大值． 　 25．如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈的位置． （1）在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度越來越　短　（用“長”或“短”填空）；請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子BE； （2）當小亮離開燈桿的距離OB=3.6m時，身高為1.6m的小亮的影長為1.2m， ①燈桿的高度為多少m？ ②當小亮離開燈桿的距離OD=6m時，小亮的影長變?yōu)槎嗌賛？ 【考點】相似三角形的應用；中心投影． 【分析】（1）根據(jù)光是沿直線傳播的道理可知在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為變短；連接PA并延長交直線BO于點E，則線段BE即為小亮站在AB處的影子； （2）根據(jù)燈的光線與人、燈桿、地面形成的兩個直角三角形相似解答即可． 【解答】解：（1）因為光是沿直線傳播的，所以當小亮由B處沿BO所在的方向行走到達O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為變短；如圖所示，BE即為所求； （2）①先設OP=x米，則當OB=3.6米時，BE=1.2米， ∴=，即=， ∴x=6.4； ②當OD=6米時，設小亮的影長是y米， ∴=， ∴=， ∴y=2． 即小亮的影長是2米． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定及性質，解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構造出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質解答． 　 26．（10分）（2016秋?揚中市月考）如圖1，點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC． （1）設AC=2， ①求AB的長； 填空：設AB=x，則BC=2﹣x ∵點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC， ∴　=　，可列方程為　=　， 解得方程的根為　x1=﹣1+，x2=﹣1﹣　，于是，AB的長為　﹣1+　． ②在線段AC（如圖1）上利用三角板和圓規(guī)畫出點B的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）若m、n為正實數(shù)，t是關于x的方程x2+2mx=n2的一正實數(shù)根， ①求證：（t+m）2=m2+n2； ②若兩條線段的長分別為m、n（如圖2），請畫出一條長為t的線段（保留作圖痕跡，不寫作法）． 【考點】黃金分割；解一元二次方程-直接開平方法；解一元二次方程-因式分解法；點與圓的位置關系． 【分析】（1）若點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC，則=，設AB=x，則BC=2﹣x代入求值即可． （2）①利用勾股定理畫出，再在長為的線段上截取長為1的線段，剩余部分就是． ②根據(jù)配方法解該方程的根即可，作圖與①雷同． 【解答】解：（1）①設AB=x，則BC=2﹣x ∵點B在線段AC上的黃金分割點，且AB＞BC， ∴=， 可列方程為： =， 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， ∴AB的長為：﹣1+； 故答案為： =， =，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，﹣1+； ②作圖見下圖1： （2）①證明：解關于x的方程x2+2mx=n2： x2+2mx+m2=m2+n2 （x+m）2═m2+n2， ∵t是關于x的方程x2+2mx=n2的一正實數(shù)根， ∴（t+m）2=m2+n2； ②作圖見下圖 【點評】本題考查了：黃金分割、解一元一次方程、勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點的內(nèi)涵及其應用方法． 　 27．如圖1，在平面直角坐系中，點A（0，2）、B（﹣1，0）、C（0，﹣4），點P是x軸上的一點，AB?AQ=AC?AP，且∠BAC=∠PAQ． （1）求證：△ABP∽△ACQ； （2）求直線CQ的函數(shù)表達式； （3）若點P的橫坐標t， ①當t=4時，求點Q的坐標； ②用含t的代數(shù)式表示點Q的坐標（直接寫出答案） 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）先判斷出∠BAP=CAQ，即可得到△ABP∽△ACQ； （2）先求出tan∠ABP==2，再求出tan∠OCM=，建立方程即可求出直線CQ和x軸的交點； （3）設出Q坐標表示出CQ，借助（1），，代值求出m．①把t=4代入即可；②結論直接出來． 【解答】解：（1）∵∠BAC=∠PAQ， ∴∠BAP=CAQ， ∵AB?AQ=AC?AP， ∴， ∴△ABP∽△ACQ； （2）∵A（0，2）、B（﹣1，0）、C（0，﹣4）， ∴OA=2，OB=1，OC=4， 在Rt△AOB中，tan∠ABP==2， 在Rt△COM中，tan∠OCM=， 由（1）知，△ABP∽△ACQ； ∴∠ABP=∠OCM， ∴=2， ∴OM=8， ∴M（8，0）， 設直線CQ解析式為y=kx﹣4， ∴8k﹣4=0， ∴k=， ∴直線CQ解析式為y=x﹣4， （3）∵A（0，2）、B（﹣1，0），C（0，﹣4）， ∴AB=，AC=6， ∵點P的橫坐標t， ∴BP=t+1 設Q（m， m﹣4）， ∴CQ==m， 由（1）知，△ABP∽△ACQ， ∴， ∴， ∴m=， ∴m﹣4=， ∴ ①當m=4時，m==12， m﹣4==2， ∴Q（12，2）， ②． 【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法，解本題的關鍵是求出直線CQ解析式．