九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版 (6)

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2016-2017學(xué)年遼寧省營口市育才中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 2．下列方程中，一元二次方程是（　?。? A．x2+ B．a(chǎn)x2+bx C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0 3．拋物線y=（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 4．如圖，在同一坐標(biāo)系下，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象大致可能是（　　） A． B． C． D． 5．如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1．則其旋轉(zhuǎn)中心一定是（　?。? A．點(diǎn)E B．點(diǎn)F C．點(diǎn)G D．點(diǎn)H 6．將拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（　?。? A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3 7．某種型號的電視機(jī)經(jīng)過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元，降到了980元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　?。? A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500 8．已知點(diǎn)（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函數(shù)y=x2+1的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。? A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 9．如圖，在△ABC中，∠CAB=65，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（　?。? A．35 B．40 C．50 D．65 10．如圖，∠MON=20，A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn)，且OA=2，OB=4，點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON兩動點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是（　?。? A．3 B．3 C．2 D．2 　 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為　?。? 12．如圖所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA=15，則△PCD的周長為　　． 13．關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則a滿足　?。? 14．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8．則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=　?。? 15．若點(diǎn)M（a+b，﹣5）與點(diǎn)N（1，3a﹣b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a=　　 b=　　． 16．已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5=0的一個根為2，求另一個根　　，m=　?。? 17．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是　?。? 18．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論： ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的實(shí)數(shù)）． 其中正確的結(jié)論有　?。ㄌ钚蛱枺? 　 三、解答題（共96分） 19．用適當(dāng)方法解下列方程 （1）x（x+4）=8x+12 （2）（x+3）2=25（x﹣1）2 （3）（x+1）（x+8）=﹣12 （4）x4﹣x2﹣6=0． 20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0． （1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根．第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值． 21．如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90后得到△A1B1C1． （1）在正方形網(wǎng)格中作出△A1B1C1； （3）在x軸上找一點(diǎn)D，使DB+DB1的值最小，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)． 22．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E． （1）求證：∠BCO=∠D； （2）若CD=，AE=2，求⊙O的半徑． 23．某水果批發(fā)市場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克、經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎(chǔ)上每漲價1元，日銷售量將減少20千克． （1）如果市場某天銷售這種水果盈利了6000元，同時顧客又得到了實(shí)惠，那么每千克這種水果漲了多少元？ （2）設(shè)每千克這種水果漲價x元時（0＜x≤25），市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元．若不考慮其他因素，單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價多少元時，市場每天銷售這種水果盈利最多？最多盈利多少元？ 24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D點(diǎn)，連接CD． （1）求證：∠A=∠BCD； （2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由． 25．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F． （1）求證：AN=MB； （2）求證：△CEF為等邊三角形； （3）將△ACM繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，其它條件不變，在圖②中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷（1）題中的結(jié)論是否依然成立，說明理由． 26．已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年遼寧省營口市育才中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義沿一條直線對折后，直線兩旁部分完全重合的圖形是軸對稱圖形，以及中心對稱圖形的定義分別判斷即可得出答案． 【解答】解：A、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確； B、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤． C、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，旋轉(zhuǎn)180不能與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； D、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤． 故選：A． 　 2．下列方程中，一元二次方程是（　?。? A．x2+ B．a(chǎn)x2+bx C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答． 一元二次方程必須滿足四個條件： （1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （2）二次項系數(shù)不為0； （3）是整式方程； （4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案． 【解答】解： A、不是整式方程，故錯誤；方程二次項系數(shù)可能為0，故錯誤 B、不是方程； C、符合一元二次方程的定義，正確； D、方程含有兩個未知數(shù)，故錯誤． 故選C． 　 3．拋物線y=（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。? A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】已知解析式是拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解：因?yàn)閥=（x+2）2+1是拋物線的頂點(diǎn)式，由頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1）． 故選B． 　 4．如圖，在同一坐標(biāo)系下，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象大致可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】可先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象相比較看是否一致． 【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤； B、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項錯誤； C、由拋物線可知，a＞0，x=﹣＜0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項正確； D、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，故本選項錯誤． 故選：C． 　 5．如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1．則其旋轉(zhuǎn)中心一定是（　?。? A．點(diǎn)E B．點(diǎn)F C．點(diǎn)G D．點(diǎn)H 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)“對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”，知旋轉(zhuǎn)中心，即為對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn)． 【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知：旋轉(zhuǎn)中心，一定在對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上． 則其旋轉(zhuǎn)中心是NN1和PP1的垂直平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)G． 故選C． 　 6．將拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（　?。? A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】拋物線平移不改變a的值． 【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），向左平移1個單位，再向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為（﹣1，3）．可設(shè)新拋物線的解析式為y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3． 故選A． 　 7．某種型號的電視機(jī)經(jīng)過連續(xù)兩次降價，每臺售價由原來的1500元，降到了980元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（　?。? A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可得，原價（1﹣降價百分率）2=現(xiàn)價，據(jù)此列方程即可． 【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x， 由題意得，1500（1﹣x）2=980． 故選A． 　 8．已知點(diǎn)（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函數(shù)y=x2+1的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。? A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】將三個點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)關(guān)系式，求出y1，y2，y3的值，從而得解． 【解答】解：y1=（﹣3）2+1=9+1=10， y2=（﹣2）2+1=4+1=5， y3=（﹣1）2+1=1+1=2， 所以，y1＞y2＞y3． 故選A． 　 9．如圖，在△ABC中，∠CAB=65，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（　?。? A．35 B．40 C．50 D．65 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ACC′=∠CAB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC′，然后利用等腰三角形兩底角相等求∠CAC′，再根據(jù)∠CAC′、∠BAB′都是旋轉(zhuǎn)角解答． 【解答】解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65， ∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180﹣2∠ACC′=180﹣265=50， ∴∠CAC′=∠BAB′=50． 故選C． 　 10．如圖，∠MON=20，A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn)，且OA=2，OB=4，點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON兩動點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是（　?。? A．3 B．3 C．2 D．2 【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題． 【分析】首先作A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于OM的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交于OM，ON分別為P，Q，連接OA′，OB′，可求得AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60，然后由特殊角的三角函數(shù)值，判定∠OA′B′=90，再利用勾股定理求得答案． 【解答】解：作A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于OM的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交于OM，ON分別為P，Q，連接OA′，OB′， 則PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20， ∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60， ∵cos60=， =， ∴∠OA′B′=90， ∴A′B′==2， ∴線段AQ+PQ+PB的最小值是：2． 故選D． 　 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為　72或108?。? 【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【分析】先求出這條弦所對圓心角的度數(shù)，然后分情況討論這條弦所對圓周角的度數(shù)． 【解答】解：如圖，連接OA、OB． 弦AB將⊙O分為2：3兩部分， 則∠AOB=360=144； ∴∠ACB=∠AOB=72， ∠ADB=180﹣∠ACB=108； 故這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72或108． 　 12．如圖所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA=15，則△PCD的周長為　30?。? 【考點(diǎn)】切線長定理． 【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切線，可由切線長定理將△PCD的周長轉(zhuǎn)換為PA、PB的長． 【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴PA=PB=15； 同理，可得：EC=CA，DE=DB； ∴△PDC的周長=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=30． 即△PCD的周長是：30． 故答案為：30． 　 13．關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則a滿足　a≥1?。? 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，那么分兩種情況：（1）當(dāng)a﹣5=0時，方程一定有實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)a﹣5≠0時，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出a的取值范圍． 【解答】解：（1）當(dāng)a﹣5=0即a=5時，方程變?yōu)椹?x﹣1=0，此時方程一定有實(shí)數(shù)根； （2）當(dāng)a﹣5≠0即a≠5時， ∵關(guān)于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實(shí)數(shù)根 ∴16+4（a﹣5）≥0， ∴a≥1． 所以a的取值范圍為a≥1． 故答案為：a≥1． 　 14．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8．則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=　2?。? 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心． 【分析】設(shè)AB、BC、AC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、E、F；易證得四邊形OECF是正方形；那么根據(jù)切線長定理可得：CE=CF=（AC+BC﹣AB），由此可求出r的長． 【解答】解：如圖， 在Rt△ABC，∠C=90，AC=6，BC=8； 根據(jù)勾股定理AB==10； 四邊形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90； ∴四邊形OECF是正方形； 由切線長定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF； ∴CE=CF=（AC+BC﹣AB）； 即：r=（6+8﹣10）=2． 　 15．若點(diǎn)M（a+b，﹣5）與點(diǎn)N（1，3a﹣b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a=　1　 b=　﹣2?。? 【考點(diǎn)】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案． 【解答】解：由題意，得 a+b=﹣1，3a﹣b=5， 解得a=1，b=﹣2．， 故答案為：1，﹣2． 　 16．已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5=0的一個根為2，求另一個根　4　，m=　3或﹣1　． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】先把x=2代入原方程，求出m的值，再利用根與系數(shù)的關(guān)系來求方程的另一根． 【解答】解：∵方程x2﹣6x+m2﹣2m+5=0的一個根為2， ∴22﹣62+m2﹣2m+5=0， 解得 m=3或﹣1， 設(shè)方程的另一根是t．則t+2=6， 解得 t=4． 故答案是：4；3或﹣1． 　 17．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是　﹣1＜x＜3?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時，函數(shù)圖象在x軸的下方， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3． 故答案為：﹣1＜x＜3． 　 18．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論： ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的實(shí)數(shù)）． 其中正確的結(jié)論有?、邸ⅱ?、⑤?。ㄌ钚蛱枺? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷． 【解答】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x=1，能得到：a＜0，c＞0，﹣=1， ∴b=﹣2a＞0， ∴abc＜0， 所以錯誤； ②當(dāng)x=﹣1時，由圖象知y＜0， 把x=﹣1代入解析式得：a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c， ∴②錯誤； ③圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸為x=1， 能得到：a＜0，c＞0，﹣=1， 所以b=﹣2a， 所以4a+2b+c=4a﹣4a+c＞0． ∴③正確； ④∵由①②知b=﹣2a且b＞a+c， ∴2c＜3b，④正確； ⑤∵x=1時，y=a+b+c（最大值）， x=m時，y=am2+bm+c， ∵m≠1的實(shí)數(shù)， ∴a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞m（am+b）成立． ∴⑤正確． 故正確結(jié)論的序號是③，④，⑤． 　 三、解答題（共96分） 19．用適當(dāng)方法解下列方程 （1）x（x+4）=8x+12 （2）（x+3）2=25（x﹣1）2 （3）（x+1）（x+8）=﹣12 （4）x4﹣x2﹣6=0． 【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可； （2）兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可； （3）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先分解因式，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x（x+4）=8x+12， 整理得：x2﹣4x﹣12=0， （x+2）（x﹣6）=0， x+2=0，x﹣6=0， x1=﹣2，x2=6； （2）（x+3）2=25（x﹣1）2 x+3=5（x﹣1）， ； （3）（x+1）（x+8）=﹣12 整理得：x2+9x+20=0， （x+5）（x+4）=0， x+5=0，x+4=0， x1=﹣5，x2=﹣4； （4）x4﹣x2﹣6=0， （x2﹣3）（x2+2）=0， x2﹣3=0， ． 　 20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0． （1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根．第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值． 【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）先計算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論； （2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當(dāng)AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值． 【解答】（1）證明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0， ∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； （2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5； 當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4， 綜合上述，k的值為5或4． 　 21．如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90后得到△A1B1C1． （1）在正方形網(wǎng)格中作出△A1B1C1； （3）在x軸上找一點(diǎn)D，使DB+DB1的值最小，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90后的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可； （2）找出點(diǎn)B1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′的位置，連接BB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D，然后寫出坐標(biāo)即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示； （2）如圖，D（1，0）． 　 22．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E． （1）求證：∠BCO=∠D； （2）若CD=，AE=2，求⊙O的半徑． 【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理． 【分析】（1）由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換即可得證； （2）由弦CD與直徑AB垂直，利用垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，求出CE的長，在直角三角形OCE中，設(shè)圓的半徑OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑r的值． 【解答】（1）證明：如圖． ∵OC=OB， ∴∠BCO=∠B． ∵∠B=∠D， ∴∠BCO=∠D； （2）解：∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點(diǎn)E， ∴CE=CD=4=2， 在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2， 設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2， ∴r2=（2）2+（r﹣2）2， 解得：r=3， ∴⊙O的半徑為3． 　 23．某水果批發(fā)市場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克、經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎(chǔ)上每漲價1元，日銷售量將減少20千克． （1）如果市場某天銷售這種水果盈利了6000元，同時顧客又得到了實(shí)惠，那么每千克這種水果漲了多少元？ （2）設(shè)每千克這種水果漲價x元時（0＜x≤25），市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元．若不考慮其他因素，單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價多少元時，市場每天銷售這種水果盈利最多？最多盈利多少元？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）由題意得，每千克這種水果在原售價的基礎(chǔ)上每漲價1元，日銷售量將減少20千克，根據(jù)此條件列出函數(shù)關(guān)系式；（2）求最大利潤，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而求出最大利潤． 【解答】解：（1）設(shè)市場某天銷售這種水果盈利了6000元，同時顧客又得到了實(shí)惠時，每千克這 種水果漲了x元， 由題意得（10+x）=6000， 整理，得x2﹣15x+50=0， 解得x1=5，x2=10， 因?yàn)轭櫩偷玫搅藢?shí)惠，應(yīng)取x=5， 答：市場某天銷售這種水果盈利6000元，同時顧客又得到了實(shí)惠時，每千克這 種水果漲了5元； （2）因?yàn)槊壳Э诉@種水果漲價x元時，市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元， y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=（10+x）（0＜x≤25） 而y=（10+x）=﹣20x2+300x+5000=﹣20（x﹣7.5）2+6125 所以，當(dāng)x=7.5時（0＜7.5≤25），y取得最大值，最大值為6125 答：不考慮其他因素，單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價7.5元時，市場 每天銷售這種水果盈利最多，最多盈利6125元． 　 24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D點(diǎn)，連接CD． （1）求證：∠A=∠BCD； （2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由． 【考點(diǎn)】切線的判定． 【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=90，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠DCA=90，再由∠DCB+∠ACD=90，可得∠DCB=∠A； （2）當(dāng)MC=MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據(jù)∠ACB=90可得∠1+∠3=90，進(jìn)而證得直線DM與⊙O相切． 【解答】（1）證明：∵AC為直徑， ∴∠ADC=90， ∴∠A+∠DCA=90， ∵∠ACB=90， ∴∠DCB+∠ACD=90， ∴∠DCB=∠A； （2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時，直線DM與⊙O相切； 解：連接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90， ∴∠1+∠3=90， ∴直線DM與⊙O相切， 故當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時，直線DM與⊙O相切． 　 25．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F． （1）求證：AN=MB； （2）求證：△CEF為等邊三角形； （3）將△ACM繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，其它條件不變，在圖②中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷（1）題中的結(jié)論是否依然成立，說明理由． 【考點(diǎn)】幾何變換綜合題． 【分析】（1）可通過全等三角形來得出簡單的線段相等，證明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，這兩個三角形中，已知的條件有AC=MC，NC=CB，只要證明這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角，因此它們都是120，這樣就能得出兩三角形全等了．也就證出了AN=BM． （2）我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180﹣60﹣60=60，因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形，可從EC，CF入手，由（1）的全等三角形我們知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60，那么此時三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我們再根據(jù)∠ECF=60，便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論． （3）通過證明三角形ACN和BCM來求得．這兩個三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60+∠ACB，因此兩三角形就全等，AN=BM，結(jié)論1正確． 【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形， ∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60，∠NCB=60． 在△CAN和△MCB中，， ∴△CAN≌△MCB（SAS）， ∴AN=BM． （2）∵△CAN≌△MCB， ∴∠CAN=∠CMB． ∵∠MCF=180﹣∠ACM﹣∠NCB=60． ∴∠MCF=∠ACE． 在△CAE和△CMF中，， ∴△CAE≌△CMF（ASA） ∴CE=CF， ∴△CEF為等腰三角形， ∴∠ECF=60， ∴△CEF為等邊三角形． （3）解：如圖， 連接AN，BM． ∵△ACM、△CBN是等邊三角形 ∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60， ∵∠ACB=90， ∴∠ACN=∠BCM． 在△ACN與△MCB中，， ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴AN=BM． 即：結(jié)論1，AN=BM，成立， 　 26．已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式； （2）圖，過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N．設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表達(dá)式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值； （3）①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形． 【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0）， ∴C（0，﹣3）． 把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3， ∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3． （2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC的解析式為y=﹣x﹣3， 如圖1，過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N． 設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3）， DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+， ∴﹣1＜0， ∴當(dāng)x=時，DM有最大值， ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=43+3DM，此時四邊形ABCD面積有最大值為6+=． （3）存在． 討論：①如圖2，過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1， 此時四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3 ∴x1=0，x2=﹣2． ∴P1（﹣2，﹣3）． ②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形， ∵C（0，﹣3）， ∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0 解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 此時存在點(diǎn)P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）， 綜上所述，存在3個點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是： P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．