九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 蘇科版2 (3)
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2016-2017學(xué)年江蘇省鹽城市大豐區(qū)第一共同體九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(本大題共有8小題,每小題3分,共24分) 1.一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為( ?。? A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 2.方程x2+2x+3=0的兩根的情況是( ) A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.沒有實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 D.不能確定 3.如圖,AB是⊙O的直徑,直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A,PO交⊙O于點(diǎn)C,連接BC.若∠P=40,則∠ABC的度數(shù)為( ?。? A.20 B.25 C.40 D.50 4.有x支球隊(duì)參加籃球比賽,共比賽了45場(chǎng),每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng),則下列方程中符合題意的是( ?。? A. x(x﹣1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x﹣1)=45 D.x(x+1)=45 5.如圖為44的格圖,A,B,C,D,O均在格點(diǎn)上,點(diǎn)O是( ?。? A.△ACD的外心 B.△ABC的外心 C.△ACD的內(nèi)心 D.△ABC的內(nèi)心 6.⊙O是等邊△ABC的外接圓,⊙O的半徑為4,則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為( ?。? A.2 B.2 C.4 D.4 7.如圖的六邊形是由甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形和丙、丁兩個(gè)等腰直角三角形所組成,其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和.若丙的一股長(zhǎng)為2,且丁的面積比丙的面積小,則丁的一股長(zhǎng)為何?( ?。? A. B. C.2﹣ D.4﹣2 8.如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90,OA=3,OB=2,將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得Rt△FOE,將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得線段ED,分別以O(shè),E為圓心,OA、ED長(zhǎng)為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是( ?。? A.π B. C.3+π D.8﹣π 二、填空題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 9.若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則k= . 10.正六邊形的每個(gè)外角是 度. 11.已知m是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一個(gè)根,則2m2﹣4m= . 12.如圖,OA、OB是⊙O的半徑,點(diǎn)C在⊙O上,C、O在直線AB的同側(cè),連接AC、BC,若∠AOB=120,則∠ACB= 度. 13.若⊙O的直徑是4,圓心O到直線l的距離為3,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是 ?。? 14.已知直角三角形的兩直角邊分別為5、12,則它的外接圓的直徑為 . 15.如圖,一個(gè)量角器放在∠BAC的上面,則∠BAC= 度. 16.一個(gè)扇形的圓心角為120,面積為12πcm2,則此扇形的半徑為 cm. 17.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和9,第三邊的長(zhǎng)為一元二次方程x2﹣14x+48=0的一個(gè)根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 ?。? 18.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,以邊AB的中點(diǎn)O為圓心,作半圓與AC相切,點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn),連接PQ,則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是 ?。? 三、解答題(本大題共有10小題,共96分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟) 19.解下列方程: (1)(x﹣2)2=3(x﹣2) (2)x2+3x﹣2=0. 20.如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,連結(jié)BD,∠BAD=105,∠DBC=75. 求證:BD=CD. 21.已知:關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 (1)不解方程,判別方程根的情況; (2)若方程有一個(gè)根為3,求m的值. 22.某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊周長(zhǎng)為30米的籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)為18米(如圖所示),設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米.若苗圃園的面積為72平方米,求x的值. 23.如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別于BC,AC相交于點(diǎn)D,E,BD=CD,過點(diǎn)D作⊙O的切線交邊AC于點(diǎn)F. (1)求證:DF⊥AC; (2)若⊙O的半徑為5,∠CDF=30,求的長(zhǎng)(結(jié)果保留π). 24.如圖,在△OAC中,以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于點(diǎn)B,連接AB交OC于點(diǎn)D,∠CAD=∠CDA. (1)判斷AC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)若OA=10,OD=2,求線段AC的長(zhǎng). 25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣1,3)、(﹣4,1)(﹣2,1),先將△ABC沿一確定方向平移得到△A1B1C1,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(1,2),再將△A1B1C1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△A2B2C2,點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2. (1)畫出△A1B1C1; (2)畫出△A2B2C2; (3)求出在這兩次變換過程中,點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長(zhǎng). 26.把一個(gè)足球垂直于水平地面向上踢,時(shí)間為t(秒)時(shí)該足球距離地面的高度h(米)適用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4). (1)當(dāng)t=3時(shí),求足球距離地面的高度; (2)當(dāng)足球距離地面的高度為10米時(shí),求t. 27.?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)﹣旋轉(zhuǎn)變換 (1)如圖①,在△ABC中,∠ABC=130,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50得到△A′B′C,連接BB′,求∠A′B′B的大?。? (2)如圖②,在△ABC中,∠ABC=150,AB=3,BC=5,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△A′B′C,連接BB′,以A′為圓心、A′B′長(zhǎng)為半徑作圓. (Ⅰ)猜想:直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (Ⅱ)連接A′B,求線段A′B的長(zhǎng)度; (3)如圖③,在△ABC中,∠ABC=α(90<α<180),將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2β角度(0<2β<180)得到△A′B′C,連接A′B和BB′,以A′為圓心、A′B′長(zhǎng)為半徑作圓,問:α與β滿足什么條件時(shí),直線BB′與⊙A′相切,請(qǐng)說明理由. 28.如圖,在射線BA、BC、AD、CD圍成的菱形ABCD中,∠ABC=60,AB=6,O是射線BD上一點(diǎn),⊙O與BA、BC都相切、與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.過M作EF⊥BD交線段BA(或線段AD)于點(diǎn)E、交線段BC(或線段CD)于點(diǎn)F.以EF為邊作矩形EFGH,點(diǎn)G、H分別在圍成菱形的另外兩條線段上. (1)求證:BO=2OM; (2)當(dāng)矩形EFGH的面積為24時(shí),求⊙O的半徑. 2016-2017學(xué)年江蘇省鹽城市大豐區(qū)第一共同體九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共有8小題,每小題3分,共24分) 1.一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為( ?。? A.(x﹣3)2=14 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法. 【分析】先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到右邊,然后方程兩邊都加上32,這樣方程左邊就為完全平方式. 【解答】解:x2﹣6x﹣5=0, x2﹣6x=5, x2﹣6x+9=5+9, (x﹣3)2=14, 故選:A. 2.方程x2+2x+3=0的兩根的情況是( ?。? A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.沒有實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 D.不能確定 【考點(diǎn)】根的判別式. 【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=﹣8<0,由此即可得出原方程沒有實(shí)數(shù)根,此題得解. 【解答】解:∵在方程x2+2x+3=0中,△=22﹣413=﹣8<0, ∴方程x2+2x+3=0沒有實(shí)數(shù)根. 故選B. 3.如圖,AB是⊙O的直徑,直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A,PO交⊙O于點(diǎn)C,連接BC.若∠P=40,則∠ABC的度數(shù)為( ?。? A.20 B.25 C.40 D.50 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì). 【分析】利用切線的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)得到圓心角∠PAO的度數(shù),然后利用圓周角定理來求∠ABC的度數(shù). 【解答】解:如圖,∵AB是⊙O的直徑,直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A, ∴∠PAO=90. 又∵∠P=40, ∴∠POA=50, ∴∠ABC=∠POA=25. 故選:B. 4.有x支球隊(duì)參加籃球比賽,共比賽了45場(chǎng),每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng),則下列方程中符合題意的是( ?。? A. x(x﹣1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x﹣1)=45 D.x(x+1)=45 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程. 【分析】先列出x支籃球隊(duì),每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng),共可以比賽x(x﹣1)場(chǎng),再根據(jù)題意列出方程為x(x﹣1)=45. 【解答】解:∵有x支球隊(duì)參加籃球比賽,每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng), ∴共比賽場(chǎng)數(shù)為x(x﹣1), ∴共比賽了45場(chǎng), ∴x(x﹣1)=45, 故選A. 5.如圖為44的網(wǎng)格圖,A,B,C,D,O均在格點(diǎn)上,點(diǎn)O是( ?。? A.△ACD的外心 B.△ABC的外心 C.△ACD的內(nèi)心 D.△ABC的內(nèi)心 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;三角形的外接圓與外心. 【分析】根據(jù)網(wǎng)格得出OA=OB=OC,進(jìn)而判斷即可. 【解答】解:由圖中可得:OA=OB=OC=, 所以點(diǎn)O在△ABC的外心上, 故選B 6.⊙O是等邊△ABC的外接圓,⊙O的半徑為4,則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心;等邊三角形的性質(zhì). 【分析】連接OB,OC,過點(diǎn)O作OD⊥BC于D,由⊙O是等邊△ABC的外接圓,即可求得∠OBC的度數(shù),然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長(zhǎng),又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長(zhǎng). 【解答】解:連接OB,OC,過點(diǎn)O作OD⊥BC于D, ∴BC=2BD, ∵⊙O是等邊△ABC的外接圓, ∴∠BOC=360=120, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=30, ∵⊙O的半徑為4, ∴OA=4, ∴BD=OB?cos∠OBD=4cos30=2, ∴BC=4. ∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4, 故選:C. 7.如圖的六邊形是由甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形和丙、丁兩個(gè)等腰直角三角形所組成,其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和.若丙的一股長(zhǎng)為2,且丁的面積比丙的面積小,則丁的一股長(zhǎng)為何?( ?。? A. B. C.2﹣ D.4﹣2 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用. 【分析】設(shè)出丁的一股為a,表示出其它,再用面積建立方程即可. 【解答】解:設(shè)丁的一股長(zhǎng)為a,且a<2, ∵甲面積+乙面積=丙面積+丁面積, ∴2a+2a=22+a2, ∴4a=2+a2, ∴a2﹣8a+4=0, ∴a===42, ∵4+2>2,不合題意舍, 4﹣2<2,合題意, ∴a=4﹣2. 故選D. 8.如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90,OA=3,OB=2,將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得Rt△FOE,將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得線段ED,分別以O(shè),E為圓心,OA、ED長(zhǎng)為半徑畫弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是( ?。? A.π B. C.3+π D.8﹣π 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 【分析】作DH⊥AE于H,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可. 【解答】解:作DH⊥AE于H, ∵∠AOB=90,OA=3,OB=2, ∴AB==, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=,△DHE≌△BOA, ∴DH=OB=2, 陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積 =52+23+﹣ =8﹣π, 故選:D. 二、填空題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 9.若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則k= 9 . 【考點(diǎn)】根的判別式. 【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=62﹣41k=0,然后解一次方程即可. 【解答】解:∵一元二次方程x2+6x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, ∴△=62﹣41k=0, 解得:k=9, 故答案為:9. 10.正六邊形的每個(gè)外角是 60 度. 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角. 【分析】正多邊形的外角和是360度,且每個(gè)外角都相等,據(jù)此即可求解. 【解答】解:正六邊形的一個(gè)外角度數(shù)是:3606=60. 故答案為:60. 11.已知m是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一個(gè)根,則2m2﹣4m= 6?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的解. 【分析】根據(jù)m是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一個(gè)根,通過變形可以得到2m2﹣4m值,本題得以解決. 【解答】解:∵m是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一個(gè)根, ∴m2﹣2m﹣3=0, ∴m2﹣2m=3, ∴2m2﹣4m=6, 故答案為:6. 12.如圖,OA、OB是⊙O的半徑,點(diǎn)C在⊙O上,C、O在直線AB的同側(cè),連接AC、BC,若∠AOB=120,則∠ACB= 60 度. 【考點(diǎn)】圓周角定理. 【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=∠AOB,代入求出即可. 【解答】解:∵∠AOB=120, ∴∠ACB=∠AOB=60, 故答案為:60. 13.若⊙O的直徑是4,圓心O到直線l的距離為3,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是 相離 . 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系. 【分析】先求出⊙O的半徑,再根據(jù)圓心O到直線l的距離為3即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵⊙O的直徑是4, ∴⊙O的半徑r=2, ∵圓心O到直線l的距離為3,3>2, ∴直線l與⊙O相離. 故答案為:相離. 14.已知直角三角形的兩直角邊分別為5、12,則它的外接圓的直徑為 13?。? 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心. 【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng),根據(jù)直角三角形的外接圓的性質(zhì)解答即可. 【解答】解:由勾股定理得,直角三角形的斜邊為: =13, 則它的外接圓的直徑為13, 故答案為:13. 15.如圖,一個(gè)量角器放在∠BAC的上面,則∠BAC= 20 度. 【考點(diǎn)】圓周角定理. 【分析】連接OB,根據(jù)量角器的度數(shù),可求出∠BOC的度數(shù),進(jìn)而可根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系,求出∠BAC的度數(shù). 【解答】解:連接OB; 由題意,得:∠BOC=40; ∴∠BAC=∠BOC=20. 16.一個(gè)扇形的圓心角為120,面積為12πcm2,則此扇形的半徑為 6 cm. 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算. 【分析】根據(jù)扇形的面積公式S=即可求得半徑. 【解答】解:設(shè)該扇形的半徑為R,則 =12π, 解得R=6. 即該扇形的半徑為6cm. 故答案是:6. 17.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和9,第三邊的長(zhǎng)為一元二次方程x2﹣14x+48=0的一個(gè)根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 20 . 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關(guān)系. 【分析】因式分解法解方程求出x的值,再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系求出符合條件的x的值,最后求出周長(zhǎng)即可. 【解答】解:∵x2﹣14x+48=0,即(x﹣6)(x﹣8)=0, ∴x﹣6=0或x﹣8=0, 解得:x=6或x=8, 當(dāng)x=6時(shí),三角形的三邊3+6=9,構(gòu)不成三角形,舍去; 當(dāng)x=8時(shí),這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3+8+9=20, 故答案為:20. 18.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,以邊AB的中點(diǎn)O為圓心,作半圓與AC相切,點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn),連接PQ,則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是 4.5?。? 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì). 【分析】設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E,連接OE,作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1,此時(shí)垂線段OP1最短,P1Q1最小值為OP1﹣OQ1,求出OP1,如圖當(dāng)Q2在AB邊上時(shí),P2與B重合時(shí),P2Q2最大值=2.5+1.5=4,由此不難解決問題. 【解答】解:如圖,設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E,連接OE,作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1, 此時(shí)垂線段OP1最短,P1Q1最小值為OP1﹣OQ1, ∵AB=5,AC=4,BC=3, ∴AB2=AC2+BC2, ∴∠C=90, ∵∠OP1B=90, ∴OP1∥AC ∵AO=OB, ∴P1C=P1B, ∴OP1=AC=2, ∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1=0.5, 如圖,當(dāng)Q2在AB邊上時(shí),P2與B重合時(shí),P2Q2經(jīng)過圓心,經(jīng)過圓心的弦最長(zhǎng), P2Q2最大值=2.5+1.5=4, ∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是4.5. 故答案為:4.5. 三、解答題(本大題共有10小題,共96分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟) 19.解下列方程: (1)(x﹣2)2=3(x﹣2) (2)x2+3x﹣2=0. 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】(1)因式分解法求解可得; (2)公式法求解可得. 【解答】解:(1)(x﹣2)2﹣3(x﹣2)=0, (x﹣2)(x﹣2﹣3)=0, 所以x1=2,x2=5; (2)∵△=32﹣41(﹣2)=17, ∴x=. 20.如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,連結(jié)BD,∠BAD=105,∠DBC=75. 求證:BD=CD. 【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得∠DCB+∠BAD=180,然后可得∠DCB=180﹣105=75,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD=CD. 【解答】證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O, ∴∠DCB+∠BAD=180, ∵∠BAD=105, ∴∠DCB=180﹣105=75, ∵∠DBC=75, ∴∠DCB=∠DBC=75, ∴BD=CD. 21.已知:關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 (1)不解方程,判別方程根的情況; (2)若方程有一個(gè)根為3,求m的值. 【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的解. 【分析】(1)找出方程a,b及c的值,計(jì)算出根的判別式的值,根據(jù)其值的正負(fù)即可作出判斷; (2)將x=3代入已知方程中,列出關(guān)于系數(shù)m的新方程,通過解新方程即可求得m的值. 【解答】解:(1)由題意得,a=1,b=2m,c=m2﹣1, ∵△=b2﹣4ac=(2m)2﹣41(m2﹣1)=4>0, ∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; (2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一個(gè)根是3, ∴32+2m3+m2﹣1=0, 解得,m=﹣4或m=﹣2. 22.某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊周長(zhǎng)為30米的籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)為18米(如圖所示),設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米.若苗圃園的面積為72平方米,求x的值. 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程,從而可以解答本題. 【解答】解:設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米,則圃園與墻平行的一邊長(zhǎng)為(30﹣2x)米, x(30﹣2x)=72, 即x2﹣15x+36=0, 解得,x1=3(舍去),x2=12, 即x的值是12. 23.如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別于BC,AC相交于點(diǎn)D,E,BD=CD,過點(diǎn)D作⊙O的切線交邊AC于點(diǎn)F. (1)求證:DF⊥AC; (2)若⊙O的半徑為5,∠CDF=30,求的長(zhǎng)(結(jié)果保留π). 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);弧長(zhǎng)的計(jì)算. 【分析】(1)連接OD,由切線的性質(zhì)即可得出∠ODF=90,再由BD=CD,OA=OB可得出OD是△ABC的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得出,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠CFD=∠ODF=90,從而證出DF⊥AC; (2)由∠CDF=30以及∠ODF=90即可算出∠ODB=60,再結(jié)合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論. 【解答】(1)證明:連接OD,如圖所示. ∵DF是⊙O的切線,D為切點(diǎn), ∴OD⊥DF, ∴∠ODF=90. ∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位線, ∴OD∥AC, ∴∠CFD=∠ODF=90, ∴DF⊥AC. (2)解:∵∠CDF=30, 由(1)得∠ODF=90, ∴∠ODB=180﹣∠CDF﹣∠ODF=60. ∵OB=OD, ∴△OBD是等邊三角形, ∴∠BOD=60, ∴的長(zhǎng)===π. 24.如圖,在△OAC中,以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于點(diǎn)B,連接AB交OC于點(diǎn)D,∠CAD=∠CDA. (1)判斷AC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)若OA=10,OD=2,求線段AC的長(zhǎng). 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;勾股定理;垂徑定理. 【分析】(1)根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對(duì)頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD;然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個(gè)底角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90,即∠OAC=90,可得AC是⊙O的切線; (2)根據(jù)“等角對(duì)等邊”可以推知AC=DC,所以由圖形知OC=OD+CD;然后利用(1)中切線的性質(zhì)可以在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理來求AC的長(zhǎng)度. 【解答】解:(1)AC是⊙O的切線. 證明:∵點(diǎn)A,B在⊙O上, ∴OB=OA, ∴∠OBA=∠OAB, ∵∠CAD=∠CDA=∠BDO, ∴∠CAD+∠OAB=∠BDO+∠OBA, ∵BO⊥OC, ∴∠BDO+∠OBA=90, ∴∠CAD+∠OAB=90, ∴∠OAC=90,即OA⊥AC, 又∵OA是⊙O的半經(jīng), ∴AC是⊙O的切線; (2)設(shè)AC的長(zhǎng)為x. ∵∠CAD=∠CDA, ∴CD的長(zhǎng)為x. 由(1)知OA⊥AC, ∴在Rt△OAC中,OA2+AC2=OC2, 即102+x2=(2+x)2, ∴x=24, 即線段AC的長(zhǎng)為24. 25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣1,3)、(﹣4,1)(﹣2,1),先將△ABC沿一確定方向平移得到△A1B1C1,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(1,2),再將△A1B1C1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△A2B2C2,點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2. (1)畫出△A1B1C1; (2)畫出△A2B2C2; (3)求出在這兩次變換過程中,點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長(zhǎng). 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;作圖-平移變換. 【分析】(1)由B點(diǎn)坐標(biāo)和B1的坐標(biāo)得到△ABC向右平移5個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位得到△A1B1C1,則根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律寫出A1和C1的坐標(biāo),然后描點(diǎn)即可得到△A1B1C1; (2)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2,點(diǎn)B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B2,點(diǎn)C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C2,從而得到△A2B2C2; (3)先利用勾股定理計(jì)算平移的距離,再計(jì)算以O(shè)A1為半徑,圓心角為90的弧長(zhǎng),然后把它們相加即可得到這兩次變換過程中,點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長(zhǎng). 【解答】解:(1)如圖,△A1B1C1為所作; (2)如圖,△A2B2C2為所作; (3)OA1==4, 點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長(zhǎng)=+=+2π. 26.把一個(gè)足球垂直于水平地面向上踢,時(shí)間為t(秒)時(shí)該足球距離地面的高度h(米)適用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4). (1)當(dāng)t=3時(shí),求足球距離地面的高度; (2)當(dāng)足球距離地面的高度為10米時(shí),求t. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用. 【分析】(1)將t=3代入解析式求解可得; (2)將h=10代入解析式,解方程可得. 【解答】解:(1)當(dāng)t=3時(shí),h=20t﹣5t2=203﹣59=15(米), ∴當(dāng)t=3時(shí),足球距離地面的高度為15米; (2)∵h(yuǎn)=10, ∴20t﹣5t2=10,即t2﹣4t+2=0, 解得:t=2+或t=2﹣, 故經(jīng)過2+或2﹣時(shí),足球距離地面的高度為10米. 27.?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)﹣旋轉(zhuǎn)變換 (1)如圖①,在△ABC中,∠ABC=130,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50得到△A′B′C,連接BB′,求∠A′B′B的大??; (2)如圖②,在△ABC中,∠ABC=150,AB=3,BC=5,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到△A′B′C,連接BB′,以A′為圓心、A′B′長(zhǎng)為半徑作圓. (Ⅰ)猜想:直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (Ⅱ)連接A′B,求線段A′B的長(zhǎng)度; (3)如圖③,在△ABC中,∠ABC=α(90<α<180),將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2β角度(0<2β<180)得到△A′B′C,連接A′B和BB′,以A′為圓心、A′B′長(zhǎng)為半徑作圓,問:α與β滿足什么條件時(shí),直線BB′與⊙A′相切,請(qǐng)說明理由. 【考點(diǎn)】圓的綜合題. 【分析】(1)根據(jù)∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C,只要求出∠A′B′B即可. (2)(Ⅰ)結(jié)論:直線BB′與⊙A′相切.只要證明∠A′B′B=90即可. (Ⅱ)在Rt△ABB′中,利用勾股定理計(jì)算即可. (3)如圖③中,當(dāng)α+β=180時(shí),直線BB′與⊙A′相切.只要證明∠A′B′B=90即可解決問題. 【解答】解;(1)如圖①中,∵△A′B′C是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到, ∴∠A′B′C=∠ABC=130,CB=CB′, ∴∠CBB′=∠CB′B, ∵∠BCB′=50, ∴∠CBB′=∠CB′B=65, ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65. (2)(Ⅰ)結(jié)論:直線BB′與⊙A′相切. 理由:如圖②中,∵∠A′B′C=∠ABC=150,CB=CB′, ∴∠CBB′=∠CB′B, ∵∠BCB′=60, ∴∠CBB′=∠CB′B=60, ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90. ∴AB′⊥BB′, ∴直線BB′與⊙A′相切. (Ⅱ)∵在Rt△ABB′中, ∵∠AB′B=90,BB′=BC=5,AB′=AB=3, ∴A′B==. (3)如圖③中,當(dāng)α+β=180時(shí),直線BB′與⊙A′相切. 理由:∵∠A′B′C=∠ABC=α,CB=CB′, ∴∠CBB′=∠CB′B, ∵∠BCB′=2β, ∴∠CBB′=∠CB′B==90﹣β, ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90+β=180﹣90=90. ∴AB′⊥BB′, ∴直線BB′與⊙A′相切. 28.如圖,在射線BA、BC、AD、CD圍成的菱形ABCD中,∠ABC=60,AB=6,O是射線BD上一點(diǎn),⊙O與BA、BC都相切、與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.過M作EF⊥BD交線段BA(或線段AD)于點(diǎn)E、交線段BC(或線段CD)于點(diǎn)F.以EF為邊作矩形EFGH,點(diǎn)G、H分別在圍成菱形的另外兩條線段上. (1)求證:BO=2OM; (2)當(dāng)矩形EFGH的面積為24時(shí),求⊙O的半徑. 【考點(diǎn)】切線的判定;菱形的性質(zhì);矩形的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算. 【分析】(1)設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P,連接OP,由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90.先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù),然后依據(jù)含30直角三角形的性質(zhì)證明即可; (2)設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,連接AC,交BD于點(diǎn)Q.先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長(zhǎng),設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí).在Rt△BEM中,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(zhǎng)(用含r的式子表示),由圖形的對(duì)稱性可得到EF、ND、BM的長(zhǎng)(用含r的式子表示,從而得到MN=18﹣6r,接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可;當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí).BM=3r,則MD=18﹣3r,最后由MB=3r=12列方程求解即可. 【解答】解:(1)如圖1所示:設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P,連接OP,則∠OPB=90. ∵四邊形ABCD為菱形, ∴∠ABD=∠ABC=30. ∴OB=2OP. ∵OP=OM, ∴BO=2OP=2OM. (2)如圖2所示:設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,連接AC,交BD于點(diǎn)Q. ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD. ∴BD=2BQ=AB=18. 設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r. ①如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí). 在Rt△BEM中,EM= r.由對(duì)稱性得:EF=2EM=2r,ND=BM=3r. ∴MN=18﹣6r. ∴S矩形EFGH=EF?MN=2r(18﹣6r)=24. 解得:r1=1,r2=2. 如圖3所示: 點(diǎn)E在AD邊上時(shí).BM=3r,則MD=18﹣3r. 由對(duì)稱性可知:NB=MD=6.(根據(jù)圖2知), ∴MB=3r=18﹣6=12. 解得:r=4. 綜上所述,⊙O的半徑為1或2或4.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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