八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版50

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福建省福州市長(zhǎng)樂市2015-2016學(xué)年八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．在△ABC中，∠C=90，若AC=3，BC=4，則AB=（　?。? A． B．5 C． D．7 2．下列根式中，能與合并的是（　?。? A． B． C． D． 3．如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則∠DEC的度數(shù)為（　?。? A．150 B．120 C．60 D．30 4．下列四個(gè)x的值中，使根式?jīng)]有意義的是（　?。? A． B．3 C．2 D．1 5．把化為最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是（　?。? A． B． C． D． 6．下列幾組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　　） A．1，， B．15，8，17 C．13，14，15 D．，，1 7．在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　?。? A．1：2：3：4 B．1：3：3：1 C．3：3：1：1 D．3：1：3：1 8．下列運(yùn)算正確的是（　　） A． += B． C． =2016 D． 9．菱形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．對(duì)角線相等 B．四條邊相等 C．軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)角線互相平分 10．如圖，矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，BC交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，則BE的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．2 　 二、填空題 11．直角三角形中，兩直角邊分別是12和5，則斜邊上的中線長(zhǎng)是______． 12．已知是正整數(shù)，則n的最大值為______． 13．平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A（1，1）和B（4，﹣4）之間的距離為______． 14．命題“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的逆命題是：______． 15．如圖，矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別為S1，S2，當(dāng)點(diǎn)B在EF邊上時(shí)，則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為：______． 16．如圖所示是一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②′，…，依此類推，若正方形⑦的邊長(zhǎng)為1cm，則正方形①的邊長(zhǎng)______cm． 　 三、解答題（62分） 17．（10分）（2016春?長(zhǎng)樂市期中）計(jì)算 （1）（+2）2+（+）（﹣） （2）+﹣． 18．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且BE=FD，求證：四邊形AECF是平行四邊形． 19．如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，按下列要求作答： （1）在網(wǎng)格圖中畫一個(gè)?ABCD，使頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，AB=，AD=； （2）?ABCD的面積是______； （3）求∠ABD的度數(shù)． 20．如圖，梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)BO為0.7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.8m，求梯子AB的長(zhǎng)． 21．如果是我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60，30，15等大小的角，可以采用下面的方法（如圖）： 第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開． 第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)，得到了線段BN． （1）求∠NBC的度數(shù)； （2）通過以上折紙操作，還得到了一些不同角度的角，請(qǐng)寫出除∠NBC以外的兩個(gè)角及它們的度數(shù)； （3）請(qǐng)你繼續(xù)折出15大小的角，說出折紙步驟． 22．（10分）（2016春?長(zhǎng)樂市期中）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線AD上，且PA=PE． （1）求證：PC=PE； （2）求∠EPC的度數(shù)； （3）如圖2，把正方形ABCD改為邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，且∠ABC=120，其他條件不變，連接CE，求AP?CE的最小值． 23．（11分）（2016春?長(zhǎng)樂市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（正半軸不包含原點(diǎn)O），點(diǎn)C、D都在第一象限． （1）當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求證：OP平分∠AOB； （3）直接寫出OP長(zhǎng)的取值范圍． 　  2015-2016學(xué)年福建省福州市長(zhǎng)樂市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．在△ABC中，∠C=90，若AC=3，BC=4，則AB=（　?。? A． B．5 C． D．7 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】根據(jù)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方，即BC2+AC2=AB2，結(jié)合AC=3，BC=4，可求出斜邊AB的長(zhǎng)度． 【解答】解：在直角△ABC中， ∵∠C=90， ∴AB為斜邊， 則BC2+AC2=AB2， 又∵AC=3，BC=4， 則AB==5． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題目，像這類直接考查定義的題目，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式． 　 2．下列根式中，能與合并的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】同類二次根式． 【分析】把各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，找出的同類二次根式即可． 【解答】解：A、∵=2，∴與是同類二次根式，可以合并，故本選項(xiàng)正確； B、∵=，∴與不是同類二次根式，可以合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、∵=，∴與不是同類二次根式，可以合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∵=3，∴與不是同類二次根式，可以合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類二次根式，熟知一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解答此題的關(guān)鍵． 　 3．如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則∠DEC的度數(shù)為（　?。? A．150 B．120 C．60 D．30 【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得DE與BC的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得答案． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠C=60， ∵點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)， ∴DE∥BC， ∴∠DEC=180﹣∠C=180﹣60=120， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理以及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 　 4．下列四個(gè)x的值中，使根式?jīng)]有意義的是（　?。? A． B．3 C．2 D．1 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式?jīng)]有意義的條件是：被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，據(jù)此即可求解． 【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣2＜0， 解得：x＜2． 則滿足條件的只有1． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義． 　 5．把化為最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式． 【分析】根據(jù)二次根式的除法法則把原式變形，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可． 【解答】解： ==， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的除法法則和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 6．下列幾組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。? A．1，， B．15，8，17 C．13，14，15 D．，，1 【考點(diǎn)】勾股數(shù)． 【分析】滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，依此判斷即可． 【解答】解：A、∵1，，不都是整數(shù)，∴此選項(xiàng)不符合題意； B、∵152+82=172，且15，8，17都是整數(shù)，∴此選項(xiàng)符合題意； C、∵132+142≠152，∴此選項(xiàng)符合題意； D、∵，，1不都是整數(shù)，∴此選項(xiàng)不符合題意． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)，注意： ①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)． ②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)． ③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 　 7．在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　?。? A．1：2：3：4 B．1：3：3：1 C．3：3：1：1 D．3：1：3：1 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C=180，∠A+∠D=180，根據(jù)以上結(jié)論即可選出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠B+∠C=180，∠A+∠D=180， 即∠A和∠C的數(shù)相等，∠B和∠D的數(shù)相等，且∠B+∠C=∠A+∠D． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，能根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等及平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵． 　 8．下列運(yùn)算正確的是（　?。? A． += B． C． =2016 D． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】根據(jù)合并同類二次根式的法則、二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和二次根式的除法法則對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，判斷即可． 【解答】解： +=4+4=8，A錯(cuò)誤； ≠2016﹣，B錯(cuò)誤； ==2016，C正確； =，D錯(cuò)誤， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則、正確理解二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 9．菱形不一定具有的性質(zhì)是（　　） A．對(duì)角線相等 B．四條邊相等 C．軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)角線互相平分 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相平分且垂直，且平分一組對(duì)角，即可求得答案；注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用． 【解答】解：菱形的性質(zhì)有：四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分，是軸對(duì)稱圖形． ∴菱形不一定具有的性質(zhì)是：對(duì)角線相等． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記菱形的性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，BC交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，則BE的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．2 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠C′BD=∠DBC=∠BDA，可得DE=BE，設(shè)BE=DE=x，則AE=8﹣x．根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DBC=∠BDA， 由折疊的性質(zhì)得：∠C′BD=∠DBC， ∴∠C′BD=∠BDA， ∴DE=BE， 設(shè)BE=DE=x，則AE=8﹣x． 在△ABE中，由勾股定理得： x2=42+（8﹣x）2． 解得：x=5， ∴BE=5． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 11．直角三角形中，兩直角邊分別是12和5，則斜邊上的中線長(zhǎng)是　6.5?。? 【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理． 【分析】先根據(jù)勾股定理列式求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答． 【解答】解：∵直角三角形中，兩直角邊分別是12和5， ∴斜邊為=13， ∴斜邊上中線長(zhǎng)為13=6.5． 故答案為：6.5． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 12．已知是正整數(shù)，則n的最大值為　17?。? 【考點(diǎn)】二次根式的定義． 【分析】根據(jù)二次根式的定義，即可解答． 【解答】解：∵18﹣n≥0， ∴n≤18， ∵是正整數(shù)， ∴n的最大值是17， 故答案為：17． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟記二次根式的定義． 　 13．平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A（1，1）和B（4，﹣4）之間的距離為　?。? 【考點(diǎn)】勾股定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】直接根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算． 【解答】解：AB==， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離為AB=． 　 14．命題“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的逆命題是：　角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等?。? 【考點(diǎn)】命題與定理． 【分析】把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到其逆命題，“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的條件是“角平分線上的點(diǎn)”，結(jié)論是“到角兩邊距離相等的點(diǎn)”． 【解答】解：命題“在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”的逆命題是：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等， 故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等． 【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，根據(jù)逆命題的定義來回答，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題． 　 15．如圖，矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別為S1，S2，當(dāng)點(diǎn)B在EF邊上時(shí)，則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為：　S1=S2?。? 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】由于矩形ABCD的面積等于2個(gè)△ABC的面積，而△ABC的面積又等于矩形AEFC的一半，所以可得兩個(gè)矩形的面積關(guān)系． 【解答】解：∵矩形ABCD的面積S1=2S△ABC，S△ABC=S矩形AEFC， ∴S1=S2． 故答案為：S1=S2． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及面積的計(jì)算，能夠熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)進(jìn)行一些面積的計(jì)算問題． 　 16．如圖所示是一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②′，…，依此類推，若正方形⑦的邊長(zhǎng)為1cm，則正方形①的邊長(zhǎng)　8　cm． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】求出正方形的性質(zhì)，再根據(jù)勾股定理依次求出各正方形的面積，然后求出正方形①的面積，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)即可． 【解答】解：∵正方形⑦的邊長(zhǎng)為1cm， ∴正方形⑦的面積為1cm2， ∵各三角形都是等腰直角三角形， ∴正方形⑥的面積為1+1=2cm2， 同理，正方形⑤的面積是4cm2， 正方形④的面積是8cm2， 正方形③的面積是16cm2， 正方形②的面積是32cm2， 正方形①的面積是64cm2， ∴正方形①的邊長(zhǎng)8cm． 故答案為：8． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息，依次求出各正方形的面積是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（62分） 17．（10分）（2016春?長(zhǎng)樂市期中）計(jì)算 （1）（+2）2+（+）（﹣） （2）+﹣． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算． 【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式全部展開，再合并可得； （2）分別計(jì)算二次根式的除法、化簡(jiǎn)二次根式、二次根式的乘法，再合并同類二次根式即可． 【解答】解：（1）原式=3+4+4+5﹣3=9+4； （2）原式=+2﹣=2． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，混合運(yùn)算注意運(yùn)算順序． 　 18．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且BE=FD，求證：四邊形AECF是平行四邊形． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)“?ABCD的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD=BC且AD∥BC；然后由圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得AF=CE，則四邊形AECF的對(duì)邊AFCE，故四邊形AECF是平行四邊形． 【解答】證明：在□ABCD中，AD=BC且AD∥BC ∵BE=FD，∴AF=CE ∴四邊形AECF是平行四邊形 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法． 　 19．如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，按下列要求作答： （1）在網(wǎng)格圖中畫一個(gè)?ABCD，使頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，AB=，AD=； （2）?ABCD的面積是　4　； （3）求∠ABD的度數(shù)． 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和勾股定理可畫出AB和AD，然后過點(diǎn)D作DC=AB且DC∥AB，則四邊形ABCD滿足條件； （2）先利用三角形面積公式計(jì)算出△ABC的面積，然后利用平行四邊形的性質(zhì)求?ABCD的面積； （3）利用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，從而得到∠ABD的度數(shù)． 【解答】解：（1）如圖，平行四邊形ABCD為所作； （2）S平行四邊形ABCD=2S△ABC=214=4； 故答案為4； （3）解：連接BD，如圖， ∵AB=，AD=，BD==2， 而（）2+（2）2=（）2， ∴（AB）2+（BD）2=（AD）2， ∴△ABD為直角三角形，∠ABD=90． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解決（3）小題的關(guān)鍵是勾股定理的逆定理的應(yīng)用． 　 20．如圖，梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)BO為0.7m．如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.8m，求梯子AB的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】設(shè)AO=xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出x的值，即可求出AB的長(zhǎng)度． 【解答】解：設(shè)AO=xm，依題意，得AC=0.4，BD=0.8， 在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理 AB2=AO2+OB2=x2+0.72， 在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理 CD2=CO2+OD2=（x﹣0.4）2+（0.7+0.8）2， ∴x2+0.72=（x﹣0.4）2+（0.7+0.8）2， 解得x=2.4， ∴AB==2.5， 答：梯子AB的長(zhǎng)為2.5m． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到AB=CD為梯子長(zhǎng)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 　 21．如果是我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60，30，15等大小的角，可以采用下面的方法（如圖）： 第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開． 第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)，得到了線段BN． （1）求∠NBC的度數(shù)； （2）通過以上折紙操作，還得到了一些不同角度的角，請(qǐng)寫出除∠NBC以外的兩個(gè)角及它們的度數(shù)； （3）請(qǐng)你繼續(xù)折出15大小的角，說出折紙步驟． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）連接AN，易證△ABN為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)即可求出∠NBC的度數(shù)； （2）利用互余得到∠BMN=60，根據(jù)折疊性質(zhì)易得∠AMN=120； （3）把30度的角對(duì)折即可折出15大小的角． 【解答】（1）解：由折疊性質(zhì)可得，AB=NB，EF垂直平分AB，如圖1， 連接AN，則NA=NB， ∴AB=NB=NA， ∴△ABN為等邊三角形， ∴∠ABN=60， ∵四邊形ABCD為矩形， ∴∠ABC=90， ∴∠NBC=∠ABC﹣∠ABN=30； （2）通過以上折紙操作，還得到了∠BMN=60，∠AMN=120等； （3）如圖所示： 再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在BM上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BH，則∠ABH=15． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定及其性質(zhì)． 　 22．（10分）（2016春?長(zhǎng)樂市期中）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線AD上，且PA=PE． （1）求證：PC=PE； （2）求∠EPC的度數(shù)； （3）如圖2，把正方形ABCD改為邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，且∠ABC=120，其他條件不變，連接CE，求AP?CE的最小值． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE； （2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進(jìn)而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90得到結(jié)論； （3）借助（1）和（2）的證明方法易證△EPC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得AP=CE，當(dāng)AP?CE的值最小時(shí)，則AP最小，由垂線段最短可知當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP最小，利用勾股定理求出AP的值即可得到兩條線段乘積的最小值． 【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC， ∠ABP=∠CBP=45， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； （2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（對(duì)頂角相等）， ∴180﹣∠PFC﹣∠PCF=180﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90； （3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC， ∴∠DAP=∠AEP， ∴∠DCP=∠AEP ∵∠CFP=∠EFD（對(duì)頂角相等）， ∴180﹣∠PFC﹣∠PCF=180﹣∠DFE﹣∠AEP， 即∠CPF=∠EDF=180﹣∠ADC=180﹣120=60， ∴△EPC是等邊三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE， 當(dāng)AP?CE的值最小時(shí)，則AP最小，由垂線段最短可知當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP最小，此時(shí)AP==， ∴AP?CE的最小值==3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠ABP=∠CBP是解題的關(guān)鍵． 　 23．（11分）（2016春?長(zhǎng)樂市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（正半軸不包含原點(diǎn)O），點(diǎn)C、D都在第一象限． （1）當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求證：OP平分∠AOB； （3）直接寫出OP長(zhǎng)的取值范圍． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）過點(diǎn)C作CM⊥y軸于M，△MBC≌△OAB，得到MC=OB，MB=OA，再利用勾股定理求出OB=8，再求出MC，MO的值，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，14）； （2）過點(diǎn)P作PE⊥y軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則∠BEP=∠AFP=90，可通過三角形全等，證明OP是角平分線． （3）因?yàn)镺P是∠AOB的平分線上，就有∠POA=45，就有OP=PF，在Rt△APE中運(yùn)用三角函數(shù)就可以表示出PE的范圍，從而可以求出OP的取值范圍．． 【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥y軸于M，則∠CMB=∠BOA=90， ∴∠MBC+∠MCB=90， ∵四邊形ABCD為正方形 ∴AB=BC，∠ABC=90， ∴∠MBC+∠OBA=90， ∴∠MCB=∠OBA， 在△MBC和△OAB中， ∴△MBC≌△OAB， ∴MC=OB，MB=OA， ∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），AB=10 ∴=8， ∴MC=8，MO=MB+OB=6+8=14， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，14） （2）如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則∠BEP=∠AFP=90， ∵∠EOF=90， ∴∠EPF=90，即∠EPA+∠APF=90， ∵四邊形ABCD為正方形 ∴∠BPA=90，BP=AP， ∴∠BPA=90，即∠BPE+∠EPA=90， ∴∠BPE=∠APF， 在△BPE和△APF中， ∴△BPE≌△APF， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB． （3）設(shè)∠APF=α． 在直角△APF中，∠AEP=90，PA=5． ∴PF=PA?cosα=5cosa． ∵頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O）， ∴0≤α＜45， ∴＜cosa≤1． ∴5＜PF≤5，． ∵OP=PF， ∴5＜OP≤10 OP長(zhǎng)的取值范圍為5＜OP≤10． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)（四邊相等，四角相等，對(duì)角線互相垂直平分，且平分每一組對(duì)角）以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的運(yùn)用，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用．