高考數學（精講+精練+精析）專題6_3 數列的綜合問題試題 理（含解析）

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專題6.3 數列的綜合問題 【三年高考】 1. 【2016高考浙江理數】如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，， （）.若（ ） A．是等差數列 B．是等差數列 C．是等差數列 D．是等差數列 【答案】A 和兩個垂足構成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A． 2. 【2016高考新課標2理數】為等差數列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數，如． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求數列的前1 000項和． 【解析】（Ⅰ）設的公差為，據已知有，解得所以的通項公式為 （Ⅱ）因為所以數列的前項和為 3. 【2016高考新課標3理數】已知數列的前n項和，其中． （I）證明是等比數列，并求其通項公式； （II）若 ，求． 4. 【2016高考浙江理數】設數列滿足，． （I）證明：，； （II）若，，證明：，． 5. 【2016年高考四川理數】已知數列{ }的首項為1， 為數列的前n項和， ，其中q>0， . （Ⅰ）若 成等差數列，求的通項公式； （Ⅱ）設雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：. 【解析】（Ⅰ）由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對所有都成立.所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.從而.由成等比數列，可得，即，則，由已知,，故 .所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以雙曲線的離心率 ．由解得.因為，所以.于是，故. 6. 【2015高考福建，理8】若 是函數 的兩個不同的零點，且 這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 7.【2015高考浙江，理20】已知數列滿足=且=-（） （1）證明：1（）； （2）設數列的前項和為，證明（）. 【解析】（1）由題意得，，即，，由，得，由得，，即； （2）由題意得，∴①，由和得，， ∴，因此②，由①②得. 8.【2015高考安徽，理18】設，是曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）記，證明. 9.【2015高考陜西，理21】設是等比數列，，，，的各項和，其中，，． （I）證明：函數在內有且僅有一個零點（記為），且； （II）設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為，比較 與的大小，并加以證明． 【解析】（I），則所以在內至少存在一個零點.又，故在內單調遞增，所以在內有且僅有一個零點.因為是的零點，所以，即，故. 解法二 由題設，當時, 當時, 用數學歸納法可以證明.當時, 所以成立.假設時，不等式成立，即.那么，當時， .又，令，則，所以當,,在上遞減；當,,在上遞增.所以，從而，故.即，不等式也成立.所以，對于一切的整數，都有. 解法三:由已知，記等差數列為,等比數列為,則，，所以,令當時, ,所以. 當時, ，而，所以，.若，，，當，，，從而在上遞減，在上遞增.所以，所以當又，，故，綜上所述，當時，；當時. 10．【2014高考大綱理第18題】等差數列的前n項和為，已知，為整數，且. （I）求的通項公式； （II）設，求數列的前n項和. 11．【2014高考湖北理第18題】已知等差數列滿足：，且、、成等比數列. （1）求數列的通項公式. （2）記為數列的前項和，是否存在正整數，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由. 【解析】（1）設數列的公差為，依題意，成等比數列，所以，解得或，當時，；當時，，所以數列的通項公式為或. （2）當時，，顯然，不存在正整數，使得. 當時，，令，即，解得或（舍去）此時存在正整數，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當時，不存在正整數；當時，存在正整數，使得成立，的最小值為41. 12．【2014高考重慶理科第22題】設 （Ⅰ）若，求及數列的通項公式； （Ⅱ）若，問：是否存在實數使得對所有成立？證明你的結論. （Ⅱ）解法一：設，則.令，即，解得.下用數學歸納法證明加強命： 當時，，所以，結論成立. 假設時結論成立，即，易知在上為減函數，從而，即，再由在上為減函數得.故，因此，這就是說，當時結論成立.綜上，符合條件的存在，其中一個值為. 解法二：設，則，先證：……① 當時，結論明顯成立.假設時結論成立，即，易知在上為減函數，從而 ，即這就是說，當時結論成立，故①成立. 再證：………………………………② 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 等差數列與等比數列的綜合，數列與應用問題的結合，數列與函數、方程、不等式、向量、平面解析幾何、向量、三角函數的有機結合，互相滲透，已經成為近年來高考的熱點和重點． 【2017年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式可以看出，對等差數列與等比數列的綜合考察,“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”“需要什么，就求什么” ， 既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得 與“巧用性質”解題相同的效果．對數列與應用問題的結合的考察，主要是將實際應用問題轉化為數列模型，關鍵是要熟悉等差數列模型、等比數列模型，以及注意項與項之間的遞推關系．數列與函數、方程、不等式的結合，此類問題抓住一個中心-----函數,一是數列和函數的密切聯系，數列的通項公式是數列的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯系，注意利用它們的對應關系解題．數列與其他知識的結合，主要是通過三角函數或者解析幾何或者向量中包含的等量關系，得出數列的遞推公式或者通項公式，進而利用數列知識求解．數列問題是每年必考題目，預測2017年會繼續(xù)考查，以等差數列和等比數列的綜合應用題為主，要靈活掌握等差數列和等比數列的性質． 【2017年高考考點定位】 高考對數列綜合應用問題的考查有四種主要形式：一是等差、等比的綜合應用；二是等差、等比數列在實際中的應用；三是數列與函數、方程、不等式等其他知識的交匯考察． 【考點1】等差數列、等比數列的綜合應用 【備考知識梳理】 1．等差數列的判定： ①（為常數）；②；③（為常數）；④（為常數）．其中用來證明方法的有①②． 2.等比數列的判定：①（）；②（）；③； ④其中用來證明方法的有①②． 3．等差數列的通項公式： ， 2．等比數列的通項公式：， 4．等差數列前n項和公式：Sn= Sn= 5.等比數列前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關于n的正比例式)； 當q≠1時，Sn= Sn= 6等差數列{an}中，若m+n=p+q，則 7等比數列{an}中，若m+n=p+q，則 8等差數列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數列、……仍為等差數列. 9等比數列{an}的任意連續(xù)m項的和構成的數列……仍為等比數列（當m為偶數且公比為-1的情況除外） 10兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列 11兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數的數列{anbn}、、仍為等比數列 12.等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列 13等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列 14．等差中項公式：A= （有唯一的值） 15. 等比中項公式：G= （ab>0，有兩個值） 【規(guī)律方法技巧】 解決等差數列與等比數列的綜合問題，關鍵是理清兩個數列的關系．如果同一數列中部分項成等差數列，部分項成等比數列，要把成等差數列或等比數列的項抽出來單獨研究；如果兩個數列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數列分割開，弄清兩個數列各自的特征，再進行求解． 【考點針對訓練】 1. 【2016年江西省四校高三一模測試】已知數列是等比數列，數列是等差數列，若,則的值是（ ） A.1 B. C . D. 【答案】D 【解析】數列是等比數列，數列是等差數列，，且, 2. 【2016年廣州市畢業(yè)班綜合測試】已知數列是等比數列，，是和的等差中項. （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設，求數列的前項和. 【考點2】等差數列、等比數列的實際應用 【備考知識梳理】 解數列應用題的建模思路 從實際出發(fā)，通過抽象概括建立數學模型，通過對模型的解析，再返回實際中去，其思路框圖為： 【規(guī)律方法技巧】 1.等差、等比數列的應用題常見于：產量增減、價格升降、細胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結為數列建模問題. 2.將實際問題轉化為數列問題時應注意：（1）分清是等差數列還是等比數列；（2）分清是求an還是求Sn，特別要準確地確定項數n. 【考點針對訓練】 1. 【2016屆淮北一中高三最后一卷】 南北朝時期的數學古籍《張邱建算經》有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中間 三人未到者，亦依等次更給，問：每等人比下等人多得幾斤？”（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設得金最多的數為數列首項，公差為，則，解得，因此每等人比下等人多得斤．故選B． 2．【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有一道這樣的題目：把個面包分給五個人，使每人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最小份為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考點3】數列與其他知識的交匯 【備考知識梳理】 數列在高考中多與函數、不等式、解析幾何、向量交匯命題，近年由于對數列要求降低，但仍有一些省份在考查數列與其他知識的交匯.歸納起來常見的命題角度有： 1)數列與不等式的交匯； 2)數列與函數的交匯； 3)數列與解析幾何的交匯. 【規(guī)律方法技巧】 1．解決數列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．總之解決這類問題把數列和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了． 2．解決數列與函數、方程、三角函數、向量等知識結合的問題時，要通過其他知識，把問題轉化為數列項的遞推式或通項公式轉化為數列問題處理． 【考點針對訓練】 1. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三下三模】設是數列的前項和，時點在直線上，且的首項是二次函數的最小值，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，即，可知數列為等差數列，且公差為，又函數的最小值為，即，故． 2. 【2016屆吉林省白城一中高三下4月】已知函數，且，設等差數列的前項和為，若，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【應試技巧點撥】 1．運用方程的思想解等差(比)數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量(或)，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算． 2．深刻理解等差(比)數列的定義，能正確使用定義和等差(比)數列的性質是學好本章的關鍵．解題時應從基礎處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數列的相關性質及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運算量，既準又快地解決問題． 3．關于等差(等比)數列的基本運算，一般通過其通項公式和前n項和公式構造關于 (或)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運用等差(等比)數列的性質，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對等差(等比)數列問題的認識． (1)在等差數列與等比數列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯公式．(2)方程思想的應用往往是破題的關鍵． 4．數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列．因此，在研究函數問題時既要注意函數方法的普遍性，又要考慮數列方法的特殊性． 二年模擬 1. 【湖北2016年9月三校聯考】在各項均為正數的等比數列中，且成等差數列，記Sn是數列{an}的前n項和，則 ( ) A．32 B．62 C．27 D．81 【答案】B 2. 【2017屆廣州省惠州市高三第一次調研】設，，若是和的等比中項，則的最小值為（ ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因為，所以， 當且僅當即時“=”成立，故選C 3. 【2016年江西九江高三模擬】已知數列各項均不為，其前項和為，且，則______. 【答案】 【解析】法一： 當時，，即，∴.當時，，，兩式相減得，∵，∴，∴，都是公差為的等差數列，又，，∴是公差為的等差數列，∴，∴． 法二：通過觀察，發(fā)現剛好符合條件，故． 4. 【2016年湖北高三八校聯考】已知數列的前項和為，對任意，且恒成立，則實數的取值范圍是 ． 【答案】 5. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺五】設數列滿足，點對任意的，都有向量，則數列的前n項和_____. 【答案】 【解析】由點對任意的，都有向量，可得，數列是等差數列，公差為.由，則，可得，那么.故本題答案應填. 6.【2016屆上海市七寶中學高三模擬】設，且為常數，若存在一公差大于0的等差數列（），使得為一公比大于1的等比數列，請寫出滿足條件的一組的值________. 【答案】（答案不唯一，一組即可） 【解析】由題設可取,此時,存在數列,滿足題設,應填答案. 7. 【2016屆黑龍江大慶實驗中學高三考前訓練一】在正項等比數列中，，，則滿足的最大正整數的值為________． 【答案】 8. 【2016年江西師大附中高三二模】在公比為的等比數列中，與的等差中項是. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數，，的一部分圖像如圖所示，，為圖像 上的兩點，設，其中與坐標原點重合，，求的值. 9.【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】已知函數，數列的前項和為，點（）均在函數的圖象上． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）令，證明：． 【解析】（Ⅰ）點在的圖象上，，當時，； 當時，適合上式，（）； （Ⅱ）由，，又，， 成立． 10. 【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺二】已知數列的前項和，且. （1）求數列的通項公式； （2）令，是否存在，使得成等比數列？若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由. 11. 【2015屆福建省泉州五中高三模擬】已知數列是正項等差數列，若，則數列也為等差數列．已知數列是正項等比數列，類比上述結論可得 A．若滿足，則也是等比數列 B．若滿足，則也是等比數列 C．若滿足，則也是等比數列 D．若滿足，則也是等比數列 【答案】D 【解析】根據等比數列構造新的等比數列，乘積變化為乘方，，原來的除法為開方，，故答案為D． 12.【2015屆河南省南陽市一中高三下學期第三次模擬】已知數列是各項均不為的等差數列，為其前項和，且滿足．若不等式對任意的恒成立，則實數的取值范圍是 ． 【答案】 13. 【2015屆福建省泉州五中高三模擬】若數列滿足“對任意正整數，恒成立”，則稱數列為“差非增數列”． 給出下列數列： ①，②，③，④，⑤． 其中是“差非增數列”的有________（寫出所有滿足條件的數列的序號）． 【答案】③④． 14.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】已知數列的前項和為，，，． （Ⅰ）求證：數列是等比數列； （Ⅱ）設數列的前項和為，，點在直線上，若不等式對于恒成立，求實數的最大值． 【解析】（Ⅰ）由，得 ， 兩式相減得， 所以 （），因為，所以，，，所以是以為首項，公比為的等比數列 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因為點在直線上，所以， 故是以為首項，為公差的等差數列， 則，所以， 當時，，因為滿足該式，所以 所以不等式，即為， 令，則，兩式相減得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故當時，單調遞減；當時，；當時，單調遞增；當時，； 則的最小值為，所以實數的最大值是 15. 【2015屆江蘇省揚州市高三第四次調研】設個正數依次圍成一個圓圈．其中是公差為的等差數列，而是公比為的等比數列． （1）若，，求數列的所有項的和； （2）若，，求的最大值； （3）是否存在正整數，滿足？若存在，求出值； 若不存在，請說明理由． 即，則，即， 顯然，則，所以，將一一代入驗證知，當時，上式右端為，等式成立，此時， 綜上可得：當且僅當時，存在滿足等式． 拓展試題以及解析 1．已知等比數列的各項均為正數，且，，成等差數列，則=（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【入選理由】本題考查等比數列與等差數列通項公式等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題是等差數列與等比數列綜合應用,也是高考常考題型，故選此題． 2.我國數學史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經之首的《九章算術》，其中卷第七《盈不足》有一道關于等比數列求和試題：“今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？”其意思是：今有蒲生1日，長3尺.莞生1日，長1尺.蒲的生長逐日減其一半，莞的生長逐日增加1倍，問幾日蒲（水生植物名）、莞（植物名）長度相等．試估計___________日蒲、莞長度相等（結果采取“只入不舍”原則取整數，相關數據：，） 【答案】3 【解析】設日蒲、莞的長度相等．由題意知蒲、莞每天的長構成首項分別為3、1，公比分別為、2的等比數列，則，解得． 【入選理由】本題考查等比數列的定義與前項和等基礎知識，意在考查學生的邏輯思維能力、閱讀能力、獲取信息的能力．本題是數列的實際應用問題,高考每過幾年都會涉及，故選此題． 3.已知定義在上的函數滿足，當時，，設在上的最大值為，且的前項和為，則= ． 【答案】 【入選理由】本題主要考查指數函數與對數函數的圖象與性質、分段函數的最值、等比數列的前n項和公式等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，但知識交匯比較多，高考越來重視知識交匯命題，故數列與其他知識交匯命題更顯得重要，故選此題． 4.已知等差數列的首項，公差，為數列的前項和.若向量，，且，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，且，得，即，，又，所以.從而，，則，當且僅當，即時，上式等號成立，所以的最小值為4.故選A． 【入選理由】本題主要考查向量的坐標運算,向量的數量積,等差數列的前n項和公式,等差數列的通項公式,基本不等式等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，巧妙地與向量,不等式結合起來,有新意，故選此題． 5.設等差數列的前項和為，,若,且,數列的前項和為，且滿足 . （Ⅰ）求數列的通項公式及數列的前項和； （Ⅱ）是否存在非零實數，使得數列為等比數列？并說明理由. 【入選理由】本題考查等差數列的定義、數列求和、等比數列的性質等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題是一個探索性試題,作為數列全國卷中一般都不是太難,此題難度適中，故選此題． 6.設數列的前項和為，已知(n∈N*). （1）求的值，若，證明數列是等差數列； （2）設，數列的前項和為，若存在整數，使對任意n∈N*且n ≥2，都有成立，求的最大值. 【入選理由】本題考查數列的通項公式,等差數列的判定、放縮法、數列求和方法、不等式的證明,不等式恒成立等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，但知識交匯比較多，構思巧,技巧性大，故選此題． 7.已知數列的前項和． （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）記，，設數列的前項和為，求． （Ⅲ）設為數列的前項的和，若不等式 對任意的恒成立，試求正實數 的取值范圍． 【入選理由】本題考查數列的通項公式與前項和關系、等差數列等比數列通項公式求法、拆項相消求數列前n項和等基礎知識，意在考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化與化歸能力和運算求解能力．以及運算求解能力．本題等差與等比綜合，試題難度中等，題目不偏不怪，卻考查學生綜合分析問題能力，故選此題． 8.已知數列的前項和為，（）. （1）求數列的通項公式； （2）若數列滿足，記，求證：（）. 【入選理由】本題主要考查等比數列的基本運算，數列前項和的求解等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力, 綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．本題綜合性較高，試題難度不大，近年來數列與不等式的綜合題目甚多，故選此題．