高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問(wèn)題練習(xí) 文

《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問(wèn)題練習(xí) 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問(wèn)題練習(xí) 文（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第3講　數(shù)列的綜合問(wèn)題 1．(2016浙江)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝______，S5＝______. 答案　1　121 解析　由解得a1＝1，a2＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，② ①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1， ∴{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，以q＝3為公比的等比數(shù)列． ∴S5＝＝121. 2．(2016四川)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝，證明：e1＋e2＋…＋en>. (1)解　由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan對(duì)所有n≥1都成立． 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列． 從而an＝qn－1. 由2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，可得 2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，則(2q＋1)(q－2)＝0， 由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)證明　由(1)可知，an＝qn－1. 所以雙曲線x2－＝1的離心率 en＝＝. 由e2＝＝，解得q＝. 因?yàn)?＋q2(k－1)>q2(k－1)， 所以>qk－1(k∈N*)． 于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝. 故e1＋e2＋…＋en>. 1.數(shù)列的綜合問(wèn)題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用. 熱點(diǎn)一　利用Sn，an的關(guān)系式求an 1．?dāng)?shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系： an＝. 2．求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式． (2)在已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an. (3)在已知數(shù)列{an}中，滿足＝f(n)，且f(1)f(2)…f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項(xiàng)an. (4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)數(shù)列(等差、等比數(shù)列)． 例1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－2n，則Sn＝________. 答案　n2n 解析　由Sn＝2an－2n，得S1＝a1＝2a1－2，a1＝2，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n (n≥2)，則Sn＝2Sn－1＋2n (n≥2)， －＝1(n≥2)，所以是首項(xiàng)為＝1，公差為1的等差數(shù)列，所以＝＋n－1＝n，故Sn＝n2n. 思維升華　給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 跟蹤演練1　已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________． 答案　an＝2n 解析　Sn＝，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝，解得a1＝2或a1＝0(舍去)． 當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1＝－?a－a＝2(an＋an－1)， 因?yàn)閍n>0，所以an＋an－1≠0，則an－an－1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列， 故an＝2n. 熱點(diǎn)二　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題 數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問(wèn)題一般以數(shù)列為載體，考查最值問(wèn)題，不等關(guān)系或恒成立問(wèn)題． 例2　已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S1，S3，S2成等差數(shù)列，且a1－a3＝3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式an； (2)求Sn，并求滿足Sn≤2的n的值． 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q. 依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，從而q＝－， 由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4， ∴an＝4(－)n－1. (2)由(1)得a1＝4，q＝－， ∴Sn＝＝[1－(－)n]， 由Sn＝[1－(－)n]≤2得(－)n≥， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)不滿足，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， (－)n遞減，(－)n≤. ∴滿足(－)n＝的n的值為2，即滿足Sn≤2的n的值為2. 思維升華　解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視；(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s． 跟蹤演練2　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an，Sn)在y＝－x的圖象上(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若c1＝0，且對(duì)任意正整數(shù)n都有cn＋1－cn＝an.求證：對(duì)任意正整數(shù)n≥2，總有≤＋＋＋…＋＜. (1)解　∵Sn＝－an， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an， ∴an＝an－1.又∵S1＝－a1，∴a1＝， ∴an＝()n－1＝()2n＋1. (2)證明　由cn＋1－cn＝an＝2n＋1，得當(dāng)n≥2時(shí)，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)． ∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝[(1＋)－(＋)] ＝－(＋)＜. 又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得證． 熱點(diǎn)三　數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問(wèn)題．求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題，還是解不等式問(wèn)題，還是最值問(wèn)題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果． 例3　自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元，從第七年開(kāi)始，每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%. (1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式； (2)設(shè)An＝，若An大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年年初對(duì)M更新． (1)解　當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120，公差為－10的等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n， 當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}從a6開(kāi)始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a6＝130－60＝70為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列， 故an＝70()n－6， 所以第n年年初M的價(jià)值an＝ (2)證明　設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得 當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80， 當(dāng)n≥7時(shí)，由于S6＝570， 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋704[1－()n－6]＝780－210()n－6. 因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列． 因?yàn)锳n＝＝， A8＝≈82.734>80， A9＝≈76.823<80， 所以必須在第九年年初對(duì)M更新． 思維升華　常見(jiàn)數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法 (1)產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n. (2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋r)n. (3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋nr)． (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b＝. 跟蹤演練3　一牧羊人趕著一群羊通過(guò)6個(gè)關(guān)口，每過(guò)1個(gè)關(guān)口守關(guān)人將拿走當(dāng)時(shí)羊的一半，然后退還1只給牧羊人，過(guò)完這些關(guān)口后，牧羊人只剩下2只羊，則牧羊人在過(guò)第1個(gè)關(guān)口前有________只羊． 答案　2 解析　記此牧羊人通過(guò)第1個(gè)關(guān)口前、通過(guò)第2個(gè)關(guān)口前、……、通過(guò)第6個(gè)關(guān)口前，剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列{an}(n＝1,2,3,4,5,6)，則由題意得a2＝a1＋1，a3＝a2＋1，…，a6＝a5＋1，而a6＋1＝2，解得a6＝2，因此代入得a5＝2，a4＝2，…，a1＝2. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式Sn＝kan＋1，k為不等于0的常數(shù)． (1)試判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列； (2)若a2＝，a3＝1. ①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式； ②設(shè)bn＝log2Sn，數(shù)列{cn}滿足cn＝＋bn＋22bn，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n>1時(shí)，求使Tn0，因?yàn)閚∈N*，故n>9， 從而最小正整數(shù)n的值是10. A組　專題通關(guān) 1．在一個(gè)有窮數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間添加一項(xiàng)，使其等于兩個(gè)相鄰項(xiàng)的和，我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴(kuò)展”．已知數(shù)列1,2.第一次“H擴(kuò)展”后得到1,3,2；第二次“H擴(kuò)展”后得到1,4,3,5,2.那么第10次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A．1 023 B．1 025 C．513 D．511 答案　B 解析　設(shè)第n次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為an，則第n＋1次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，∴＝2.又∵a1－1＝3－1＝2，∴{an－1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， ∴an－1＝22n－1，∴an＝2n＋1，∴a10＝210＋1＝1 025.故選B. 2．在數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋a (n∈N*，a為常數(shù))，若平面上的三個(gè)不共線的非零向量，，滿足＝a1＋a2 016，三點(diǎn)A，B，C共線且該直線不過(guò)O點(diǎn)，則S2 016等于(　　) A．1 007 B．1 008 C．2 016 D．2 012 答案　B 解析　∵＝a1＋a2 016，且三點(diǎn)A，B，C共線， ∴必有a1＋a2 016＝1，又an＋1＝an＋a， ∴an＋1－an＝a為常數(shù)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列， 故S2 016＝＝1 008，故選A. 3．已知函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意自變量x都有f(x＋1)＝f(1－x)，且函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)．若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a6)＝f(a20)，則{an}的前25項(xiàng)之和為(　　) A．0 B. C．25 D．50 答案　C 解析　由已知函數(shù)關(guān)系可知a6＋a20＝2，又{an}是等差數(shù)列，所以a6＋a20＝a5＋a21＝a4＋a22＝a3＋a23＝a2＋a24＝a1＋a25＝a7＋a19＝a8＋a18＝a9＋a17＝a10＋a16＝a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝2，所以數(shù)列的前25項(xiàng)和為122＋1＝25，故選C. 4．今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布，則每天比前一天多織的布的尺數(shù)為(不作近似計(jì)算)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意可知，該女每天的織布量成等差數(shù)列，首項(xiàng)是5，公差為d，前30項(xiàng)和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，有390＝305＋d，解得d＝. 5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足＝ax，且f′(x)g(x)0，其前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝12，且2a1，a2，1＋a3成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝ (n∈N*)，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：≤Tn<. (1)解　依題意，得 即得d2＋d－12＝0. ∵d>0，∴d＝3，a1＝1. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)證明　∵bn＝＝ ＝(－)， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1－)＝. ∵n∈N*，∴>0， 故Tn<，又Tn為單調(diào)遞增， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，取最小值，故≤Tn<. B組　能力提高 11．2008年5月18日某愛(ài)心人士為一位孤兒去銀行存款a元，存的是一年定期儲(chǔ)蓄；2009年5月18日他將到期存款的本息一起取出，再加a元后，還存一年的定期儲(chǔ)蓄，此后每年5月18日都如此，假設(shè)銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變，直到2015年5月18日這位孤兒準(zhǔn)備上大學(xué)時(shí)，他將所有的存款和利息全部取出并且資助給這位孤兒，則取出的錢數(shù)共為(　　) A．a(chǎn)(1＋r)7元 B．a(chǎn)[(1＋r)7＋(1＋r)]元 C.[(1＋r)7－r]元 D.[(1＋r)8－(1＋r)]元 答案　D 解析　由題意，2009年5月18日的存款為a(1＋r)＋a元； 2010年5月18日的存款為a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a元； 2011年5月18日的存款為a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a元； 2012年5月18日的存款為a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a元； 2013年5月18日的存款為a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a元； 2014年5月18日的存款為a(1＋r)6＋a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a元； 到2015年5月18日他所有的存款和本息為a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＝[(1＋r)8－(1＋r)]元． 12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12，且f(a2－4)＝f(2a－8)，設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn (n∈N*)，若Sn＝f(n)，則的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意可得a2－4＝2a－8或a2－4＋2a－8＝2(－)，解得a＝1或a＝－4， 當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋9x－10，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列； 當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)＝x2＋4x，Sn＝f(n)＝n2＋4n， ∴a1＝5，a2＝7，an＝5＋(7－5)(n－1)＝2n＋3， ∴＝ ＝ ＝ ≥＝＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)n＋1＝，即n＝－1時(shí)取等號(hào)， ∵n為正數(shù)，故當(dāng)n＝3時(shí)原式取最小值，故選D. 13．對(duì)于數(shù)列{an}，若?m，n∈N* (m≠n)，都有≥t (t為常數(shù))成立，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P(t)． (1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，且具有性質(zhì)P(t)，則t的最大值為_(kāi)_______； (2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－，且具有性質(zhì)P(10)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(1)2　(2)[36，＋∞) 解析　(1)≥t?≥0， 所以數(shù)列{an－tn}是遞增數(shù)列， 即an＋1－t(n＋1)－(an－tn)≥0. 因?yàn)閍n＝2n，所以上式化簡(jiǎn)為t≤2n，得t≤2， 故t的最大值為2. (2)由已知條件得≥10 ?≥0. 所以數(shù)列{an－10n}是遞增數(shù)列， 即an＋1－10(n＋1)－(an－10n)≥0. 因?yàn)閍n＝n2－， 所以上式化簡(jiǎn)為－a≤n(n＋1)(2n－9)， 令f(n)＝n(n＋1)(2n－9)， 由三次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知f(n)min為f(1)或f(2)或f(3)或f(4)． f(1)＝－14，f(2)＝－30，f(3)＝－36，f(4)＝－20. 所以f(n)min＝－36，所以－a≤－36?a≥36， 故a的取值范圍為[36，＋∞)． 14．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an是關(guān)于x的不等式x2－x＋－＝0， 故f(n＋1)>f(n)，∴當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，f(n)為增函數(shù)，∴f(n)≥f(2)＝， 綜上可知≤f(n)<1.