八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 1_2 第1課時(shí) 勾股定理教案 （新版）湘教版

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1．2　直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ) 第1課時(shí)　勾股定理 1．經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；(重點(diǎn)) 2．掌握勾股定理，并應(yīng)用它解決簡單的計(jì)算題；(重點(diǎn)) 3．了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法．(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：勾股定理 【類型一】 直接運(yùn)用勾股定理 　　　　　　　　　　　　　　　 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求： (1)AC的長； (2)S△ABC； (3)CD的長． 解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13cm，BC＝5cm，根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據(jù)CDAB＝BCAC即可求出CD. 解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12(cm)； (2)∵S△ABC＝CBAC＝512＝30(cm2)； (3)∵S△ABC＝ACBC＝CDAB，∴CD＝＝(cm)． 方法總結(jié)：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題 【類型二】 分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC周長． 解析：本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論． 解：此題應(yīng)分兩種情況： (1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖①所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周長為15＋13＋14＝42； (2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖②所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周長為：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周長為32或42. 方法總結(jié)：解題時(shí)要考慮全面，對于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的圖形，判斷是否符合題意． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題 【類型三】 勾股定理與等腰三角形的綜合 如圖所示，已知△ABC中，∠B＝22.5，AB的垂直平分線分別交BC、AB于D、F點(diǎn)，BD＝6，AE⊥BC于E，求AE的長． 解析：欲求AE，需與BD聯(lián)系，連接AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AD＝BD.可證△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的長． 解：如圖所示，連接AD.∵DF是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD＝6，∴∠BAD＝∠B＝22.5.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45，AE⊥BC，∴∠DAE＝45，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(6)2，∴AE＝＝6. 方法總結(jié)：22.5雖然不是特殊角，但它是特殊角45的一半，所以經(jīng)常利用等腰三角形和外角進(jìn)行轉(zhuǎn)換．直角三角形中利用勾股定理求邊長是常用的方法． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題 探究點(diǎn)二：勾股定理與圖形的面積 探索與研究： 方法1：如圖： 對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90得直角三角形AED，所以∠BAE＝90，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程； 方法2：如圖： 任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示再寫一種證明勾股定理的方法嗎？ 解析：方法1：根據(jù)四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進(jìn)行解答；方法2：根據(jù)△ABC和Rt△ACD的面積之和等于Rt△ABD和△BCD的面積之和解答． 解：方法1：S正方形ACFD＝S四邊形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2； 方法2：S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2. 方法總結(jié)：證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理證明勾股定理． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題 三、板書設(shè)計(jì) 1．勾股定理 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2. 2．勾股定理的應(yīng)用 3．勾股定理與圖形的面積 課堂教學(xué)中，要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性．讓學(xué)生滿懷激情地投入到學(xué)習(xí)中，提高課堂效率．勾股定理的驗(yàn)證既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，可設(shè)計(jì)拼圖活動(dòng)，并自制精巧的課件讓學(xué)生從圖形上感知，再層層設(shè)問，從面積(數(shù))入手，師生共同探究突破本節(jié)課的難點(diǎn)