新北師大版八年級下冊《三角形的證明》.doc

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A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等 2．下列說法中，正確的是（ ） A．兩腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等 B．兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 C．兩銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 D．面積相等的兩個三角形全等 3．如圖，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°， 則∠EAC的度數(shù)為（ ） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．已知：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM. 1．下列說法正確的是（ ）A．一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 B．斜邊相等的兩個直角三角形全等C．斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等 D．一邊長相等的兩等腰直角三角形全等 2．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，若△ADB≌ △EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為（　?。〢．15° B．20° C．25° D．30° 3．如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中，和△ABC全等的圖形是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 5．如圖4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，求證：EF＝AE＋BF． （2）如圖4－11，將直線l繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D，請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系． ①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD． 1．等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（　　） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，則腰長x的取值范圍是（　　） A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6 4．如圖，∠MON=43°，點(diǎn)A在射線OM上，動點(diǎn)P在射線ON上滑動， 要使△AOP為等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)P共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 5．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE過O且平行于BC，已知△ADE的周長為10cm，BC的長為5cm，求△ABC的周長． 6、如下圖，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一點(diǎn)（M與A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分線于點(diǎn)D，求證：MD=MA. 1．如圖，已知直線AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，則∠A等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 2．下列說法錯誤的是（　?。? A．頂角和腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等 B．頂角和底邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等 C．斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等 D．兩個等邊三角形全等 3．如圖，是一個5×5的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A和點(diǎn)B在小正方形的頂點(diǎn)上．點(diǎn)C也在小正方形的頂點(diǎn)上．若△ABC為等腰三角形，滿足條件的C點(diǎn)的個數(shù)為（　　）A．6 B．7 C．8 D．9 4．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交 AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（　?。〢．6 B．7 C．D．9 5．如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF=EF，BD=CE，過D作DG∥AC交BC于G．求證： （1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形． 1．下列說法中不正確的是（　　） A．有一腰長相等的兩個等腰三角形全等B．有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等 C．斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等 D．斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等 2．如圖，在等邊△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，則∠CDE的度數(shù)是（　　） A．10° B．12.5° C．15° D．20° 3、如右圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD. 1．下列命題：①兩個全等三角形拼在一起是一個軸對稱圖形；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線所在直線；③等邊三角形一邊上的高所在直線就是這邊的垂直平分線；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形．其中錯誤的有（ ?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．如圖，AC=CD=DA=BC=DE．則∠BAE是∠BAC的（　?。? A．4倍 B．3倍 C．2倍 D．1倍 3．如圖，等邊△ABC的周長是9，D是AC邊上的中點(diǎn)，E在BC的延 長線上．若DE=DB，則CE的長為 ． 4．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別為BC、CA上的兩點(diǎn)， 且BD=CE，連接AD、BE交于F點(diǎn)，則∠FAE+∠AEF的度數(shù) 是（　　） A．60° B．110° C．120° D．135° 5．如圖，已知：∠MON=30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A6B6A7的邊長為（　?。? A．6 B．12 C．32 D．64 6.如圖①，M、N點(diǎn)分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點(diǎn)Q． （1）求證：∠BQM=60°； （2）如圖②，如果點(diǎn)M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立? 若成立，給予證明；若不成立，說明理由． 7．如圖，C為線段BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），在BD同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點(diǎn)F，AD與CE交于點(diǎn)H，BE與AC交于點(diǎn)G． （1）求證：BE=AD；（2）求∠AFG的度數(shù)；（3）求證：CG=CH． 1、否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反正假設(shè)為（　?。? A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù) B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù) D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù) 2、用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反證假設(shè)正確的是（　?。? A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60° C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60° 3、證明：在一個三角形中至少有兩個角是銳角． 1、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假： （1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0； （4）在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等 2．使兩個直角三角形全等的條件是（　?。? A．一個銳角對應(yīng)相等B．兩個銳角對應(yīng)相等C．一條邊對應(yīng)相等 D．兩條邊對應(yīng)相等 3．等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，它的腰長為（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與 對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（　?。? A．1 B． C． D．2 5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線， 若CD=2，那么BD等于（　?。? A．6 B．4 C．3 D．2 6．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC的面積等于3， 則點(diǎn)A到邊BC的距離為（　?。? A． B． C．4 D．3 7．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點(diǎn)在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F． （1）求證：△ACE≌△BCD； （2）直線AE與BD互相垂直嗎? 請證明你的結(jié)論． 8．如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中有一個△ABC，△ABC的三個頂點(diǎn)均與小正方形的頂點(diǎn)重合． （1）在圖中畫△BCD，使△BCD的面積=△ABC的面積（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上）． （2）請直接寫出以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的周長． 9．如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處； （1）求證：B′E=BF； （2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關(guān)系，并給予證明． 1．利用基本尺規(guī)作圖，下列條件中，不能作出唯一直角三角形的是（　?。? A．已知斜邊和一銳角 B．已知一直角邊和一銳角 C．已知斜邊和一直角邊 D．已知兩個銳角 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是（　　） A． B． C． D． 3．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 ． 4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=AB，則∠A等于（　?。? A．30° B．45° C．60° D．不能確定 5．已知：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分別為AB、MB的中點(diǎn)． 求證：CD⊥AB． 6．如圖，在5×5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為1，∠BCD是不是直角? 請說明理由． 7．正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1．每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形： （1）在圖1中，畫△ABC，使△ABC的三邊長分別為3、、； （2）在圖2中，畫△DEF，使△DEF為鈍角三角形且面積為2． 【提高練習(xí)】 1．如圖．矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3．則AB的長為（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（　?。? A．4 B．6 C．16 D．55 3．張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表： n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示： a= ，b= ，c= ； （2）猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想． 4．如圖，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為（　?。? A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，BD=8，則AC= ． 6．圖1、圖2分別是10×8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，A、B兩點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D1、圖2中各取一點(diǎn)C（點(diǎn)C必須在小正方形的頂點(diǎn)上），使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形分別滿足以下要求： （1）在圖1中畫一個△ABC，使△ABC為面積為5的直角三角形； （2）在圖2中畫一個△ABC，使△ABC為鈍角等腰三角形． 7．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P． （1）求證：△AEB≌△CDA；??? （2）求∠BPQ的度數(shù)； （3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的長． 【典型例題】 1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分線 DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不正確的是（　?。? A．AE=BE B．AC=BE C．CE=DE D．∠CAE=∠B 2．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB 的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于 點(diǎn)D，連接AD．若△ADC的周長為10，AB=7，則△ABC的周長為（　?。? A．7 B．14 C．17 D．20 3．三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，則這點(diǎn)一定是三角形的（　?。? A．三條中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條高的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn) 4．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（　　） A．在AC，BC兩邊高線的交點(diǎn)處B．在AC，BC兩邊中線的交點(diǎn)處 C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處D．在∠A，∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 5．如圖，AD為∠BAC的角平分，線段AD的垂直平分線交AB于M，交AC于N，試說明MD∥AC． 6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：BF=2CF． 7．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F，求證：AB垂直平分DF． 【變式練習(xí)】 1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC 于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．如圖，在△ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D， 交AC于點(diǎn)E．△BCE的周長等于50，求BC的長為多少？ 3．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC， BC=13cm，則△AEG的周長為多少？ 4．已知：如圖，△ABC的∠A＞∠ABC，邊BC的垂直平分線DE 分別交AC，BC于D，E，則AD+BD與BC的關(guān)系是（　?。? A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定 5．如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置? 你能畫圖說明嗎? 6．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，△BCE的周長為8cm，且AC－BC=2cm，求AB、BC的長． 1．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于D、E點(diǎn)．MN垂直平分AC，分別交AC、BC于M、N點(diǎn)． （1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度數(shù)； （2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度數(shù)； （3）若∠BAC=α（α≠90°），直接寫出用α表示∠EAN大小的代數(shù)式． 2．如圖2，點(diǎn)D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∠A=35°， 則∠D等于（　?。〢．50° B．65° C．55° D．70° 3．如圖3，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC邊上的垂直平分線DE交 BC、BA分別于點(diǎn)D、E，則△AEC的周長等于（　　） A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)－b C．2a+b D．a(chǎn)+2b 4．如圖有一塊直角三角形紙片，∠ACB=90°，兩直角邊AC=4， BC=8，線段DE垂直平分斜邊AB，則CD等于（　?。? A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5．如圖，∠ABC=50°，AD垂直平分線段BC于點(diǎn)D，∠ABC的 平分線交AD于E，連接EC；則∠AEC等于（　?。? A．100° B．105° C．115° D．120° 1．如圖，∠POA=∠POB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，OP=13， OD=12，PD=5，則PE=（　?。? A．13 B．12 C．5 D．1 2．三角形內(nèi)有一點(diǎn)，它到三邊的距離相等，則這點(diǎn)是該三角形的（　?。? A．三條中線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn) C．三條高線交點(diǎn) D．三條高線所在直線的交點(diǎn) 3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D， 若CD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離DE是（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 4．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B． 下列結(jié)論中不一定成立的是（　　） A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP 5．如圖，直線a、b、c，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)擬建一個 貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可以供選擇的 地址有（　?。〢．一處 B．四處 C．七處 D．無數(shù)處 6．求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且點(diǎn)P到AC，AB的距離相等．（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法） 7．（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）．設(shè)計(jì)了如下方案： （Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線． （Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線． （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行? 若可行，請證明；若不可行，請說明理由； （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行? 請說明理由． 8．如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF交AD于點(diǎn)G、試判斷線段AD與EF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 9．如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，D是∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且DO⊥BC，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N． 求證：BM=CN． 【變式練習(xí)】 1．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的 一個動點(diǎn)，若PA=2，則PQ的最小值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 2．如圖所示，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB， 垂足分別是C、D，若OE=4，∠AOB=60°，求DE的長 3．如圖，利用尺規(guī)求作所有點(diǎn)P，使點(diǎn)P同時滿足下列兩個條件：①點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離相等；②點(diǎn)P到直線l1，l2的距離相等．（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法） 4．已知：如圖所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF．求證：CF=EB． 5．已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC． （1）若連接AM，則AM是否平分∠BAD? 請你證明你的結(jié)論； （2）線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系? 請說明理由． 【提高練習(xí)】 1．如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果 PC=6，求PD等于 2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個數(shù)是（　?。? ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°； ③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如下圖左，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AB上，且PC平分∠ACB．若PB=3，AC=10，則△PAC的面積為 ． 5．已知：如上圖右，AB∥CD，O為∠BAC、∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于點(diǎn)E，若兩平行線間的距離為6，求 OE的長 6．2011年4月21日是重慶一中80周年校慶日，學(xué)校準(zhǔn)備進(jìn)一步美化校園，在校內(nèi)一塊四邊形草坪內(nèi)栽上一棵銀杏樹如圖，要求銀杏樹的位置點(diǎn)P到邊AB、BC的距離相等，并且P到點(diǎn)A、D的距離也相等．請用尺規(guī)作圖作出銀杏樹的位置點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）． 18 .