高中數(shù)學(xué) 單元測試二 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 北師大版必修2

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單元測試二　點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 班級(jí)____　姓名____　考號(hào)____　分?jǐn)?shù)____ 本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘． 　 　　　　　　　　 　　　 　　　 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若點(diǎn)M在直線a上，a在平面α內(nèi)，則M、a、α間的關(guān)系可記為(　　) A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α C．M?a，a?α D．M?a，a∈α 答案：B 2．下列說法正確的是(　　) A．經(jīng)過空間三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 B．經(jīng)過圓心和圓上兩點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 C．若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面 D．經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面 答案：D 3．a(chǎn)、b是異面直線，則(　　) A．存在α⊥a，α⊥b B．一定存在a?α且b⊥α C．一定存在a?α且α∥b D．一定存在α∥a且α⊥b 答案：C 解析：A與線面垂直性質(zhì)定理矛盾；B當(dāng)a與b不垂直時(shí)不成立；D不一定成立． 4．若平面α外有一條直線l與α內(nèi)的兩條平行線都垂直，則(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l與α斜交 D．以上都有可能 答案：D 解析：因?yàn)槠矫嫱獾闹本€與α內(nèi)的兩條平行線垂直，所以不能確定l與α的具體位置關(guān)系，它們可能垂直，也可能斜交或平行． 5．下列說法不正確的是(　　) A．同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行 B．已知a，b，c，d是四條直線，若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d C．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1的中點(diǎn)，則直線AE，D1F異面 D．梯形一定是平面圖形 答案：C 6．直線l不垂直于α，則α內(nèi)與l垂直的直線有(　　) A．0條 B．1條 C．無數(shù)條 D．α內(nèi)所有直線 答案：C 解析：不管l與平面α關(guān)系如何，過l一定可找到一平面β，在β內(nèi)可做一直線l′⊥l，然后將l′平行平移到α內(nèi)，再在α內(nèi)作l′的平行線，由空間兩直線垂直的定義可知，在α內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直．故選C. 7．對(duì)于直線m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 答案：C 解析：兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面． 8．如右圖所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PD的最小值為(　　) A. B．2 C．3 D. 答案：D 解析：把α、β展開成一個(gè)平面，如圖，作AE∥BC，延長DC交AE于E，則AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝＝. 9．已知三平面α、β、γ互相平行，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)，若AB＝10，＝，則AC等于(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：D 解析：連接AF交β于G，連接AD，BG，GE，CF，在△ACF中，由β∥γ得BG∥CF，∴＝，在△AFD中，由α∥β得AD∥GE，∴＝，∴＝＝，又AB＝10，∴AC＝20. 10．在下列四個(gè)正方體中(如圖所示)，能得出AB⊥CD的是(　　) 答案：A 解析：由線面垂直可判定異面直線是否垂直． 二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上． 11．在棱長都相等的三棱錐P－ABC中，相互垂直的棱的對(duì)數(shù)為__________． 答案：3 12．已知∠ABC＝120，∠ABC與∠A1B1C1的兩邊分別平行，則∠A1B1C1＝________. 答案：60或120 13．已知三條相交于一點(diǎn)的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且A、B、C在同一平面內(nèi)，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是△ABC的________．(填內(nèi)心、外心、垂心、重心中的一個(gè)) 答案：垂心 解析：如圖所示， ∵PA⊥PB，PA⊥PC， ∴PA⊥平面PBC，BC?平面PBC， ∴BC⊥PA.又∵BC⊥PH ∴BC⊥平面PAH，AH?平面PAH ∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB. ∴H是△ABC的垂心． 三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 14．如圖所示，已知三角形ABC中∠ACB＝90，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求證：AD⊥面SBC. 證明：∵∠ACB＝90，∴BC⊥AC. 又SA⊥面ABC，∴SA⊥BC. ∴BC⊥面SAC， ∴BC⊥AD. 又SC⊥AD，SC∩BC＝C， ∴AD⊥面SBC. 15．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN.求證：MN∥平面BB1C1C. 證明：如圖所示 作NE∥AB交BC于E，作MF∥AB交B1B于F，連結(jié)EF，則NE∥MF. ∵NE∥AB，∴＝ 又MF∥AB∥A1B1， ∴＝ ∵CA＝BA1，AN＝A1M， ∴CN＝BM. ∴＝. 又AB＝A1B1，∴NE＝MF. ∴四邊形MNEF是平行四邊形，∴MN綊EF. 又MN?平面B1BCC1，EF?平面B1BCC1， ∴MN∥平面B1BCC1. 16. 如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝，CE＝2，G、F分別為BE、BC的中點(diǎn)．求證： (1)AB⊥平面ACED； (2)平面BDE⊥平面BCE. 解：(1)∵AD⊥平面ABC，AD?平面ACED，∴平面ABC⊥平面ACED， ∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC， ∵平面ABC∩平面ACED＝AC，AB?平面ABC，∴AB⊥平面ACED. (2)∵AB＝AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC. ∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥AF，又∵BC∩CE＝C，∴AF⊥平面BCE， 又GF是△BCE的中位線，∴GF綊CE. ∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD＝1，CE＝2，∴AD綊CE， ∴AD綊GF，∴四邊形GFAD為平行四邊形，∴AF∥GD， ∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE. 17. 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC1的中點(diǎn)． (1)求證：CD∥平面A1EB； (2)求證：AB1⊥平面A1EB. 解：(1)設(shè)AB1和A1B的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO、OD， ∵O為AB1的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，∴OD∥BB1，且OD＝BB1. 又E是CC1中點(diǎn)， ∴EC∥BB1，且EC＝BB1，∴EC∥OD且EC＝OD. ∴四邊形ECDO為平行四邊形，∴EO∥CD. 又CD?平面A1BE，EO?平面A1BE，則CD∥平面A1BE. (2)∵三棱柱各側(cè)面都是正方形，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC. ∴BB1⊥平面ABC. ∵CD?平面ABC，∴BB1⊥CD. 由已知得AB＝BC＝AC，∴CD⊥AB，∴CD⊥平面A1ABB1. 由(1)可知EO∥CD，∴EO⊥平面A1ABB1，∴EO⊥AB1. ∵側(cè)面是正方形，所以AB1⊥A1B. 又EO∩A1B＝O，EO?平面A1EB，A1B?平面A1EB， ∴AB1⊥平面A1BE. 18．某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐P－EFGH，下半部分是長方體ABCD－EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正(主)視圖和俯視圖． (1)請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)(左)視圖； (2)證明：直線BD⊥平面PEG. 解：(1)該安全標(biāo)識(shí)墩左視圖，如圖所示． (2)證明：由題設(shè)知四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形， ∴FH⊥EG， 又ABCD－EFGH為長方體， ∴BD∥FH， 設(shè)點(diǎn)O是EFGH的對(duì)稱中心， ∵P－EFGH是正四棱錐， ∴PO⊥平面EFGH，而FH?平面EFGH， ∴PO⊥FH. ∵FH⊥PO，F(xiàn)H⊥EG，PO∩EG＝O， PO?平面PEG，EG?平面PEG， ∴FH⊥平面PEG. 而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.