高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其線性運算 3.1.2 共面向量定理學業(yè)分層測評 蘇教版

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其線性運算 3.1.2 共面向量定理學業(yè)分層測評 蘇教版選修2-1 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 一、填空題 1．下列命題中，假命題是________(填序號)． ①若與共線，則A，B，C，D不一定在同一直線上； ②只有零向量的模等于0； ③共線的單位向量都相等． 【解析】　①②正確．共線的單位向量方向不一定相同，③錯誤． 【答案】　③ 2．下列結(jié)論中，正確的是________(填序號)． ①若a，b，c共面，則存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ②若a，b，c不共面，則不存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ③若a，b，c共面，b，c不共線，則存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc. 【解析】　要注意共面向量定理給出的是一個充要條件．所以第②個命題正確．但定理的應用又有一個前提；b，c是不共線向量，否則即使三個向量a，b，c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確，③正確． 【答案】?、冖? 3．已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量＝＋＋λ確定的點P與A，B，C共面，那么λ＝________. 【解析】　∵P與A，B，C共面，∴＝α＋β， ∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝. 【答案】　 4．如圖317，已知空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則＝________(用向量a，b，c表示)． 圖317 【解析】　設(shè)G為BC的中點，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則＝＋＝＋ ＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) ＝3a＋3b－5c. 【答案】　3a＋3b－5c 5．如圖318，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 圖318 【解析】　＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝. 【答案】　 6．如圖319，在三棱錐ABCD中，若△BCD是正三角形，E為其重心，則＋－－化簡的結(jié)果為________. 【導學號：09390071】 圖319 【解析】　∵E為△BCD的重心， ∴DE＝DF，＝. ∴＋－－＝＋－－ ＝－－＝－＝0. 【答案】　0 7．i，j，k是三個不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四點共面，則λ的值為________． 【解析】　若A，B，C，D四點共面，則向量，，共面，故存在不全為零的實數(shù)a，b，c， 使得a＋b＋c＝0， 即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0， ∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. ∵i，j，k不共面， ∴ ∴ 【答案】　1 8．有四個命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面； ②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，則P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，則＝x＋y. 其中真命題是________(填序號)． 【解析】　由共面向量定理知，①正確；若p與a，b共面，當a與b共線且p與a和b不共線時，就不存在實數(shù)組(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②錯誤；同理③正確，④錯誤． 【答案】?、佗? 二、解答題 9．如圖3110所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，試用a，b，c表示. 圖3110 【解】　如圖，連結(jié)AF，則＝＋.由已知ABCD是平行四邊形， 故＝＋＝b＋c，＝＋＝－a＋c. 由已知，＝2，∴＝＋＝－＝－＝c－(c－a)＝(a＋2c)， 又＝－＝－(b＋c)，∴＝＋ ＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)． 10．如圖3111所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形． 圖3111 【證明】　∵E，H分別是AB，AD的中點， ∴＝，＝， 則＝－ ＝－＝ ＝(－)＝ ＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠|(zhì)|. 又F不在直線EH上， ∴四邊形EFGH是梯形． 能力提升] 1．平面α內(nèi)有點A，B，C，D，E，其中無三點共線，O為空間一點，滿足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，則x＋3y＝________. 【解析】　由點A，B，C，D共面得x＋y＝，又由點B，C，D，E共面得2x＋y＝，聯(lián)立方程組解得x＝，y＝，所以x＋3y＝. 【答案】　 2．已知點G是△ABC的重心，O是空間任一點，若＋＋＝λ，則λ＝________. 【解析】　如圖，取AB的中點D， ＝＋ ＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(－)＋(－)] ＝＋＋. ∴＋＋＝3. 【答案】　3 3．(2016貴港高二檢測)在下列命題中： ①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； ②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； ③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； ④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p，總存在實數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正確命題的個數(shù)是______． 【解析】　a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故②不正確；三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們?nèi)齻€卻不一定共面，故③不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確．綜上可知，四個命題中正確的個數(shù)為0. 【答案】　0 4．如圖3112，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H為BC的中點．求證：FH∥平面EDB. 圖3112 【證明】　因為H為BC的中點，所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)． 因為EF∥AB，CD∥AB，且AB＝2EF，所以2＋＝0，所以＝(＋)＝＋. 因為與不共線，由共面向量定理知，，，共面． 因為FH?平面EDB， 所以FH∥平面EDB.