高中數(shù)學 第三章 基本初等函數(shù)(Ⅰ) 第34課時 函數(shù)的應用（Ⅱ）練習 新人教B版必修1

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第34課時　函數(shù)的應用(Ⅱ) 課時目標 1.能夠運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)來解決某些簡單的實際問題． 2．了解函數(shù)模型在社會生活及科研中的廣泛應用． 3．培養(yǎng)應用數(shù)學的意識和分析問題、解決問題的能力． 識記強化 1．平均增長率問題 如果原來產(chǎn)值的基數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值y為y＝N(1＋p)x. 2．儲蓄中的復利問題 如果本金為a元，每期利率為r，本利和為y，存期為x，則它們的關(guān)系為y＝a(1＋r)x. 3．常見的函數(shù)模型： (1)指數(shù)函數(shù)模型，y＝kax＋b(k≠0，a＞0，a≠1)． (2)對數(shù)函數(shù)模型，y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1，x＞0)． (3)冪函數(shù)模型，y＝kxn＋b(k≠0，n為常數(shù)，n≠1)． 課時作業(yè) (時間：45分鐘，滿分：90分) 　　　　　　　　　　 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數(shù)關(guān)系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log3x D．f4(x)＝2x 答案：D 解析：在同一坐標系中畫出函數(shù)f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的圖象(圖略)，可知當x＞4時，f4(x)＞f1(x)＞f2(x)＞f3(x)，故選D. 2．某人2010年1月1日到銀行存入a元，年利率為x，若按復利計算，則到2015年1月1日可取款(　　) A．a(chǎn)(1＋x)5元 B．a(chǎn)(1＋x)4元 C．[a＋(1＋x)5]元 D．a(chǎn)(1＋x5)元 答案：A 解析：2010年1月1日到銀行存入a元，到2011年1月1日本息共a(1＋x)元，作為本金轉(zhuǎn)入下一個周期，到2012年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2015年1月1日可取款a(1＋x)5元，故選A. 3．某個體企業(yè)的一個車間有8名工人，以往每人年薪為1萬元，從今年起，計劃每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪為8千元，第二年起與老工人的年薪相同．若以今年為第一年，那么，將第n年企業(yè)付給工人的工資總額y(單位：萬元)表示成n的函數(shù)，其表達式為(　　) A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4 B．y＝81.2n＋2.4n C．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4 答案：A 解析：第一年企業(yè)付給工人的工資總額為11.28＋0.83＝9.6＋2.4＝12萬元，而對于4個選項而言，當n＝1時，C，D相對應的函數(shù)值均不為12，故可排除C，D.再考慮第二年企業(yè)付給工人的工資總額，第二年有11個老工人，3個新工人，工資總額為(111.22＋2.4)萬元，故選A. 4．某山區(qū)為加強環(huán)境保護，綠色植被的面積每年都比上一年增長10.4%，那么，經(jīng)過x年綠色植被的面積可以增長為原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(　　) 答案：D 解析：設該山區(qū)第一年的綠色植被的面積為a，則y＝＝(1＋10.4%)x，故選D. 5．某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，則使產(chǎn)品達到市場要求的最少過濾次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案：C 解析：設經(jīng)過n次過濾，產(chǎn)品達到市場要求，則()n≤，即()n≤，由nlg≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥≈7.4，所以選C. 6．如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關(guān)系：y＝at，有以下敘述： ①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2； ②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2； ③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過1.5個月； ④浮萍每月增加的面積都相等； ⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3，則t1＋t2＝t3.其中正確的命題個數(shù)為(　　) A．1　　　B．2 C．3　　　D．4 答案：C 解析：由圖象可知①②⑤正確． 二、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分) 7．2014年某品牌手機經(jīng)兩次降價，單價由原來的2 000元降到1 280元，那么這種手機兩次降價的平均百分率為________． 答案：20% 解析：設兩次降價的平均百分率為x%，則2 000(1－x%)2＝1 280，∴(1－x%)2＝64%，∴1－x%＝80%，∴x%＝20%，∴這種手機平均降價的百分率為20%. 8．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(單位：萬件)與月份x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a0.5x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份分別生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬件、1.5萬件．則此工廠3月份生產(chǎn)該產(chǎn)品________萬件． 答案：1.75 解析：由題意，知，∴，∴y＝(－2)0.5x＋2，把x＝3代入，解得y＝1.75. 9．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的質(zhì)量M(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關(guān)系是v＝2 000ln，要使火箭的最大速度可達12 km/s，則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是__________． 答案：e6－1 解析：v＝12 km/s＝1.2104 m/s，代入v＝2 000ln(1＋)中得： 1．2104＝2 000ln(1＋)?＝e6－1，即燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是e6－1. 三、解答題(本大題共4小題，共45分) 10．(12分)某食品廠對蘑菇進行深加工，每千克蘑菇的成本為20元，并且每千克蘑菇的加工費為t(t為常數(shù)，且2≤t≤5)元，設該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x(25≤x≤40)元．根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量q(單位：kg)與ex成反比，當每千克蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100 kg. (1)求該工廠的日銷售利潤y(單位：元)與每千克蘑菇的出廠價x(單位：元)的函數(shù)關(guān)系式： (2)若t＝5，則每千克蘑菇的出廠價為多少時，該工廠的日銷售利潤為100e4元？ 解：(1)設日銷售量q＝(25≤x≤40)，則＝100， ∴k＝100e30， ∴日銷售量q＝(25≤x≤40)， ∴y＝(25≤x≤40)． (2)當t＝5時，y＝＝100e4，則x－25＝ex－26， 根據(jù)函數(shù)y＝x－25與y＝ex－26的圖象(如圖所示)， 可求得方程x－25＝ex－26的解為x＝26， ∴當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的日銷售利潤為100e4元． 11．(13分)某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間t的變化規(guī)律是N＝N0e－λt，其中N0、λ是正的常數(shù)． (1)說明函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)； (2)把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)； (3)求當N＝時t的值． 解：(1)由于N0＞0，λ＞0，函數(shù)N＝N0e－λt是屬于指數(shù)函數(shù)y＝e－x類型的，所以它是減函數(shù)， 即原子數(shù)N的值隨時間t的增大而減?。? (2)將N＝N0e－λt寫成e－λt＝， 根據(jù)對數(shù)的定義有－λt＝ln， 即t＝－(lnN－lnN0)＝(lnN0－lnN)． (3)把N＝代入t＝(lnN0－lnN)，得t＝ ＝(lnN0－lnN0＋ln2)＝ln2. 能力提升 12．(5分)含有一組實驗數(shù)據(jù)如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似值表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是(　　) A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t－2 答案：C 解析：取t＝1.99≈2，代入A得v＝log22＝1≠1.5，代入B得v＝log2＝－1≠1.5，代入C得v＝＝1.5，代入D得v＝22－2＝2≠1.5. 13．(15分)某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線． (1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)； (2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時，治療疾病有效． ①求服藥一次治療疾病的有效時間； ②當t＝5時，第二次服藥，問t∈時，藥效是否連續(xù)？(已知函數(shù)y＝4(x－5)＋()x－3在t∈[5，tx]上是增函數(shù)) 解：(1)當0≤t＜1時，y＝4t. 當t≥1時，y＝()t－a，此時，M(1,4)在曲線上， ∴4＝()1－a，∴a＝3，這時y＝t－3. ∴y＝f(t)＝ (2)①由f(t)≥0.25，解得≤t≤5，所以服藥一次治療的有效時間為5－＝4小時． ②設t∈，血液含藥量g(t)為：第二次的含藥量4(t－5)毫克加上第一次的剩余量()t－3毫克 即g(t)＝4(t－5)＋()t－3. ∵t∈[5,5]，t－3＞0 又已知g(t)＝4(t－5)＋t－3在上為增函數(shù)，故g(t)≥g(5)＝0.25. ∴t＝5時，第二次服藥在t∈時藥效連續(xù)．