高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測評11 排序不等式 新人教A版選修4-5
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【課堂新坐標】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測評11 排序不等式 新人教A版選修4-5 (建議用時:45分鐘) [學(xué)業(yè)達標] 一、選擇題 1.設(shè)a≥b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,則P與Q的大小關(guān)系是( ) A.P>Q B.P≥Q C.P0,∴a2≥b2>0. 因此a3+b3≥a2b+ab2(排序不等式), 則P≥Q. 【答案】 B 2.設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn為兩組實數(shù),在排序不等式中,順序和,反序和,亂序和的大小關(guān)系為( ) A.反序和≥亂序和≥順序和 B.反序和=亂序和=順序和 C.反序和≤亂序和≤順序和 D.反序和、亂序和、順序和大小關(guān)系不確定 【答案】 C 3.設(shè)正實數(shù)a1,a2,a3的任一排列為a′1,a′2,a′3,則++的最小值為( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 設(shè)a1≥a2≥a3>0,則≥≥>0,由亂序和不小于反序和知, ++≥++=3, ∴++的最小值為3,故選A. 【答案】 A 4.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,…,xn都是正數(shù),則A與B的大小關(guān)系為( ) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B 【解析】 依序列{xn}的各項都是正數(shù),不妨設(shè)0<x1≤x2≤…≤xn,則x2,x3,…,xn,x1為序列{xn}的一個排列.依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即x+x+…+x≥x1x2+x2x3+…+xnx1.故選C. 【答案】 C 5.已知a,b,c為正實數(shù),則a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正負情況是( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 【解析】 設(shè)a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3, 根據(jù)排序原理,得a3a+b3b+c3c≥a3b+b3c+c3a. 又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab, ∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab, 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 【答案】 B 二、填空題 6.若a,b,c∈R+,則++________a+b+c. 【解析】 不妨設(shè)a≥b≥c>0,則bc≤ca≤ab,≤≤, ∴++≥++=a+b+c. 【答案】 ≥ 7.有4人各拿一只水桶去接水,設(shè)水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5 s,4 s,3 s,7 s,每個人接完水后就離開,則他們總的等候時間最短為________s. 【解析】 等候的最短時間為:34+43+52+71=41(s). 【答案】 41 8.設(shè)a1,a2,a3為正數(shù),且a1+a2+a3=1,則++的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號:32750058】 【解析】 不妨設(shè)a3>a1>a2>0,則<<, 所以a1a20, 則a2≥b2≥c2>0, ∴a3+b3=a2a+b2b≥a2b+b2a, ∴a3+b3≥ab(a+b). (2)由(1)知,同理b3+c3≥bc(b+c),c3+a3≥ac(c+a), 所以++ ≤+ + = ==. 故原不等式得證. 10.已知a,b,c都是正數(shù),求++的最小值. 【解】 由對稱性,不妨設(shè)0<c≤b≤a,則有a+b≥a+c≥b+c>0,所以0<≤≤. 由排序不等式得 ++ ≥++,① ++≥++.② 由①②知2≥3, ∴++≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,++取最小值. [能力提升] 1.銳角三角形中,設(shè)P=,Q=acos C+bcos B+ccos A,則P,Q的關(guān)系為( ) A.P≥Q B.P=Q C.P≤Q D.不能確定 【解析】 不妨設(shè)A≥B≥C,則a≥b≥c, cos A≤cos B≤cos C,則由排序不等式有Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A =R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A) ≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)] =R(sin C+sin A+sin B)==P. 【答案】 C 2.已知a+b+c=1,a,b,c為正數(shù),則++的最小值是________. 【解析】 不妨設(shè)a≥b≥c,∴≥≥, ∴++≥++,① ++≥++,② ①+②得++≥, ∴++≥. 【答案】 3.在Rt△ABC中,∠C為直角,A,B所對的邊分別為a,b,則aA+bB與(a+b)的大小關(guān)系為________. 【導(dǎo)學(xué)號:32750059】 【解析】 不妨設(shè)a≥b>0, 則A≥B>0,由排序不等式 ?2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B) =(a+b), ∴aA+bB≥(a+b). 【答案】 aA+bB≥(a+b) 4.已知0<α<β<γ<,求證:sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>(sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 【證明】 ∵0<α<β<γ<,且y=sin x在上為增函數(shù),y=cos x在上為減函數(shù), ∴0 cos β>cos γ>0. 根據(jù)排序不等式得:亂序和>反序和. ∴sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α >sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ =(sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 故原不等式得證.
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