高中數(shù)學 模塊測試 蘇教版選修2-21

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高中數(shù)學 模塊測試 蘇教版選修2-2 (時間：120分鐘，滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．若復數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為__________． 2．已知f(x)dx＝A，f(x)dx＝B，則f(x)dx＝________. 3．用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)時，從“k到k＋1”左邊需乘的代數(shù)式是________． 4．設a∈，函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值為1，最小值為，則常數(shù)a＝________，b＝________. 5．函數(shù)y＝sin2x的圖象在點A處的切線的斜率是________． 6．在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據如下表，觀察表中數(shù)據的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中“________”內． 年齡(歲) 30 35 40 45 50 55 60 65 收縮壓(水銀柱/毫米) 110 115 120 125 130 135 __ 145 舒張壓(水銀柱/毫米) 70 73 75 78 80 83 __ 88 7．根據圖形及相應的點的個數(shù)，找出其中的一種規(guī)律，畫出第4個、第5個圖形，并寫出相應的點的個數(shù)． 8．在復平面內，復數(shù)＋(1＋i)2對應的點位于第________象限． 9．(2012課標全國高考改編)下面是關于復數(shù)的四個命題： p1：|z|＝2，　　p2：z2＝2i， p3：z的共軛復數(shù)為1＋i，　　p4：z的虛部為－1， 其中的真命題為__________． 10．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝__________. 11．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值為________，極小值為________． 12．曲線y＝x2＋2x與直線x＝－1，x＝1及x軸所圍圖形的面積為________． 13．函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍是________． 14．已知z＝(m＋3)＋(2m＋1)i(m≥0)，則|z|的最小值為________． 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)設復數(shù)z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數(shù)，求. 16．(14分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：ax＋by≤1(分別用綜合法、分析法證明)． 17．(14分)設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行， 求：(1)a的值； (2)函數(shù)f(x)的單調區(qū)間． 18．(16分)已知y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實數(shù)根，且f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表達式； (2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積． 19．(16分)已知某商品進價為m元/件，根據以往經驗，當售價是元/件時，可賣出p件．市場調查表明，當售價下降8%時，銷量可增加40%，現(xiàn)決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利潤？ 20．(16分)當n∈N*時，，. (1)求S1，S2，T1，T2； (2)猜想Sn與Tn的關系，并用數(shù)學歸納法證明． 參考答案 1. 答案：3＋5i　解析：設z＝a＋bi，a，b∈R，則z(2－i)＝(a＋bi)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，所以解得所以z＝3＋5i. 2. 答案：B－A　解析：∵f(x)dx＋f(x)dx ＝f(x)dx， ∴f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝B－A. 3. 答案：2(2k＋1)　解析：當n＝k時，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，當n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1)， ∴增加了＝2(2k＋1). 4. 答案：　1　解析：∵f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，則x＝0或x＝a，而f(－1)＝b－1－a，f(0)＝b，f(a)＝a3－aa2＋b＝b－，f(1)＝b＋1－a. ∵，∴.∴f(0)＝b＝1，f(x)min＝f(－1)＝b－1－a＝，. 5. 答案：　解析：y′＝(sin2x)′＝sin 2x， ∴函數(shù)y＝sin2x的圖象在點A處的切線的斜率. 6. 答案：140　85 7. 答案： 8. 答案：二　解析：∵＋(1＋i)2＝ ＝ ＝， 又∵，， ∴已知復數(shù)對應的點在第二象限. 9. 答案：p2，p4　解析：z＝＝－1－i，故|z|＝，p1錯誤；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2正確；z的共軛復數(shù)為－1＋i，p3錯誤；p4正確. 10. 答案：123　解析：利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123. 規(guī)律為從第三組開始，其結果為前兩組結果的和. 11. 答案：　0　解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0， 即2p＋q＝3①. 因f(x)過(1,0)點，所以1－p－q＝0，即p＋q＝1②. 由①②，得p＝2，q＝－1， 即f(x)＝x3－2x2＋x. f′(x)＝3x2－4x＋1. 令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 所以當時，f(x)取得極大值；當x＝1時，f(x)取得極小值0. 12. 答案：2　解析：S＝(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx ＝ ＝. 13. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. 因為函數(shù)f(x)有極大值和極小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個不相等的實根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1. 14. 答案：　解析：∵|z|2＝(m＋3)2＋(2m＋1)2＝m2＋6m＋9＋4m2＋4m＋1＝5m2＋10m＋10＝5(m2＋2m＋1)＋5＝5(m＋1)2＋5.∵m≥0，∴|z|min2＝10， ∴|z|min＝. 15. 答案：解：設z＝a＋bi(a，b∈R)， 由|z|＝1得，(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是純虛數(shù)，則3a－4b＝0,4a＋3b≠0， ∴解得或 ∴或. 16. 答案：證明：綜合法： ∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2， ∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2). 又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， ∴2(ax＋by)≤2. ∴ax＋by≤1. 分析法： 要證ax＋by≤1成立， 只要證1－(ax＋by)≥0， 只要證2－2ax－2by≥0， 又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 只要證a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0， 即證(a－x)2＋(b－y)2≥0，此不等式顯然成立， ∴ax＋by≤1成立. 17. 答案：解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax－9，由題意，得 . 解得a＝－3(a＝3舍去). (2)由f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)＞0，得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(－∞，－1)和(3，＋∞)， 由f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)＜0，得函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(－1,3). 18. 答案：解：(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b. 又f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有兩個相等的實數(shù)根， 即x2＋2x＋c＝0有兩個相等的實數(shù)根， ∴Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依題意，所求面積為 S＝(x2＋2x＋1)dx＝. 19. 答案：解：設銷售價為x元/件時m＜x≤n，銷售利潤為L(x)＝(x－m) ＝p(x－m)， 令， 解得. 因為L(x)只有一個極值，而且是極大值， 所以為極大值點. 因此，銷售價為元/件時，可獲得最大利潤. 20. 答案：解：(1)， ， ，. (2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)，即(n∈N*). 下面用數(shù)學歸納法證明： ①n＝1時，已證S1＝T1； ②假設n＝k時，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)， 即， 則 ＝ ＝ ＝ ＝. 由①②可知，對任意n∈N*，Sn＝Tn都成立.