滬教版七年級數(shù)學(xué)知識點總結(jié).doc

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6、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。 9.5合并同類項 1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做 同類項。 2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。 一個多項式合并后含有幾項，這個多項式就叫做幾項式。 3、合并同類項的法則是：把同類項的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后 的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。 第二節(jié)9.6整式的加減： 去括號法則： （1）括號前面是"＋"號，去掉"＋"號和括號，括號里各項的不變號； （2）括號前面是"－"號，去掉"－"號和括號，括號里的各項都變號。 添括號法則 （1）所添括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號； （2）所添括號前面是“－”號，括到括號里的各項都改變符號。 第三節(jié)整式的乘法9.7同底數(shù)冪的乘法、9.8冪的乘方、9.9積的乘方： ①同底數(shù)冪的乘法 am·an=am+n(m、n都是正整數(shù))。 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 ②冪的乘方與積的乘方 （am）n=amn(m、n都是正整數(shù)) 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 （ab）n=anbn (n都是正整數(shù)) 積的乘方等于各因式乘方的積。 ③同底數(shù)冪的除法 am÷an=am-n(a≠0,mn都是正整數(shù)，且m＞n) 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 a0=1（a≠0）1 ap 任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1。 a-p= (a≠0,p是正整數(shù)) 任何一個不等零的數(shù) 的-p(p是正整數(shù))指數(shù)冪，等這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。 9.10整式的乘法： ⑴單項式與單項式相乘： 　單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。 ⑵單項式與多項式相乘： 　單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即。 注意：單項式乘多項式實際上是用分配率向單項式相乘轉(zhuǎn)化。 ⑶多項式與多項式相乘： 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加， 即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。 第四節(jié)、乘法公式 9.11平方差公式 ①內(nèi)容： （ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2 ②意義： 　 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積，等于這兩個數(shù)的平方差。 ③特征： 　 Ⅰ.左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項相同，另一項互 為相反數(shù)； Ⅱ.右邊是乘式中兩項的平方差； Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理數(shù)，也可以是單項式或多項式。 ④幾何意義： 　　 平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過程中面積相等 的表達式。 ⑤拓展： Ⅰ.立方和公式：?。ǎ幔猓ǎ?－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3； Ⅱ.立方差公式： （ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3。 （ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ2＋…＋ａ2ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。 9.12完全平方公式： ①內(nèi)容： 　　 （ａ＋ｂ）2＝ａ2＋ｂ2＋２ａｂ； 　　 （ａ－ｂ）2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂ。 ②意義： 　　 兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的２倍。 兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的２倍。 ③特征： ?、?左邊是一個二項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其 中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，另一項是左邊二項式中兩項乘積的２倍，可簡記為“首平方，尾平方，積的２倍在中央。” Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是單項式，也可以是多項式。 ④推廣： ?、?（ａ＋ｂ＋ｃ）2＝ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc； ?、?（ａ＋ｂ）3＝ａ3＋ｂ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2； Ⅲ.（ａ－ｂ）3＝ａ3－ｂ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2。 第五節(jié)因式分解　 ⑴因式分解的意義： 把一個多項式化為幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式，即多項式化為幾個整式的積。 注意：①因式分解的要求： Ⅰ.結(jié)果一定是積的形式，分解的對象是多項式； Ⅱ.每個因式必須是整式； Ⅲ.各因式要分解到不能分解為止。 ②因式分解與整式乘法的關(guān)系： 是兩種不同的變形過程，即互逆關(guān)系。 9.13提取公因式法： ①提公因式法分解因式： ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），這個變形就是提公因式法分解因式。 這里的ｍ可以代表單項式，也可以代表多項式，ｍ稱為公因式。 確定公因式方法： 系數(shù)：取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。 字母（或多項式因式）：取各項都含有的字母（或多項式因式）的最低次冪。 9.14公式法 ②利用公式法分解因式： Ⅰ.平方差公式：ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。 Ⅱ.完全平方公式：ａ2＋ｂ2＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）2； 　　　　　　　　　 　ａ2＋ｂ2－２ａｂ＝（ａ－ｂ）2。 Ⅲ.立方和與立方差公式：ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）； 　　　　　　　　　　　 ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）。 注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。 （２） 選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，若多項式是二項式 應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式；若多項式是三項式，可 考慮用完全平方公式。 9.15.十字相乘法：利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解 因式的方法叫做十字相乘法。 ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。 9.16分組分解法： Ⅰ.將多項式的項適當?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運用公式分解。 Ⅱ.適用范圍：適合四項以上的多項式的分解。 分組的標準為：分組后能提公因式或分組后能運用公式。 ④其他方法： .求根公式法：若ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的兩根是ｘ１、ｘ２， ａｘ2+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）。 ⑶因式分解的一般步驟及注意問題： ①對多項式各項有公因式時，應(yīng)先提供因式。 ②多項式各項沒有公因式時，如果是二項式就考慮是否符合平方差 公式；如果是三項式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項式的 因式分解；如果是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法。 分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止。 第6節(jié) 整式除法： 9.17同底數(shù)冪的除法 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 任何不等于零的數(shù)的零次冪為1，既： 9.18單項式除以單項式： 單項式與單項式相除的法則： 單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。 注意：①兩個單項式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除即可。 ②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。 9.19多項式與單項式相除： 多項式與單項式相除的法則： 　 一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加， 即（ｍａ+ｍｂ+ｍｃ+ｄｍ）÷ｍ=ａｍ÷ｍ+ｂｍ÷ｍ+ｃｍ÷ｍ+ｄｍ÷ｍ。 　注意：這個法則的使用范圍必須是多項式除以單項式，反之，單項式除以多項式是不能這樣計算的。 ⑶整式的混合運算： 　關(guān)鍵是注意運算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號，先做括號里的。 ※ 內(nèi)容整理 冪 的 運算 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n 單項式的乘法 乘法公式 因 式 分 解 提公因式法 公 式 法 多項式除以單項式 多項式的乘法 單項式的除法 第十章 分 式 10.1、（1）、分式的意義 兩個整式A/B相除，即A÷B時，可以表示為A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 如果一個分式的分母為零，那么這個分式無意義。 10.2（2）、分式的基本性質(zhì) 整式 整式和分式統(tǒng)稱為有理式：：即有理式 分式 分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式， 分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C為整式，且B、C≠0） 　　 ①約分:把一個分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式 的約分． 　　 ②分式的約分步驟： (1)如果分式的分子和分母都是或者是幾個乘積的形式,將它們的 公因式約去 (2）分式的分子和分母都是將分子和分母分別,再將公因式約去. 　 注:公因式的提取方法:取分子和分母系數(shù)的,字母取分子和分 母共有的字母,指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式. 　 ③一個分式的分子和分母沒有公因式時,這個分式稱為最簡分式.約分 時，一般將一個分式化為最簡分式。 ④通分：把幾個異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式, 叫做分式的通分。 ⑤分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母,再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?同時各分式按照分母所擴大的倍數(shù),相應(yīng)擴大各自的分子. 　　 注:最簡公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母的及單獨字母的冪的乘積。 注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)。 (2)分式的約分和通分都是互逆運算過程。 10.3、分式的運算：　　 ①分式的乘法法則:兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：a/b * c/d=ac/bd 　　 ②分式的除法法則: Ⅰ.兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘 ：a/b÷c/d=ad/bc Ⅱ.除以一個分式，等于乘以這個分式的倒數(shù):a/b÷c/d=a/b*d/c異分母分式通分時，關(guān)鍵是確定公分母，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。 10.4分式的加減 ③同分母分式加減法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減.用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c 　　 ④異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為： a/b±c/d=ad±cb/bd 　　 10.5分式方程： ①分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 　　 ②分式方程的解法: Ⅰ.去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方 程); Ⅱ.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值; Ⅲ.驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根). 10.6整數(shù)指數(shù)冪及其運算 ※ 內(nèi)容整理 分 式 分式的性質(zhì) 分式運算 分式方程 約分 通分 乘除法 加減法 第十一章 圖形的運動 1、平移定義和規(guī)律 （1）平移的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移（Translation）。平移后各對應(yīng)點之間的距離叫做圖形平移的距離。 關(guān)鍵：a. 平移不改變圖形的形狀和大?。ㄒ膊粫淖儓D形的方向，但改變圖形的位置）。 b. 圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。 （2）平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等。 注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。 （3）簡單的平移作圖： 平移作圖要注意：①方向；②距離。整個平移作圖，就是把整個圖案的每一個特征點按一定方向和一定的距離平行移動。 2、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律 （1）旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形饒一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)（Circumrotate）。這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。 關(guān)鍵：a. 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。ǖ珪淖儓D形的方向，也改變圖形的位置）。 b. 圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。 （2）旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))： 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。) 注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。 （3）簡單的旋轉(zhuǎn)作圖： 旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個圖案的每一個特征點繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動。 3、圖案的分析與設(shè)計 ① 首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運動變換而形成。 ② 圖案設(shè)計的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。 4、 旋轉(zhuǎn)對稱圖形：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度α后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角α滿足0<α<360） 5、 中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)180后，與初始圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。 6、 把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)180后，與另一個圖形重合，那么叫做這兩個圖形關(guān)于這點對稱，也叫做這兩個圖形成中興對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。 7、軸對稱知識回顧 （1）軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形（Axially Symmetric Figure）。折痕所在的直線叫做對稱軸。 （2）兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱：如果把一個圖形沿某一條直線翻，能與另一個圖形重合，那么叫做這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于這條直線的對稱點。 （3）注意： ① 軸對稱是說兩個圖形的位置關(guān)系；而軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形。 ② 成軸對稱的兩個圖形，必定是全等圖形。 （4）軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分；對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等。 （3）簡單的軸對稱作圖： 求作一個幾何圖形關(guān)于某條直線對稱的圖形，可以轉(zhuǎn)化為求作這個圖形上的特征點關(guān)于這條直線對稱的點。后依次連結(jié)各特征點即可。 圖形的平移 旋轉(zhuǎn)對稱圖形 中心對稱圖形 圖形的運動 圖形的旋轉(zhuǎn) 中心對稱 軸對稱圖形 圖形的翻折 軸對稱 軸對稱和軸對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系： 軸 對 稱 軸對稱圖形 區(qū)別 ①指兩個圖形而言； ②指兩個圖形的一種形狀與位置關(guān)系。 ①對一個圖形而言； ②指一個圖形的特殊形狀。 聯(lián)系 ①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合； ②把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，就是一個軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對稱。 軸對稱幾何圖形的對稱軸： 名稱 是否是軸對稱圖形 對稱軸有幾條 對稱軸的位置 線段 是 ２條 垂直平分線或線段所在的直線 角 是 １條 角平分線所在的直線 長方形 是 ２條 對邊中線所在的直線 正方形 是 ４條 對邊中線所在的直線和對角線所在的直線 圓 是 無數(shù)條 直徑所在的直線 平行四邊形 不是 ０條 第十二章 實數(shù) 第一節(jié)實數(shù)的概念 12.1實數(shù)的概念 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。 實數(shù)按如下方式分類： 正有理數(shù) 有理數(shù) 零 有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù) 負有理數(shù) 實數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負無理數(shù) 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點表示一個實數(shù)。 正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù)。 兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大，兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小。 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。 第二節(jié)數(shù)的開方 12.2平方根和開平方 如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。 求一個數(shù)ɑ的平方跟的運算叫做開平方，ɑ叫做被開方數(shù)。 一個正數(shù)a的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。 正數(shù)ɑ的兩個平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算術(shù)平方根)，讀作“根號a”；表示ɑ的負平方根，讀作“負根號ɑ”。 零的平方根記作√0，√0=0. （1） 當a>0時，（）2=a，（）2=a. （2） 當a≥0時， =a; 當a≤0時， =－ɑ 12.3 立方根和開立方 如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根，用“”表示，讀作“三次根號ɑ”。中的ɑ叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)。 求一個數(shù)ɑ的立方根的運算叫做開立方。 正數(shù)的立方是一個正數(shù)，負數(shù)的立方是一個負數(shù)，零的立方等于零，所以正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負數(shù)的立方根是一個負數(shù)，零的立方根是零。 任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個立方根。 12.4n次方根 如果一個數(shù)的n次方(n是大于1的整數(shù))等于ɑ，那么這個數(shù)叫做ɑ的n次方根，當n為奇數(shù)時，這個數(shù)為ɑ的奇次方根；當n為偶數(shù)時，這個數(shù)為ɑ的偶次方根 求一個數(shù)ɑ的n次方跟的運算叫做開n次方，ɑ叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。 實數(shù)ɑ的奇次方根有且只有一個，用“”表示，其中被開方數(shù)ɑ是任意一個實數(shù),根指數(shù)n是大于1的奇數(shù)。 正數(shù)ɑ的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“”表示，負n次方根用“－”表示，其中被開方數(shù)ɑ>0，根指數(shù)n是正偶數(shù)（當n=2時，在±中省略n) 負數(shù)的偶次方根不存在。 零的n次方根等于零，表示為=0 “”讀作“n次根號ɑ” 第三節(jié) 實數(shù)的運算 12.5用數(shù)軸上的點表示數(shù) 有理數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)意義： 一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。實數(shù)a的絕對值記作∣ɑ∣. 絕對值相等，符號相反的兩個數(shù)記作互為相反數(shù)； 零的相反數(shù)是零。非零實數(shù)ɑ的相反數(shù)是－ɑ。 實數(shù)大小的比較： 負數(shù)小于零；零小于正數(shù)。 兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)較小。 從數(shù)軸上看，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大。 兩點間的距離： 在數(shù)軸上，如果點A、點B所對應(yīng)的數(shù)分別為ɑ、b，那么 A、B兩點的距離 AB=∣ɑ－b∣. 12.6 實數(shù)的運算 設(shè)ɑ>0，b>0，可知（·）=（ ）2·（）2=ɑb。 根據(jù)平方根的意義，得=·。 同理：= 近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度即近似程度。對近似程度的要求，叫做精確度。 對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字。 第四節(jié) 分數(shù)指數(shù)冪 分數(shù)指數(shù)冪 =（ɑ>0） = （ɑ>0） 其中m、n為正整數(shù)，n>1. 有理數(shù)指數(shù)冪有下列性質(zhì)： 設(shè)ɑ>b，b>0，P、q為有理數(shù)，那么 （1）·=， = （2）= （3） 本章小結(jié) 有理數(shù) 實數(shù)的分類 無理數(shù) 實數(shù) 用數(shù)軸上的點表示數(shù) 運算法則及運算性質(zhì) 實數(shù)的運算 近似數(shù)及近似計算 數(shù)的開方 分數(shù)指數(shù)冪 有理數(shù)指數(shù)冪 運算性質(zhì) 第十三章 相交線、平行線 第1節(jié) 相交線 13.1鄰補角，對頂角 相交線的定義： 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相交線。 對頂角的定義： 一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。 對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。 鄰補角的定義： 有公共頂點和一條公共邊，并且互補的兩個角稱為鄰補角。 鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補。 垂線的定義： 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 垂線的性質(zhì)： 性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 性質(zhì)2：垂線段最短。 點到直線的距離： 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。 同位角： 兩個角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角。 內(nèi)錯角： 兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。 同旁內(nèi)角： 兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。 平行線的概念 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。 平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直 線也平行。 13.2垂線 1.垂線與斜線 通過操作實踐，所得到的結(jié)果說明垂線有這樣的基本性質(zhì)： 在平面內(nèi)經(jīng)過直線上或直線外地一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。 2.點到直線的距離 聯(lián)結(jié)直線外一點與直線上各點得所有線段中，垂線段最短。簡單地說：垂線段最短。 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離。 13．3同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角（三線八角） 第2節(jié) 平行線 13.4 平行線的判定 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行） 平行線具有以下基本性質(zhì)： 經(jīng)過直線外地一點，有且只有一條直線與已知直線平行。 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行） 13.5 平行線的性質(zhì) 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。(兩直線平行，同 位角相等) 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。（兩直線平行，內(nèi) 錯角相等） 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。（兩直線平行， 同旁內(nèi)角互補） 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平 行。（對于直線、、,如果，那么。被稱為平行 的傳遞性） 兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離都 是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離。 第十四章 三角形 第1節(jié) 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì) 14.1 三角形的有關(guān)概念 1.三角形的有關(guān)線段 三角形的高，中線，角平分線 2.三角形的分類 銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形 14.2 三角形的內(nèi)角和 三角形的內(nèi)角和等于。 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。 三角形的外角和等于。 第2節(jié) 全等三角形 14.3 全等三角形的概念與性質(zhì) 能夠重合的兩個圖形叫做全等形。 兩個三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個全等三角形，經(jīng)過運動后一定重合，相互重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；相互重合的邊叫做對應(yīng)邊；相互重合的角叫做對應(yīng)角。 全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。 14.4 全等三角形的判定 判定方法1 在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等（簡記為S.A.S）。 判定方法2 在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等（簡記為A.S.A）。 判定方法3 在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等（簡記為A.A.S）。 判定方法4 在兩個三角形中，如果有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等（簡記為S.S.S）。 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”和“HL”。 ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角。三角形全等的證明思路 　　　　　　　　　找夾角——ＳＡＳ Ⅰ.已知兩邊　　找直角——ＨＬ 找另一邊——ＳＳＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　找邊的對角——ＡＡＳ Ⅱ.已知一邊一角　邊為角的鄰邊　找夾角的另一邊——ＳＡＳ 　　　　　　　　　　　　　　　　　找夾邊的另一角——ＡＳＡ 　　　　　　　　　　　 邊為角的對邊——找任意一角——ＡＡＳ Ⅲ.已知兩角　　找夾邊——ＡＳＡ 　　　　　　　　　找任意一邊——ＡＡＳ 第3節(jié) 等腰三角形 14.5 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）。 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱為“等腰三角形的三線合一”）。 等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角平分線所在的直線。 14.6 等腰三角形的判定 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，這個三角形是等腰三角形（簡稱為“等角對等邊”）。 14.7 等邊三角形 等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。 等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形的每個內(nèi)角等于。 判定等邊三角形的方法： （1）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。 （2）有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形。 ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角。 1、線段的垂直平分線： 定理： ⑴線段垂直平分線上的點與線段兩端距離相等。 與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。 注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等。 2、等腰三角形： 性質(zhì)： ①等腰三角形兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”。 ②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊 推論：等邊三角形三個內(nèi)角相等，每一個內(nèi)角都等于60°。 定理： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等，簡稱“等角對等邊”。 推論：①三個角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 3、角的平分線： 定理： ①角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等。 ②在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。 第十五章 平面直角坐標系 第1節(jié) 平面直角坐標系 15.1 平面直角坐標系 在平面內(nèi)取一點，過點畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們以點為公共原點。這樣，就在平面內(nèi)建立了一個直角坐標系。通常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這條數(shù)軸叫做橫軸（記作軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條軸叫做縱軸（記作軸）。如圖所示，記作平面直角坐標系；點叫做坐標原點（簡稱原點），軸和軸統(tǒng)稱為坐標軸。 在平面直角坐標系xOy中，點P所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對（ab)叫做點P的坐標，記作P（a,b)，其中ɑ叫做橫坐標，b叫做縱坐標。 象限的劃分： 經(jīng)過點A（a,b)且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=ɑ,經(jīng)過點A(a,b)且垂直于y軸的直線可以表示為直線y=b. 第2節(jié)直角坐標平面內(nèi)點的運動 15.2 直角坐標平面內(nèi)點的運動 點的坐標 　　有了平面直角坐標系，平面內(nèi)的點就可以用一個有序數(shù)對來表示，a點對應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐標，b點對應(yīng)y軸的數(shù)值為縱坐標，有序數(shù)對就叫做點A的坐標，記作（a,b）。 在直角坐標平面內(nèi)， 平行于x軸的直線上的兩點A(,y)、B(,y)的距離 AB=∣－∣； 平行于y軸的直線上的兩點C(x,)、D(x,)的距離 CD=∣－∣. 點的平移 在平面直角坐標系中，(m>0) 將點（x,y）向右平移m個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x＋m ，y）； 將點（x,y）向左平移m個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x－m，y）； 將點（x,y）向上平移m個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y＋m）； 將點（x,y）向下平移m個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，y－m）。 坐標平面圖 　　 坐標平面圖是由兩條坐標軸和四個象限構(gòu)成的，也可以說坐標平面內(nèi)的點可以分為 六個區(qū)域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在這六個區(qū)域中，除x軸與y軸的一個公共點（原點）之外，其他區(qū)域之間都沒有公共點。 建立了直角坐標系的平面叫做直角坐標平面（簡稱坐標平面）。這樣，原來平面內(nèi)的點都可以用有序?qū)崝?shù)對來表示。 在平面直角坐標系中，點所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做點的坐標，記作，其中叫做橫坐標，叫做縱坐標。 原點的坐標是。的坐標是，的坐標是。 在平面直角坐標系中對稱點的特點： ①關(guān)于x成軸對稱的點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)。 （橫同縱反） 　 ②關(guān)于y成軸對稱的點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)。 （橫反縱同） ③關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標，橫坐標與橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標與縱坐標互為相反數(shù)。（橫縱皆反） 一般地，在直角坐標平面內(nèi)，與點M(x,y)關(guān)于X軸對稱的點的坐標為（x,y);與點M(x,y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(-x,y). 一般地，在直角坐標平面內(nèi)，與點M(x,y)關(guān)于原點對稱的點的坐標為（-x,-y)。 35 .