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附錄A 英文翻譯
非線性動(dòng)力學(xué)齒輪系統(tǒng)的兩個(gè)階段與嚙合剛度波動(dòng)、軸承的
靈活性和反彈
摘要：
這項(xiàng)工作調(diào)查研究線性動(dòng)力學(xué)齒輪系統(tǒng)的兩個(gè)階段涉及到反彈和與實(shí)踐相關(guān)的嚙合剛度。本文主要包括建立一個(gè)12度的自由齒輪動(dòng)態(tài)模型。該模型包括兩個(gè)階段的齒輪、三個(gè)軸和兩個(gè)代表負(fù)載、主要推動(dòng)者和三個(gè)軸承的慣量。齒輪接觸的特點(diǎn)是剛度和反彈的周期性變化，這個(gè)可以導(dǎo)致接觸的損失。
非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的研究多虧線性化技術(shù)，?這個(gè)技術(shù)將非線性系統(tǒng)分解為滿(mǎn)足一些條件的線性系統(tǒng)。每個(gè)系統(tǒng)得以解決是由于紐馬克迭代算法。結(jié)果獲得似乎是齒輪接觸的損失的現(xiàn)象，因?yàn)橄到y(tǒng)的電動(dòng)機(jī)和接收組件之間的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)是不連續(xù)性的。
1、簡(jiǎn)介：
齒輪是許多先進(jìn)機(jī)器中最常見(jiàn)和最??重要的機(jī)械部件之一。理解振動(dòng)信號(hào)的一種的改進(jìn)，需要對(duì)起動(dòng)齒輪故障做早期檢測(cè)以實(shí)現(xiàn)高可靠性。在機(jī)械工程中齒輪系統(tǒng)是一個(gè)重要的組成部分。他們已經(jīng)知道了一些技術(shù)的進(jìn)步變得越來(lái)越具有可靠性和持久抵抗性。由于齒輪機(jī)制的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，齒輪機(jī)制已被發(fā)明并在現(xiàn)代能量傳輸系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。在能量傳輸和檢測(cè)儀表領(lǐng)域中使用的齒輪，變得幾乎無(wú)處不在，因?yàn)楸仨殑?dòng)態(tài)模型足夠的好，使它們有穩(wěn)定數(shù)值。
齒輪系統(tǒng)被用來(lái)降低轉(zhuǎn)速，增加可利用的扭矩，改變能量傳輸?shù)姆较蚝秃驮谝恍C(jī)器間分散可利用的能量。
Litak和Friswell研究的一個(gè)單一齒輪階段的純扭轉(zhuǎn)模型的動(dòng)態(tài)行為。齒輪彈性模型通過(guò)時(shí)間改變，這最有代表性的是真實(shí)現(xiàn)象，其特征通過(guò)隨著時(shí)間接觸的齒輪數(shù)量決定。目前，一些研究企圖描述鋼針齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)影響了當(dāng)處的外部激勵(lì)。事實(shí)上，線性模型不足以來(lái)描述真正的機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為。隨著非線性動(dòng)態(tài)的非線性特點(diǎn)(如反彈)，已成為最有趣的研究課題。Kahraman and Singh提出扭轉(zhuǎn)影響模型。在數(shù)學(xué)模型中，彈性齒輪已被建模通過(guò)彈簧與時(shí)間變化的剛度，因?yàn)榻佑|的齒輪數(shù)量隨著時(shí)間而改變。此外，問(wèn)題在于非線性，因?yàn)榻佑|失去典型的共振操作。因此，嚙合剛度由于多樣的齒輪接觸而隨時(shí)間變化，齒輪間的反彈使結(jié)構(gòu)的復(fù)雜行為變得更難。由于這一缺陷，齒輪系統(tǒng)可以有規(guī)律或不根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)振動(dòng)。
在任何齒輪系統(tǒng)中反沖壓力是已被發(fā)現(xiàn)的最常見(jiàn)的故障，盡管有些反沖是任何齒輪系統(tǒng)最近本的。有很多關(guān)于齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的論文，并已取得許多重要成果。此外，一些不同的模型已被用于具有其他非線性特征的齒輪動(dòng)態(tài)力學(xué)中，如滑動(dòng)摩擦的齒輪動(dòng)力學(xué)嚙合阻尼。
本文的主要目標(biāo)是：（1）發(fā)明一個(gè)分析性模型用于兩個(gè)階段的正齒輪系統(tǒng)，包括基本機(jī)的變形如齒輪，軸和軸承。（2）齒輪間反彈的非線性，由于彈性齒輪負(fù)荷連續(xù)函數(shù)，（3）研究非線性動(dòng)力學(xué)行為系統(tǒng)。
2、兩個(gè)階段的齒輪系統(tǒng)的非線性模型
齒輪細(xì)聽(tīng)被用于工業(yè)部門(mén)（汽車(chē)，機(jī)械和直升機(jī)）由兩個(gè)或多個(gè)階段確保最小的減速比率和最大兩的接收轉(zhuǎn)矩。在本文中，非線性動(dòng)力學(xué)模型兩個(gè)階段的齒輪減速考慮到齒輪的可變形性和非線性特征來(lái)自在工作中出現(xiàn)的齒輪接觸損失現(xiàn)象。動(dòng)態(tài)模型和相關(guān)的物理模型在圖一中已列出。齒輪通過(guò)集中大量數(shù)據(jù)得以建模，因?yàn)槊總€(gè)齒輪有其預(yù)算的準(zhǔn)確度（除了預(yù)先的每個(gè)等級(jí)的齒輪）。軸承齒輪通過(guò)齒輪計(jì)劃的線性彈簧得以建模。軸預(yù)算了不良的彈性。
廣義坐標(biāo)向量的非線性動(dòng)力學(xué)模型包括12個(gè)自由度，可以定義通過(guò)
這里xj和yj是軸承位移是齒輪的動(dòng)態(tài)角位移，hi (i = 1, ...,4)是電機(jī)和閘的動(dòng)態(tài)角位移。
本文中所研究的非線性動(dòng)力學(xué)模型的特點(diǎn)是由12個(gè)自由度決定，它根據(jù)每個(gè)階段定義的兩個(gè)齒輪變量個(gè)變根據(jù)線性行為預(yù)設(shè)，并可以表達(dá)為
這里ri是齒輪基地半徑，表示壓力角。
3.齒輪接觸造型
從以上表述，齒輪系統(tǒng)不僅具有分段線性剛度，而且有時(shí)間變化參量。在本文中，研究拓展到非線性系統(tǒng)，當(dāng)齒輪接觸根據(jù)線性行為通過(guò)時(shí)間變化剛度得以建模時(shí)，這考慮到一對(duì)或兩對(duì)齒輪接觸變化的選擇。
圖1。兩個(gè)階段的齒輪系統(tǒng)的物理模型和動(dòng)態(tài)模型研究
時(shí)間的不同勵(lì)磁是網(wǎng)格頻率周期輪。齒嚙合剛度勵(lì)磁變化的平均值根據(jù)齒輪的類(lèi)型考慮。幾個(gè)數(shù)值方法，包括有限元的工作，已發(fā)展到計(jì)算這個(gè)值。在每一個(gè)階段，嚙合剛度的變化，可以模擬一個(gè)周期性的方波函數(shù)（圖2）。
隨時(shí)間變化的齒輪嚙合剛度的極值定義為
這里s明確指定階段性數(shù)字（s=1:2），指定在階段的接觸率，這是齒輪的幾何特征，一般需要在1和2之間提供一個(gè)可觀值。然而，帕克等人。使用的整數(shù)值最小的振動(dòng)水平，因?yàn)樵谶@種特殊情況下，接觸齒輪的對(duì)數(shù)隨時(shí)間保持不變。這兩個(gè)網(wǎng)格的頻率是彼此相關(guān)的
這里Z2和Z3代表齒輪2和3 的齒數(shù)。
本文中考慮到的第二個(gè)勵(lì)磁是反彈和齒輪之間的。反彈距離是局限性的確保潤(rùn)滑，消除干擾和擦傷。反彈被定義為超過(guò)一顆齒粒的厚度空間而變位。同樣可以被描述為在每個(gè)齒輪階段中心位置的變化。反彈指不能被夸大其工作需求，但它應(yīng)該對(duì)潤(rùn)滑有足夠的創(chuàng)造空間。
簡(jiǎn)介反彈進(jìn)入模型的缺陷，我們直接研究彈性嚙合力接觸損失根據(jù)被定義嚙合力連續(xù)性建模。圖3根據(jù)齒輪偏差了顯示了這種非連續(xù)性。
是由于反彈非線性均勻的功能沒(méi)有零值，被定義如下
這里2*bs呈現(xiàn)了在嚙合前齒輪間的反彈，如圖3所示
非線性功能定義在三個(gè)域。實(shí)際上，每個(gè)齒輪的接觸以三個(gè)方案齒輪組合為特征。三個(gè)方案總結(jié)在表1中。
圖2。齒輪嚙合剛度KS（T）的方波形式。
圖3。聯(lián)絡(luò)損失造型
齒輪之間引入反彈引起的接觸損失，特別是用于沒(méi)有或略有加載系統(tǒng)。這種影響的結(jié)果來(lái)自激烈的振動(dòng)，噪聲和巨大的動(dòng)態(tài)負(fù)載。它決定的齒輪系統(tǒng)的保真度和壽命。
4、非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的公式
這類(lèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中存在反彈，成為極端地非線性。另一個(gè)重要的困難來(lái)自一次接觸齒輪對(duì)數(shù)的數(shù)量，造成等效變化齒輪嚙合剛度。在分析和解釋數(shù)值結(jié)果中，引入并合并這兩個(gè)因素。
拉格朗日形式主義用于列出非線性微分方程，支配動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的兩個(gè)階段齒輪的運(yùn)動(dòng)減少每一個(gè)系統(tǒng)的自由程度。這12個(gè)非線性系統(tǒng)的自由度一般矩陣形式被定義為：
這里是質(zhì)量矩陣，指定的軸承和軸的固定剛度矩陣。
是非線性隨時(shí)間變化的嚙合剛度矩陣，它依賴(lài)于三個(gè)齒輪構(gòu)造。在第一個(gè)案例里這是空的，那里齒輪偏值包括和接觸損失的領(lǐng)域。
非線性時(shí)變嚙合剛度矩陣定義
在最重要的工作中, 一直認(rèn)為一種粘性阻尼可以減少振動(dòng)的水平。的表達(dá)等效粘性阻尼的表達(dá)已給出（Rayleigh阻尼）：
這里和是阻尼系數(shù)，和是系統(tǒng)的平均剛度矩陣。系統(tǒng)的內(nèi)部勵(lì)磁矢量是
非線性運(yùn)動(dòng)方程的解決方案已獲得并通過(guò)線性化技術(shù)，這其中包括打破了非線性系統(tǒng)的方程式，在一些線性系統(tǒng)下檢查方程式的一些條件（見(jiàn)表1）。本文所研究的非線性差異系統(tǒng)打破了在模型中一個(gè)反彈案例靜茹三個(gè)線系統(tǒng)和兩個(gè)反彈進(jìn)入九個(gè)線性系統(tǒng)。每個(gè)線性系統(tǒng)的分辨率的得出感謝一步步迭代Newmark的放法[12]。初始條件定義為
這些條件暗示著齒輪接觸損失，當(dāng)條件無(wú)效時(shí)，我們根據(jù)案例里每個(gè)階段齒輪撓度改變系統(tǒng)的公程式（表一）。方案京城是通過(guò)Newmark[12]的方法提出。每從一個(gè)案件到另一個(gè)與減少計(jì)算步驟有關(guān)，這將是最初的一步的100倍小于，因此，誤差最小化。
5、數(shù)值模擬及研究
實(shí)際上，這樣結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測(cè)量軸承水平上用加速度。在本文中，我們對(duì)代表網(wǎng)格負(fù)載的動(dòng)態(tài)組件很感興趣，通過(guò)計(jì)算算法對(duì)軸承加速度和角速度推導(dǎo)速度。
5.1一次反彈的案例
圖4代表第一個(gè)齒輪隨著時(shí)間在第一階段的反彈存在偏轉(zhuǎn)波動(dòng)?！敖佑|損失代表當(dāng)齒輪偏轉(zhuǎn)反彈的一半的損失。 0.02秒后，在接觸中齒輪經(jīng)常留有接觸損失現(xiàn)象會(huì)使其加速。第二顆齒輪偏轉(zhuǎn)圍繞零上下波動(dòng)，但第一個(gè)非線性波動(dòng)和頂部反彈的一半有關(guān)。
圖5所示，分別對(duì)每個(gè)齒輪接觸的網(wǎng)格負(fù)載的頻譜。網(wǎng)格負(fù)載被定義為非線性對(duì)稱(chēng)函數(shù)。通過(guò)得以定義。我們清楚地看到在??每一個(gè)信號(hào)存在的幾個(gè)波峰。這些波峰對(duì)應(yīng)的兩個(gè)網(wǎng)頻率FE1=1500 Hz和FE2=1000赫茲和他們的第一個(gè)諧波。
非線性頻譜的特點(diǎn)是增加了一個(gè)亮點(diǎn)，相應(yīng)的固有頻率F1，F(xiàn)3和F5的系統(tǒng)。
圖6分別代表輸入和輸出軸承加速度頻譜。我們看到了存在的幾個(gè)峰對(duì)應(yīng)的兩個(gè)網(wǎng)頻率分別為FE1=1500 Hz和FE2=1000Hz和他們的第一個(gè)諧波。非線性頻譜的特點(diǎn)是增加了對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的固有頻率。
圖7角的線性和非線性輸入齒輪、中間齒輪和輸出齒輪的角度波動(dòng)速度。系統(tǒng)的線性速度和傳輸速度有關(guān)。在開(kāi)始的時(shí)候，第一個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)和齒輪（2，3，4）和輸出輪保持靜止。經(jīng)過(guò)一個(gè)小的時(shí)間段后，由于反彈，齒輪（2，3，4）與輸出齒輪將加速并影響動(dòng)周?chē)木€性角速度的波動(dòng)。
表2 研究分兩個(gè)階段齒輪系統(tǒng)的參數(shù)
研究Walha等。 /機(jī)理及機(jī)械原理44（2009）1058至1069年
圖4。牙齒的時(shí)空偏轉(zhuǎn)波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）：（一）第一顆牙的撓度和（乙）第二顆偏轉(zhuǎn)。
0.02秒后，線性和非線性響應(yīng)變得非常密切，速度的波動(dòng)將得到減弱。反彈的影響，最顯眼的是，當(dāng)系統(tǒng)的方向速率受到非連續(xù)運(yùn)動(dòng)的頻繁逆轉(zhuǎn)時(shí)的情況。屬于這種類(lèi)型的機(jī)制，包括增加機(jī)器人操作器和檢測(cè)故障嚴(yán)重降低他們的效果并變得越來(lái)越重要。
圖8代表時(shí)間速度相對(duì)齒輪的波動(dòng)，在案例中一個(gè)反彈位于第一層面的第一階段的齒輪和第二齒輪的網(wǎng)格接觸。我們得出這樣的結(jié)論：與非線性速度相比，線性速度幅度增加。但是，只有在第一顆齒輪的接觸，我們清楚地看到接觸損失的現(xiàn)象時(shí)，相對(duì)的齒輪位移高于反彈的一半的值。
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圖5。每個(gè)牙齒接觸網(wǎng)負(fù)荷譜（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為）：（一）第一網(wǎng)格負(fù)載譜和（二）第二網(wǎng)格負(fù)載頻譜
圖6。攀枝花鋼鐵集團(tuán)和輸出軸承加速度頻譜（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）：（一）第一軸承的頻譜第三軸承加速度的加速度和（b）頻譜。
圖7。線性和非線性的角速度波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）。
圖8。相對(duì)牙齒的波動(dòng)速度以下，在位于第一階段齒輪間隙的情況下，牙齒位移：（一）第一個(gè)齒輪嚙合接觸及（B）第二齒輪嚙合接觸。
5.2反彈的兩種情況
圖9顯示了每個(gè)相對(duì)的齒輪位移的時(shí)間波動(dòng)。通過(guò)比較圖4B和9A，我們觀察到，第一個(gè)接觸的齒輪保持第一個(gè)案例所研究的形式相同。但第二顆偏轉(zhuǎn)改變了形式，我們得出結(jié)論，當(dāng)齒輪偏轉(zhuǎn)是反彈b2。0.02秒后，齒輪始終保持接觸和接觸損失的現(xiàn)象將被突破。在每一個(gè)階段，偏轉(zhuǎn)線性出輪圍繞零波動(dòng)，但非線性波動(dòng)的是頂部反彈的一半。
第二次反彈也影響到網(wǎng)格負(fù)載的非線性對(duì)稱(chēng)函數(shù)。圖10顯示每增加兩網(wǎng)負(fù)荷不反彈的頻譜信號(hào)。頻譜上出現(xiàn)的波峰對(duì)應(yīng)兩個(gè)頻率，他們的第一個(gè)諧波和固有頻率和。
當(dāng)有沒(méi)有反彈，在齒輪之間沒(méi)有沖擊，因此信號(hào)幅度較低。小波紋是由于齒輪的彈性。但是，一旦引入非常低的反彈，網(wǎng)格負(fù)荷的振幅更高。關(guān)于這些波形的頻譜，我們總結(jié)兩個(gè)顯著特點(diǎn)：波峰突起較低時(shí)有反彈，幅度表明在存在反彈會(huì)傳播更快。這些都是直接沖擊現(xiàn)象的結(jié)果。
以同樣的方式，在系統(tǒng)中引入第二個(gè)反彈將延遲第二個(gè)齒輪網(wǎng)格接觸的轉(zhuǎn)體動(dòng)作的傳遞。第二次反彈影響齒輪的角速度，特別是在延遲現(xiàn)象出現(xiàn)在齒輪（4）角速度上，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)小的工作時(shí)間段后的第二個(gè)階段，動(dòng)能不轉(zhuǎn)移（圖11）。打開(kāi)系統(tǒng)后，一段時(shí)間后的永久速度關(guān)系到第一個(gè)和第二個(gè)反彈的值。
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圖9。牙齒的時(shí)空偏轉(zhuǎn)波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）：（一）第一顆牙的撓度和（乙）第二顆偏轉(zhuǎn)
在齒輪反彈檢測(cè)的情況下，預(yù)計(jì)一個(gè)恒定的方波勵(lì)磁的齒輪的動(dòng)態(tài)影響與反彈量會(huì)有所不同（即與配合面之間的間隙牙齒反彈）。這是因?yàn)榍鍧嵲S可證“風(fēng)”的傳動(dòng)齒輪和增加其動(dòng)能能源。
圖12顯示時(shí)間相關(guān)牙齒的速度波動(dòng)，隨著兩種反彈的情況而產(chǎn)生位移，就是第一和第二階段齒輪的反彈。我們得出這樣的結(jié)論：線性振幅速度相比非線性振幅線性速度是有增加速的。以同樣的方式，我們清楚地看到，當(dāng)每個(gè)相關(guān)的齒輪位移高于反彈值得一半時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)接觸損失的現(xiàn)象。從這些結(jié)果，我們得出這樣的結(jié)論：傳動(dòng)齒輪反彈的增加，將沖擊加載齒輪更大的初始速度，并會(huì)有更多的能量消散。
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圖10。每個(gè)牙齒接觸網(wǎng)負(fù)荷譜（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為）：（一）第一網(wǎng)格負(fù)載譜和（二）第二網(wǎng)格負(fù)載頻譜。
圖11。線性和非線性的角速度波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。
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圖12。牙齒速度相對(duì)波動(dòng)后牙位移的兩個(gè)位于兩個(gè)階段的齒輪抵制的情況下：（一）第一齒輪嚙合聯(lián)系和（b）第二齒輪嚙合接觸。
6、總結(jié)
本文發(fā)明兩個(gè)階段的齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)模型，介紹了齒輪、軸承和軸的可變形性。非線性的起源是在工作齒輪之間的接觸損失。這種結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為的特點(diǎn)是其復(fù)雜性，復(fù)雜性主要來(lái)源于耦合時(shí)周期之間齒輪間反彈情況下網(wǎng)格反剛度的變動(dòng)。該系統(tǒng)的非線性行為能得以分析研究，由于線性化的新技術(shù)，非線性系統(tǒng)的組成可分解成滿(mǎn)足一定條件的若干線性系統(tǒng)。線性分辨率要感謝紐馬克迭代算法。
對(duì)于低轉(zhuǎn)速，系統(tǒng)的特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，這是由于非連續(xù)地輸入齒輪和輸出接收輪的動(dòng)能轉(zhuǎn)移。最后，我們的研究豐富了當(dāng)前文學(xué)上的非線性分析模型，因?yàn)橹饕姆蔷€性不同微分方程與自由系統(tǒng)的單一度是不同的。本文推導(dǎo)出的結(jié)果可以由加速度計(jì)注冊(cè)的結(jié)果，可以與通過(guò)在軸承的加速裝置所記載的結(jié)果相比，這將在齒輪系統(tǒng)的維護(hù)階段使用。
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英文原文
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