（山東專版）2019版中考數學總復習 第五章 圓 5.1 圓的性質及與圓有關的位置關系（試卷部分）課件.ppt

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第五章圓5.1圓的性質及與圓有關的位置關系,中考數學(山東專用),A組2014—2018年山東中考題組考點一圓的有關概念與性質,五年中考,1.(2018濟寧,4,3分)如圖,點B、C、D在☉O上,若∠BCD=130,則∠BOD的度數是()A.50B.60C.80D.100,答案D如圖所示.在優(yōu)弧上任取一點A(不與點B、D重合),連接AB、AD.因為四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,所以∠A+∠BCD=180.因為∠BCD=130,所以∠A=50,所以∠BOD=2∠A=250=100.,2.(2018煙臺,10,3分)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,點I是△ABC的內心,∠AIC=124,點E在AD的延長線上,則∠CDE的度數為()A.56B.62C.68D.78,答案C由∠AIC=124,知∠IAC+∠ICA=180-∠AIC=180-124=56,又點I是△ABC的內心,∴點I是△ABC三個內角的平分線的交點,∴∠BAC+∠BCA=562=112,∴∠B=180-(∠BAC+∠BCA)=180-112=68.∵四邊形ABCD內接于☉O,∴∠B+∠ADC=180,又∠ADC+∠CDE=180,∴∠CDE=∠B=68.,3.(2018菏澤,6,3分)如圖,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32,則∠OBA的度數是()A.64B.58C.32D.26,答案D由垂徑定理,得=,又∠ADC=32,∴∠BOC=2∠ADC=64,∴∠OBA=90-64=26.,4.(2018青島,5,3分)如圖,點A、B、C、D在☉O上,∠AOC=140,點B是的中點,則∠D的度數是()A.70B.55C.35.5D.35,答案D如圖,連接OB.∵點B是的中點,∴=,∴∠AOB=∠AOC=140=70,∴∠D=∠AOB=70=35.,方法總結在圓中,見到弧的中點時,就要想到等弧,相等的圓心角、圓周角以及相等的弦.,5.(2017青島,6,3分)如圖,AB是☉O的直徑,點C,D,E在☉O上,若∠AED=20,則∠BCD的度數為()A.100B.110C.115D.120,答案B連接AC.∵∠AED=20,∴∠ACD=∠AED=20.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90,∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=20+90=110.故選B.,思路分析連接AC,先根據在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等,求得∠ACD的度數,再根據直徑所對的圓周角是直角求得∠ACB的度數.最后由∠BCD=∠ACB+∠ACD得∠BCD的度數.,方法規(guī)律解決與圓有關的角度的相關計算問題時,一般先判斷角是圓周角還是圓心角,再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角,利用同弧所對的圓周角相等,同弧所對的圓周角是圓心角的一半等關系求解.特別地,當已知圓的直徑時,往往要用到“直徑所對的圓周角是直角”的性質.,6.(2017泰安,12,3分)如圖,△ABC內接于☉O,若∠A=α,則∠OBC等于()A.180-2αB.2αC.90+αD.90-α,答案D連接OC,則∠BOC=2∠A=2α,因為OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=(180-2α)=90-α.,思路分析首先連接OC,然后利用同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系確定∠BOC的大小,最后利用等腰三角形的性質計算出∠OBC的度數.,7.(2016聊城,9,3分)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,F是上一點,且=,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC.若∠ABC=105,∠BAC=25,則∠E的度數為()A.45B.50C.55D.60,答案B∵=,∴∠DCF=∠BAC=25.又∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠ADC=180-∠ABC=180-105=75,∴∠E=∠ADC-∠DCF=75-25=50.故選B.,思路分析利用圓的內接四邊形對角互補的性質求出∠ADC的度數,利用在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等求出∠DCF的度數,最后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠E的度數.,8.(2017東營,14,3分)如圖,AB是半圓的直徑,半徑OC⊥AB于點O,D為半圓上一點,AC∥OD,AD與OC交于點E,連接CD、BD,給出以下三個結論:①OD平分∠COB;②BD=CD;③CD2=CECO.其中正確結論的序號是.,答案①②③,解析AB是半圓的直徑,OC⊥AB,∴OA=OB=OC,∠AOC=∠COB=90,∴∠OAC=45,∵AC∥OD,∴∠DOB=∠OAC=45,∴∠COD=∠COB-∠DOB=90-45=45,∴OD平分∠COB,BD=CD,故①②正確;∵∠CDE=∠COA=90=45,∴∠CDE=∠COD.在△CDE和△COD中,∴△CDE∽△COD,∴=.即CD2=CECO,故③正確.,思路分析利用AO=CO,CO⊥AB,得到△AOC為等腰直角三角形,即∠CAO=45,由AC∥OD得到∠DOB=∠CAO=45,進而得到∠DOC=45,∴OD平分∠COB;利用同圓(或同弧)中相等的圓心角所對的弦長相等即可得到BD=CD;利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半,即可得到∠CDE=∠COA=90=45,即∠CDE=∠COD,又∠DCE=∠OCD,∴△CDE∽△COD,∴=,即CD2=CECO.,9.(2016棗莊,15,4分)如圖,在半徑為3的☉O中,直徑AB與弦CD相交于點E,連接AC,BD,若AC=2,則tan∠D=.,答案2,解析連接BC,∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90,又∵AB=2r=6,∴BC===4,根據在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等知∠D=∠A,∴tan∠D=tan∠A===2,故答案為2.,思路分析連接BC,由直徑所對的圓周角為直角,得到△ABC為直角三角形,解Rt△ABC,然后利用在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等,即可求得tan∠D的值.,10.(2017濟南,23,7分)如圖,AB是☉O的直徑,∠ACD=25,求∠BAD的度數.,解析∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90.∵∠ACD=25,∴∠B=∠ACD=25,∴∠BAD=90-∠B=90-25=65.,思路分析首先由AB是☉O的直徑,推得∠ADB=90;然后由同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,得∠B=∠ACD=25;最后由直角三角形的兩銳角互余,得∠BAD=90-∠B=90-25=65.,方法規(guī)律求與圓有關的角時,要想到:(1)同弧或等弧所對的圓周角相等;(2)同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;(3)圓的內接四邊形的對角互補;(4)同圓和等圓的半徑相等等.,11.(2016濰坊,21,8分)正方形ABCD內接于☉O,如圖所示,在劣弧上取一點E,連接DE、BE,過點D作DF∥BE交☉O于點F,連接BF、AF,且AF與DE相交于點G.求證:(1)四邊形EBFD是矩形;(2)DG=BE.,證明(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠BCD=90,∴∠BED=∠BAD=90,∠BFD=∠BCD=90,又∵DF∥BE,∴∠EDF+∠BED=180,∴∠EDF=90,∴四邊形EBFD是矩形.(2)∵正方形ABCD內接于☉O,∴的度數是90,∴∠AFD=45,又∵∠GDF=90,∴∠DGF=∠DFG=45,∴DG=DF,又∵在矩形EBFD中,BE=DF,∴DG=BE.,思路分析(1)要證明四邊形EBFD是矩形,需證明四邊形EBFD的三個角是直角,先根據在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等及正方形的性質,得到∠BED=∠BFD=90,再根據兩直線平行,同旁內角互補求得第三個角是直角即可.(2)根據圓周角與它所對弧的關系求得∠AFD=45,則△DFG為等腰直角三角形,則DF=DG,再根據矩形的對邊相等得到DF=BE,從而BE=DG.,考點二與圓有關的位置關系,1.(2018泰安,9,3分)如圖,BM與☉O相切于點B,若∠MBA=140,則∠ACB的度數為()A.40B.50C.60D.70,答案A如圖,連接OA,OB,則OB⊥BM,∴∠BAO=∠ABO=∠MBA-∠OBM=140-90=50,∴∠AOB=180-502=80,∴∠ACB=∠AOB=40.,2.(2017棗莊10,3分)如圖,在網格(每個小正方形的邊長均為1)中選取9個格點(格線的交點稱為格點),如果以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內,則r的取值范圍為()A.20),則MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍負),∴半徑OA=,∴☉O的周長為13π.,方法規(guī)律如圖,設圓O的半徑為r、弦長為a、弦心距為d,弓形的高為h,則+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量.,4.(2016河北,9,3分)下圖為44的網格圖,A,B,C,D,O均在格點上,點O是()A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的內心D.△ABC的內心,答案B設每個小正方形的邊長為1,則OA=OB=OC=,所以點O到△ABC三個頂點的距離都相等,所以點O在三角形ABC三邊垂直平分線的交點上,故點O是△ABC的外心.,評析本題考查了勾股定理和三角形外心的定義,用勾股定理分別求出點O與三角形ABC各頂點的距離,再根據定義作出判斷即可.,5.(2018北京,12,2分)如圖,點A,B,C,D在☉O上,=,∠CAD=30,∠ACD=50,則∠ADB=.,答案70,解析∵=,∴∠BAC=∠CAD=30.又∵∠BDC=∠BAC=30,∠ACD=50,∴∠ADB=180-30-30-50=70.,6.(2018湖北黃岡,11,3分)如圖,△ABC內接于☉O,AB為☉O的直徑,∠CAB=60,弦AD平分∠CAB,若AD=6,則AC=.,答案2,解析連接BD,因為AB為☉O的直徑,所以∠ADB=90,因為∠CAB=60,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30,因為=cos30,所以AB===4.在Rt△ABC中,AC=ABcos60=4=2.,7.(2017北京,14,3分)如圖,AB為☉O的直徑,C,D為☉O上的點,=.若∠CAB=40,則∠CAD=.,答案25,解析連接BC,BD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90,∴∠ABC=90-∠CAB=90-40=50.∵=,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25,∴∠CAD=∠CBD=25.,8.(2017浙江湖州,12,4分)如圖,已知在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓O,交BC于點D.若∠BAC=40,則的度數是度.,答案140,解析∵AB=AC,∠BAC=40,∴∠B=∠C=70,∴的度數為270=140.,9.(2016黑龍江龍東地區(qū),7,3分)如圖,CD是☉O的直徑,CD=4,∠ACD=20,點B為弧AD的中點,點P是直徑CD上的一個動點,則PA+PB的最小值為.,答案2,解析如圖所示,作出點A關于CD的對稱點M,則=,連接MB交CD于點P.此時PA+PB的值最小,PA+PB的值最小為BM的長.作直徑BN,連接MN.則∠BMN=90.∵∠ACD=20,點B為弧的中點,∴弧所對圓心角的度數為60,∴∠MNB=30.∴在Rt△BMN中,BM=BN=CD=4=2.∴PA+PB的最小值為2.,10.(2018安徽,20,10分)如圖,☉O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標出它與劣弧的交點E(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.,解析(1)尺規(guī)作圖如圖所示.(2)連接OE交BC于M,連接OC.因為∠BAE=∠CAE,所以=,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的長為.,思路分析對于(2),連接OE交BC于點M,再連接OC,由∠BAE=∠CAE可得=,可推出OE⊥BC,最后利用勾股定理求出CE.,11.(2018河南,19,9分)如圖,AB是☉O的直徑,DO⊥AB于點O,連接DA交☉O于點C,過點C作☉O的切線交DO于點E,連接BC交DO于點F.(1)求證:CE=EF;(2)連接AF并延長,交☉O于點G.填空:①當∠D的度數為時,四邊形ECFG為菱形;②當∠D的度數為時,四邊形ECOG為正方形.,解析(1)證明:連接OC.∵CE是☉O的切線,∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90.∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90.∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90.(3分)∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(5分)(2)①30.(注:若填為30,不扣分)(7分)②22.5.(注:若填為22.5,不扣分)(9分),12.(2018福建,24,12分)已知四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AC是☉O的直徑,DE⊥AB,垂足為E.(1)延長DE交☉O于點F,延長DC,FB交于點P,如圖1.求證:PC=PB;(2)過點B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點H,且點O和點A都在DE的左側,如圖2.若AB=,DH=1,∠OHD=80,求∠BDE的大小.圖1圖2,解析(1)證明:∵AC是☉O的直徑,∴∠ABC=90.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四邊形BCDF是圓內接四邊形,∴∠F+∠DCB=180,又∵∠PCB+∠DCB=180,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)連接OD,∵AC是☉O的直徑,∴∠ADC=90,,又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又由(1)知BC∥DE,∴四邊形DHBC為平行四邊形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=,tan∠ACB==,∴∠ACB=60,∠CAB=30.從而BC=AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80,∴∠ODH=20.設DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60,∴∠NOH=180-(∠ONH+∠OHD)=40,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40,∴∠CBD=∠OAD=20.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20.,一題多解(1)證明:易證DF∥BC,從而CD=BF,且==1,∴PB=PC.(2)連接OD,設∠BDE=x,則∠EBD=90-x,易證四邊形BCDH為平行四邊形,∴BC=DH=1,∵AB=,∴∠CAB=30,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180-2∠OHD=180-280=20,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60-(20+x)=40-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即∠BDE=20.,解后反思本題考查圓的有關性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、解直角三角形等基礎知識,考查運算能力、推理能力與幾何直觀,考查化歸與轉化思想.,13.(2017浙江臺州,22,12分)如圖,已知等腰直角三角形ABC,點P是斜邊BC上一點(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.(1)求證:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直徑為2,求PC2+PB2的值.,解析(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=AB,∠CAB=90,又∵PE是△ABP的外接圓☉O的直徑,∴∠PAE=90,∴∠CAP=∠BAE,又∵∠CPA+∠APB=180,∠APB+∠AEB=180,∴∠APC=∠AEB,∴△ACP≌△ABE,∴AP=AE,∴△APE是等腰直角三角形.(2)∵由(1)得△ACP≌△ABE,∴CP=BE,又∵∠PBE=90,PE=2,∴EB2+PB2=PE2=4,即PC2+PB2=4.,考點二與圓有關的位置關系,1.(2018福建,9,4分)如圖,AB是☉O的直徑,BC與☉O相切于點B,AC交☉O于點D.若∠ACB=50,則∠BOD等于()A.40B.50C.60D.80,答案D由BC與☉O相切于點B,可得∠ABC=90,由三角形內角和為180及∠ACB=50可得∠BAC=40,由OA=OD得∠ODA=∠BAC=40,由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BOD=∠ODA+∠OAD=80.,2.(2017吉林,6,2分)如圖,直線l是☉O的切線,A為切點,B為直線l上一點,連接OB交☉O于點C.若AB=12,OA=5,則BC的長為()A.5B.6C.7D.8,答案D因為AB是圓O的切線,所以OA⊥AB,由勾股定理可得,OB=13,又因為OC=5,所以BC=OB-OC=13-5=8,故選D.,3.(2017浙江寧波,9,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90,BC=2.以BC的中點O為圓心的圓分別與AB、AC切于D、E兩點,則的長為()A.B.C.πD.2π,答案B連接OA、OE、OD.∵Rt△ABC中,O為BC的中點,BC=2,∴OA=OB=OC=.又∵AC、AB是☉O的切線,∴OD=OE=r,OE⊥AC,OD⊥AB,又∵∠A=90.∴四邊形ODAE為正方形.∴∠DOE=90.易知AC=2r,AB=2r,在Rt△ABC中,由勾股定理可得(2r)2+(2r)2=(2)2,∴r=1.∴的長===.故選B.,解題關鍵求出∠EOD及半徑r是解題的關鍵.,4.(2018安徽,12,5分)如圖,菱形ABOC的邊AB,AC分別與☉O相切于點D,E.若點D是AB的中點,則∠DOE=.,答案60,解析∵AB,AC分別與圓O相切于點D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵點D是AB的中點,∴BD=AB=BO,∴∠BOD=30,∴∠B=60,又∵OB∥AC,∴∠A=120,∴在四邊形ADOE中,∠DOE=360-90-90-120=60.,解題關鍵由題意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本題的關鍵.,5.(2017江蘇鎮(zhèn)江,9,2分)如圖,AB是☉O的直徑,AC與☉O相切,CO交☉O于點D,若∠CAD=30,則∠BOD=.,答案120,解析∵AB是☉O的直徑,AC與☉O相切,∴AO⊥AC,即∠CAO=90,∵∠CAD=30,∴∠DAO=60,∴∠BOD=120.,6.(2017江蘇徐州,16,3分)如圖,AB與☉O相切于點B,線段OA與弦BC垂直,垂足為D,AB=BC=2,則∠AOB=.,答案60,解析∵線段OA與弦BC垂直,AB=BC=2,∴BD=BC=1,在Rt△ABD中,sin∠A==,∴∠A=30,∵AB與☉O相切于點B,∴∠OBA=90,∴∠AOB=60,故答案為60.,7.(2018四川成都,20,10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC交BC于點D,O為AB上一點,經過點A,D的☉O分別交AB,AC于點E,F,連接OF交AD于點G.(1)求證:BC是☉O的切線;(2)設AB=x,AF=y,試用含x,y的代數式表示線段AD的長;(3)若BE=8,sinB=,求DG的長.,解析(1)證明:如圖,連接OD.∵AD為∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC.又∵∠C=90,∴∠ODC=90,∴OD⊥BC,∴BC是☉O的切線.(2)連接DF.由(1)可知,BC為☉O的切線.∴∠FDC=∠DAF,∴∠CDA=∠CFD,∴∠AFD=∠ADB,又∵∠BAD=∠DAF,∴△ABD∽△ADF,∴=,∴AD2=ABAF,∴AD2=xy,∴AD=.,(3)連接EF.在Rt△BOD中,sinB==,設圓的半徑為r,∴=,∴r=5,∴AE=10,AB=18.∵AE是直徑,∴∠AFE=90,又∠C=90,∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∴sin∠AEF==,∴AF=AEsin∠AEF=10=,∵AF∥OD,∴===,∴DG=AD,∵AD===,∴DG==.,思路分析(1)連接OD,由OD=OA,AD平分∠BAC,易得OD∥AC,所以OD⊥BC,證得BC為圓O的切線;(2)連接DF,判定△ABD∽△ADF,得AD2=ABAF=xy,即AD=;(3)連接EF,設圓的半徑為r,由sinB的值,解直角△ABC,直角△AEF,根據OD∥AF,表示出DG=AD,又AD=,進而可以求出DG的長.,易錯警示本題屬于圓的綜合題,考查了切線的判定與性質,相似三角形的判定與性質及銳角三角函數.題中涉及直角三角形的條件間的轉化較多,易造成代換或計算錯誤,加強對三角函數概念的理解,提高計算能力,是減少錯誤的關鍵.,8.(2018遼寧沈陽,22,10分)如圖,BE是☉O的直徑,點A和點D是☉O上的兩點,過點A作☉O的切線交BE延長線于點C.(1)若∠ADE=25,求∠C的度數;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半徑的長.,解析(1)連接OA,∵AC為☉O的切線,OA是☉O的半徑,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90,∵∠ADE=25,∴∠AOE=2∠ADE=50,∴∠C=90-∠AOE=90-50=40.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵=,,∴∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C,∵∠OAC=90,∴∠AOC+∠C=90,∴3∠C=90,∴∠C=30,∵∠OAC=90,∴OA=OC,設☉O的半徑為r,∵CE=2,∴r=(r+2),∴r=2,∴☉O的半徑為2.,9.(2018陜西,23,8分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,以斜邊AB上的中線CD為直徑作☉O,分別與AC、BC相交于點M,N.(1)過點N作☉O的切線NE與AB相交于點E,求證:NE⊥AB;(2)連接MD,求證:MD=NB.,證明(1)連接ON,則OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D為斜邊AB的中點,∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.(2分)∵NE是☉O的切線,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB.(4分),(2)連接ND,則∠CND=∠CMD=90.∵∠ACB=90,∴四邊形CMDN是矩形,(6分)∴MD=CN.由(1)知,CD=BD,∴CN=NB,∴MD=NB.(8分),思路分析(1)連接ON,由OC=ON可得∠DCB=∠ONC,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=DB,進而得出∠DCB=∠B,再推出ON∥AB,然后根據切線的性質得出ON⊥NE,最后得到結論;(2)根據圓周角定理可得∠CND=∠CMD=90,進而判斷四邊形CMDN為矩形,得出MD=CN,然后根據等腰三角形三線合一推出CN=NB,從而得到結論.,解題技巧針對含有切線的解答題,首先要想到的是作“輔助線”,由此獲得更多能夠證明題目要求的條件.一般作“輔助線”的方法為“見切點,連圓心”,從而構造直角(垂直),然后利用切線性質及其他幾何知識進行證明或計算.,10.(2018內蒙古呼和浩特,24,10分)如圖,已知BC⊥AC,圓心O在AC上,點M與點C分別是AC與☉O的交點,點D是MB與☉O的交點,點P是AD延長線與BC的交點,且=.(1)求證:PD是☉O的切線;(2)若AD=12,AM=MC,求的值.,解析(1)證明:連接OD、OP,∵=,∠A=∠A,∴△ADM∽△APO,∴∠ADM=∠APO,∴MD∥PO,∴∠1=∠4,∠2=∠3,∵OD=OM,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2,又OP=OP,OD=OC,∴△ODP≌△OCP,∴∠ODP=∠OCP,,∵BC⊥AC,∴∠OCP=90,∴∠ODP=90,∴OD⊥AP,又OD為半徑,∴PD是☉O的切線.(2)由(1)知PC=PD,連接CD,∵AM=MC,∴AM=2MO=2R(R為☉O的半徑).在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,∴R2+122=9R2,∴R=3.∴OD=3,MC=6,∵==,∴AP=18,∴DP=6.又∵MD∥PO,O是MC的中點,∴==,∴點P是BC的中點,∴BP=CP=DP=6,又∵MC是☉O的直徑,,∴∠BDC=∠CDM=90,在Rt△BCM中,∵BC=2DP=12,MC=6,∴BM=6.易知△BCM∽△CDM,∴=,即=.∴MD=2,∴==.,思路分析第(1)問需要通過線段的比相等來尋找合適的相似三角形,進而得到角相等;第(2)問需要先求出半徑,進而借助相似三角形的性質和判定解決.,解題關鍵解決本題的關鍵是要尋找合適的相似三角形,并綜合運用相關幾何知識解決問題.,11.(2018云南昆明,21,8分)如圖,AB是☉O的直徑,ED切☉O于點C,AD交☉O于點F,AC平分∠BAD,連接BF.(1)求證:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求☉O的半徑.,解析(1)證法一:連接OC.(1分)∵ED切☉O于點C,∴OC⊥DE,∴∠OCE=90,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,(3分)∴OC∥AD,∴∠D=∠OCE=90,∴AD⊥ED.(4分)證法二:連接OC,(1分)∵ED切☉O于點C,,∴OC⊥DE,∴∠OCD=90,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,(3分)∵∠OCA+∠ACD=90,∴∠DAC+∠ACD=90,∴∠D=90,∴AD⊥ED.(4分),(2)解法一:設線段OC與BF的交點為H.∵AB是☉O的直徑,∴∠AFB=∠HFD=90,(5分)∵∠OCD=∠D=90,∴四邊形HFDC是矩形,∴∠CHF=90,即OC⊥BF,FH=DC=4,(6分)∴FB=2FH=8.(7分)在Rt△BFA中,∠AFB=90,AF=2,由勾股定理可得AB===2,∴☉O的半徑為.(8分)解法二:過點O作ON⊥AF于點N.(5分)∵OC⊥DE,AD⊥ED,∴∠OND=∠D=∠OCD=90,∴四邊形ONDC是矩形,(6分),∴ON=CD=4,∵ON⊥AF,AF=2,∴AN=AF=1.(7分)在Rt△OAN中,∠ONA=90,由勾股定理可得OA===,∴☉O的半徑為.(8分),思路分析(1)連接OC,則OC⊥DE,由AC平分∠BAD及OA=OC,得∠OAC=∠DAC=∠OCA,從而得OC∥AD或∠CAD+∠ACD=90,進而證得AD⊥ED;(2)設線段OC與BF的交點為H,則四邊形HFDC是矩形,從而得到FB=8,進而利用勾股定理求解即可,或過O作ON⊥AF于點N,則AN=1,在矩形ONDC中,ON=CD=4,由勾股定理求解即可.,解題關鍵本題考查了圓的切線的性質,勾股定理,矩形的性質.第(2)問中解法二的關鍵是過O作ON⊥AF,構造矩形和直角三角形.,12.(2017湖北宜昌,21,8分)已知,四邊形ABCD中,E是對角線AC上一點,DE=EC,以AE為直徑的☉O與邊CD相切于點D,B點在☉O上,連接OB.(1)求證:DE=OE;(2)若CD∥AB,求證:四邊形ABCD是菱形.,證明(1)連接OD,∵CD是☉O的切線,∴OD⊥CD.∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90.又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD,∴DE=OE.(2)∵OD=OE,,∴OD=DE=OE,∴∠3=∠COD=∠DEO=60,∴∠2=∠1=30,∵OA=OB=OE,而OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30,∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠DAE=∠DOE=30,∴∠1=∠DAE,∴CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.,C組教師專用題組,考點一圓的有關概念與性質,1.(2018陜西,9,3分)如圖,△ABC是☉O的內接三角形,AB=AC,∠BCA=65,作CD∥AB,并與☉O相交于點D,連接BD,則∠DBC的大小為()A.15B.25C.35D.45,答案A∵AB=AC,∠BCA=65,∴∠BCA=∠ABC=65,∴∠BAC=50,∵CD∥AB,∴∠BAC=∠ACD=50,根據圓周角定理的推論得∠ABD=∠ACD=50,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=65-50=15,故選A.,2.(2017遼寧錦州,7,2分)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AD與BC的延長線交于點E,BA與CD的延長線交于點F,∠DCE=80,∠F=25,則∠E的度數為()A.55B.50C.45D.40,答案C∠B=∠DCE-∠F=80-25=55,∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠EDC=∠B=55,∴∠E=180-∠DCE-∠EDC=45.,3.(2017四川德陽,10,3分)如圖,點D、E分別是☉O的內接正三角形的AB、AC邊上的中點.若☉O的半徑為2,則DE的長等于()A.B.C.1D.,答案A連接OB,過點O作OM⊥BC于M,如圖,在Rt△BOM中,∠OBM=30,OB=2,∴BM=2cos30=,∴BC=2BM=2,∴DE=BC=.故選A.,4.(2017福建,8,4分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側的兩點.下列四個角中,一定與∠ACD互余的角是()A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD,答案D∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90,∴∠BAD+∠B=90,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+∠ACD=90,故選D.,5.(2017四川阿壩州,7,4分)如圖,將半徑為2cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經過圓心O,則折痕AB的長為()A.2cmB.cmC.2cmD.2cm,答案D如圖,過點O作OD⊥AB,交AB于點D,連接OA,∵OA=2OD=2cm,∴AD===(cm),∵OD⊥AB,∴AB=2AD=2cm.,6.(2017江蘇南京,6,2分)過三點A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圓的圓心坐標為()A.B.(4,3)C.D.(5,3),答案A過C作CE⊥AB于E,設所求圓的圓心為D,半徑為r,連接AD,如圖所示:∵A(2,2),B(6,2),∴圓心D在直線x=4上,∴D的橫坐標為4.∵C(4,5),∴CE=3.∵CD=r,∴DE=3-r.在Rt△DAE中,AE2+DE2=AD2,即22+(3-r)2=r2,解得r=,∴D的縱坐標為5-=,∴D.故選A.,思路分析本題求過三點的圓的圓心坐標時,首先根據圓的對稱性確定圓心的橫坐標,然后根據勾股定理求出半徑,最后求出圓心的坐標.,7.(2017浙江金華,7,4分)如圖,在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片,則弦AB的長為()A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm,答案C如圖,作OC⊥AB交AB于D,交圓于C,∵OC=13cm,CD=8cm,∴OD=5cm,∴在Rt△BOD中,BD===12(cm),∴AB=2BD=24cm.,思路分析作OC⊥AB交AB于D,交圓于點C,根據垂徑定理和勾股定理求AB的長.,8.(2016廣西南寧,9,3分)如圖,點A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40,則∠P的度數為()A.140B.70C.60D.40,答案B∵∠DCE=40,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180-40=140,∴∠P=∠AOB=70,故選B.,9.(2016浙江麗水,10,3分)如圖,已知☉O是等腰Rt△ABC的外接圓,點D是上一點,BD交AC于點E,若BC=4,AD=,則AE的長是()A.3B.2C.1D.1.2,答案C因為AC=BC=4,∠C=90,所以由勾股定理得AB=4,所以BD==,易證△CBE∽△DAE,所以AE∶BE=DE∶CE=AD∶CB=∶4=,因為AC,BD是☉O的兩條相交弦,所以BEDE=AECE.若AE=3,則BE=15>,故錯誤;若AE=2,則BE=10>,故錯誤;若AE=1,則BE=5,DE=,CE=4-1=3,此時滿足BEDE=AECE,故AE=1時正確;若AE=1.2,則BE=6>,故錯誤,故選擇C.,10.(2017四川雅安,15,3分)☉O的直徑為10,弦AB長為6,點P是弦AB上一點,則OP的取值范圍是.,答案4≤OP≤5,解析如圖,連接OA,作OM⊥AB與M,∵☉O的直徑為10,∴OA=5,∴OP的最大值為5,∵OM⊥AB與M,∴AM=BM,∵AB=6,∴AM=3,在Rt△AOM中,OM==4,OM的長即為OP的最小值,∴4≤OP≤5.,11.(2017四川自貢,17,4分)如圖,等腰△ABC內接于☉O,已知AB=AC,∠ABC=30,BD是☉O的直徑,如果CD=,則AD=.,答案4,解析根據題意知,AB=AC,∴=,∴∠ADC=∠ADB=∠ABC=30,∴∠BDC=60,∵BD是☉O的直徑,∴∠BCD=∠BAD=90,∴cos∠BDC=,∴BD=,∵cos∠BDA=,∴AD=cos30=4.,12.(2017四川廣元,14,3分)已知☉O的半徑為10,弦AB∥CD,AB=12,CD=16,則AB和CD的距離為.,答案14或2,解析分兩種情況:①當AB、CD在圓心O的兩側時,如圖1,過O作OE⊥CD于E,延長EO將AB于F,連接OD、OB,∵AB∥CD,∴EF⊥AB,∴ED=CD,BF=AB,∵AB=12,CD=16,∴ED=16=8,BF=12=6,由勾股定理得:OE===6,OF===8,∴EF=OE+OF=6+8=14;②當AB、CD在圓心O的同側時,如圖2,,同理得:EF=OF-OE=8-6=2,綜上所述,AB和CD的距離為14或2.,13.(2016重慶A卷,15,4分)如圖,OA,OB是☉O的半徑,點C在☉O上,連接AC,BC.若∠AOB=120,則∠ACB=度.,答案60,解析根據圓周角定理,知∠ACB=∠AOB=120=60.,14.(2016青海西寧,18,2分)☉O的半徑為1,弦AB=,弦AC=,則∠BAC度數為.,答案15或75,解析如圖1,若兩條弦在AD的同側,連接BD、CD,則∠B=∠C=90,∵AB=,AC=,∴cos∠BAD=,cos∠CAD=,∴∠BAD=45,∠CAD=30,∴∠BAC=45-30=15;如圖2,若兩條弦在AD的兩側,連接BD、CD,則∠B=∠C=90,∵AB=,AC=,∴cos∠BAD=,cos∠CAD=,∴∠BAD=45,∠CAD=30,∴∠BAC=45+30=75.綜上,∠BAC=15或75.,15.(2017安徽,20,10分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD于BC,過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接CO,求證:CO平分∠BCE.,證明(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180.∴∠D+∠DAE=180.∴AE∥DC.∴四邊形AECD是平行四邊形.(5分)(2)過點O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分別為M、N.∵四邊形AECD是平行四邊形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.(10分),思路分析(1)根據“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等”可推出∠E=∠B,再由∠D=∠B,CE∥AD可推出AE∥DC,問題得證;(2)作OM⊥CE,ON⊥BC,垂足分別為M、N,由已知及(1)得出CE=BC,再根據“同一個圓內等弦對應的弦心距相等”可得OM=ON,從而由角平分線的判定定理可得結論.,解題關鍵抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內等弦對應的弦心距相等”是解決本題的關鍵.,16.(2017廣西桂林,25,10分)已知:如圖,在△ABC中,AB=BC=10,以AB為直徑作☉O分別交AC,BC于點D,E,連接DE和DB,過點E作EF⊥AB,垂足為F,交BD于點P.(1)求證:AD=DE;(2)若CE=2,求線段CD的長;(3)在(2)的條件下,求△DPE的面積.,解析(1)證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90,又∵AB=BC,∴D是AC的中點,∠ABD=∠CBD,∴AD=DE.(2)∵四邊形ABED內接于☉O,∴∠CED=∠CAB,又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴=,又∵AB=BC=10,CE=2,D是AC的中點,∴CD=.(3)延長EF交☉O于M,在Rt△ABD中,AD=,AB=10,∴BD=3,,又∵AB⊥EM,AB是直徑,∴=,∴∠BEP=∠EDB,∴△BPE∽△BED,∴=,∴BP=,∴DP=BD-BP=,∴S△DPE∶S△BPE=DP∶BP=13∶32,∴S△DPE∶S△BDE=13∶45,∵S△BCD=3=15,S△BDE∶S△BCD=BE∶BC=4∶5,∴S△BDE=12,∴S△DPE=.,思路分析(1)根據直徑所對的圓周角為90可得∠ADB=90,結合AB=BC,由等腰三角形三線合一的性質得出∠ABD=∠CBD,即可得AD=DE;(2)先證△CDE∽△CBA,即可得=,即可求出CD的長;(3)根據勾股定理求出BD的長,延長EF交圓O于M,可證△BPE∽△BED,即可求得BP,DP的長,故可得S△DPE∶S△BDE=13∶45,又S△BCD=15,S△BDE∶S△BCD=BE∶BC=4∶5,故S△BDE=12,從而求出S△DPE=.,17.(2017浙江杭州,23,12分)如圖,已知△ABC內接于☉O,點C在劣弧AB上(不與點A,B重合),點D為弦BC的中點,DE⊥BC,DE與AC的延長線交于點E,射線AO與射線EB交于點F,與☉O交于點G,設∠GAB=α,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ.(1)點點同學通過畫圖和測量得到以下數據:,猜想:β關于α的函數表達式,γ關于α的函數表達式,并給出證明;(2)若γ=135,CD=3,△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,求☉O的半徑.,解析(1)①β=α+90;②γ=180-α.證明:連接CG,因為AG是直徑,所以∠ACG=90,因為DE垂直平分BC,所以EB=EC,所以∠EBC=∠ECB,∠BED=∠CED.①因為∠BAG=∠BCG,所以β=∠BCG+∠ACG=∠BAG+∠ACG=α+90.②因為∠ECG=90,CD⊥DE,所以∠BCG=∠CED,所以∠BEC=2α,所以γ=∠EAG+∠EBA=∠BAG+∠EAB+∠EBA=∠BAG+(180-∠BEC)=α+(180-2α)=180-α.(2)因為γ=135,所以α=45,β=135,所以∠ECB=∠EBC=45.所以△ECB為等腰直角三角形,又因為CD=3,所以BC=6,,所以CE=BE=3,因為△ABE的面積為△ABC的面積的4倍,所以AE∶AC=4∶1,所以AE=4,在Rt△ABE中,AB==5,連接BG,因為AG是直徑,所以∠ABG=90,在Rt△ABG中,∠BAG=α=45,所以BG=AB,所以AG==10,所以☉O的半徑為5.,18.(2017黑龍江牡丹江,22,5分)如圖,在☉O中,=,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,求證:AD=BE.,證明∵=,∴∠AOC=∠BOC,∵CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,∴∠CDO=∠CEO=90,∴在△CDO和△CEO中,∴△CDO≌△CEO(AAS),∴OD=OE,∵OA=OB,∴AD=BE.,19.(2016臨沂,23,9分)如圖,A,P,B,C是圓上的四個點,∠APC=∠CPB=60,AP,CB的延長線相交于點D.(1)求證:△ABC是等邊三角形;(2)若∠PAC=90,AB=2,求PD的長.,解析(1)證明:∵∠APC=∠CPB=60,∴∠ABC=∠BAC=60,(2分)∴∠ACB=60,(3分)∴△ABC是等邊三角形.(4分)(2)解法一:∵∠PAC=90,∠APC=∠ACB=60,∴∠D=∠DAB=∠PCB=30,∴BD=AB=2.(6分)又易證∠PBD=∠PAC=90,∴PD===4.(9分),解法二:∵∠PAC=90,∠APC=∠ACB=60,∴∠ACP=∠PCB=∠D=30