空間幾何體的表面積和體積講解及經(jīng)典例題.doc

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空間幾何體的表面積和體積 一．課標(biāo)要求： 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。 二．命題走向 近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。 由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測2009年高考有以下特色： （1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式； （2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計算問題； 三．要點精講 1．多面體的面積和體積公式 名稱 側(cè)面積(S側(cè)) 全面積(S全) 體 積(V) 棱 柱 棱柱 直截面周長l S側(cè)+2S底 S底h=S直截面h 直棱柱 ch S底h 棱 錐 棱錐 各側(cè)面積之和 S側(cè)+S底 S底h 正棱錐 ch′ 棱 臺 棱臺 各側(cè)面面積之和 S側(cè)+S上底+S下底 h(S上底+S下底+) 正棱臺 (c+c′)h′ 表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。 2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式 名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球 S側(cè) 2πrl πrl π(r1+r2)l S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 V πr2h(即πr2l) πr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3 表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。 四．典例解析 題型1：柱體的體積和表面積 例1．一個長方體全面積是20cm2，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長. 解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm 依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。 點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。 例2．如圖1所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。 （1）求證：頂點A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上； （2）求這個平行六面體的體積。 圖1 圖2 解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N， 從而OM=ON。 ∴點O在∠BAD的平分線上。 （2）∵AM=AA1cos=3= ∴AO==。 又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=， ∴A1O=，平行六面體的體積為。 題型2：柱體的表面積、體積綜合問題 例3．一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ） A．2 B．3 C．6 D． 解析：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案D。 點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長。 例4．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2= ____ _。 解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分別為AB、AC的中點， ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。 題型3：錐體的體積和表面積 P A B C D O E 例5． （2008山東卷6） 右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是D (A)9π　　　　　　?。˙）10π (C)11π (D)12π （2008江西卷10） 連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦。半徑為4的球的兩條弦、的長度分別等于、，、分別為、的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題： ①弦、可能相交于點 ②弦、可能相交于點 ③的最大值為5 ④的最小值為1 其中真命題的個數(shù)為C A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 （2008湖北卷3） 用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為B A. B. C. D. 點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。 例6．（2008北京，19）． （本小題滿分12分） A B C M P D 如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，． （Ⅰ）設(shè)是上的一點，證明：平面平面； （Ⅱ）求四棱錐的體積． （Ⅰ）證明：在中， 由于，，， A B C M P D O 所以． 故． 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面， 故平面平面． （Ⅱ）解：過作交于， 由于平面平面， 所以平面． 因此為四棱錐的高， 又是邊長為4的等邊三角形． 因此． 在底面四邊形中，，， 所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為， 此即為梯形的高， 所以四邊形的面積為． 故． 點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理。 題型4：錐體體積、表面積綜合問題 例7．ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFC的距離？ 解：如圖，取EF的中點O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。 設(shè)點B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。 。 而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。 由，得 點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。 例8．（2007江西理，12） 如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ） A．S1S2 C．S1=S2 D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定 解：連OA、OB、OC、OD， 則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC， 而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C 點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。 題型5：棱臺的體積、面積及其綜合問題 例9．（2008四川理，19） ． （本小題滿分12分） 如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90，BC∥AD，BE∥AF，G、H分別是FA、FD的中點。 (Ⅰ)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (Ⅱ)C、D、E、F四點是否共面？為什么？ (Ⅲ)設(shè)AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE. G H F E D C B A )解法一： (Ⅰ)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA,FH=HD. 所以GH ， 又BC ,故GH BC. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. (Ⅱ)C、D、F、E四點共面.理由如下： 由BE ,G是FA的中點知，BE GF，所以EF∥BG. 由(Ⅰ)知BG∥GH，故FH共面.又點D在直線FH上. 所以C、D、F、E四點共面. (Ⅲ)連結(jié)EG，由AB=BE，BE AG及∠BAG=90知ABEG是正方形. 故BG⊥EA.由題設(shè)知，F(xiàn)A、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE， 因此EA是ED在平面FABE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BG⊥ED. 又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE. 由(Ⅰ)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由(Ⅱ)知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE. 解法二： 由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. (Ⅰ)設(shè)AB=a,BC=b,BE=c，則由題設(shè)得 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c). 所以， 于是 又點G不在直線BC上. 所以四邊形BCHG是平行四邊形. (Ⅱ)C、D、F、E四點共面.理由如下： 由題設(shè)知，F(xiàn)(0,0,2c)，所以 (Ⅲ)由AB=BE，得c=a，所以 又 即 CH⊥AE,CH⊥AD, 又 AD∩AE =A,所以CH⊥平面ADE, 故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE. 點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計算公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題，是極具實際意義的問題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。 例10．（1）（2008四川理，8） 設(shè)是球心的半徑上的兩點，且，分別過作垂線于的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( D ) （Ａ）　?。ǎ拢　。ǎ茫　。ǎ模? 【解】：設(shè)分別過作垂線于的面截球得三個圓的半徑為，球半徑為，則： ∴ ∴這三個圓的面積之比為： 故選D 【點評】：此題重點考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系； 【突破】：畫圖數(shù)形結(jié)合，提高空間想象能力，利用勾股定理； 例11．（2008四川文，12） 若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于( B ) （Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ） 【解】：如圖在三棱柱中，設(shè)， 由條件有，作于點， 則 ∴ ∴ ∴ 故選B 【點評】：此題重點考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能力； 【突破】：具有較強的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵； 例12．如圖9—9，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。 解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。 點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。 圖 題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問題 例13．已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。 解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為， 則， 在中，， ∴， ∴， ∴。 點評： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。 例14．如圖所示，球面上有四個點P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。 解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。 在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。 由正弦定理，得 =2r,∴r=a。 又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a， ∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a, ∴S球=4πR2=3πa2。 點評：本題也可用補形法求解。將P—ABC補成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a,下略。 題型9：球的面積、體積綜合問題 例15．（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。 （2）正四面體ABCD的棱長為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個面和球O都相切的一個小球，求球O1的體積。 解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為， 則作軸截面如圖，，， 又∵，∴， ∴，∴， ∴ （2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點，球O與平面ACD、BCD切于點F、G，球O1與平面ACD切于點H 由題設(shè) ∵　△AOF∽△AEG ∴　，得 ∵　△AO1H∽△AOF ∴ ，得 ∴　 點評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等。 題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題 例19．（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為） （2）在半徑為的球面上有三點，，求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。 解：（1）如圖，是北緯上一點，是它的半徑， ∴， 設(shè)是北緯的緯線長， ∵， ∴ 答：北緯緯線長約等于． （2）解：設(shè)經(jīng)過三點的截面為⊙， 設(shè)球心為，連結(jié)，則平面， ∵， ∴， 所以，球心到截面距離為． 例16．在北緯圈上有兩點，設(shè)該緯度圈上兩點的劣弧長為（為地球半徑），求兩點間的球面距離。 解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，， ∴，∴， ∴，∴， ∴中，， 所以，兩點的球面距離等于． 點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進而求出這兩點的球面距離。 （2008廣東文18） （本小題滿分14分） 如圖5所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，。 （1）求線段PD的長； （2）若，求三棱錐P-ABC的體積。 【解析】（1） BD是圓的直徑 又 , , ; (2 ) 在中， 又 底面ABCD 三棱錐的體積為 . 五．思維總結(jié) 1．正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長為a，則這個正四面體的 (1)全面積：S全=a2； (2)體積：V=a3； (3)對棱中點連線段的長：d=a； (4)內(nèi)切球半徑：r=a； (5)外接球半徑 R=a； (6)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。 2．直角四面體的性質(zhì) 有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)： 如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。 則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形； ②直角頂點O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③體積 V=abc； ④底面△ABC=； ⑤S2△ABC=S△BHCS△ABC； ⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ⑦=++; ⑧外切球半徑 R=； ⑨內(nèi)切球半徑 r= 3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角. ①如圖，圓錐的頂角為β，母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sinα=cos = ， α+=90 cosα=sin = . ②圓臺 如圖，圓臺母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r ′、r，則h=lsinα，r-r′=lcosα。 ③球的截面 用一個平面去截一個球，截面是圓面. (1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓； (2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面； (3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系： r=. 4．經(jīng)度、緯度： 經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓； 緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓； 經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。 緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。 5. 兩點的球面距離： 球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離 兩點的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）