數(shù)學分析中題庫.doc

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數(shù)學分析（中）題庫 一 選擇填空 （每小題4分，共分） 10. 設函數(shù)在可積且平方可積，則的Fourier級數(shù)_______________收斂于. 11. 下列集合是連通緊集的是___________. A B C . D . 3. 函數(shù)的Fourier級數(shù)在點x=2處收斂于__________________________________________ 4. =__________________________. 5. 的Fourier正弦級數(shù)在收斂于____________; 6. 若冪級數(shù)在區(qū)間X上收斂，則下列結(jié)論不一定正確的是A 它的和函數(shù)在X上連續(xù); B 它在X上內(nèi)閉一致收斂； C 在X上收斂；D 在X上收斂 7. 函數(shù)在點(1,2,1)處沿方向______________的方向?qū)?shù)取最大值, 最大值為__________________________. 8. 函數(shù)的Fourier級數(shù)在點x=2處收斂于____________________________. 9. 若無窮級數(shù)收斂，則級數(shù)________, 級數(shù)___________. (A)收斂 (B)發(fā)散 (C)不能確定. 10. 若收斂，則級數(shù)______；級數(shù)_____. A一定收斂 B一定發(fā)散 C不能確定 11. 設函數(shù)在連續(xù)，則下列一定正確的是___________. A的Fourier級數(shù)點態(tài)收斂于. B的Fourier級數(shù)平方收斂于. C的Fourier級數(shù)一致收斂于. D的Fourier級數(shù)在 上可逐項積分并收斂于. 12. 集合是緊集當且僅當________________________________. 13. 函數(shù)在點(1,2)處沿方向______________的方向?qū)?shù)取最大值, 最大值為__________________________. 14. 空間曲線在點處的切向量為__________. 15. 函數(shù)在點(1,1)處沿方向______________的方向?qū)?shù)取最大值, 最大值為__________________________. 16. 集合是緊集當且僅當_________________________ 17. 中點列是基本點列當且僅當______________________ _________________________________________________________. 18. 空間曲線在點（1，1，2）處的切線方程為_____________________________________________________________. 19. 多元函數(shù)在一點的各性質(zhì)之間的關系為 (A) 連續(xù); (B)可微; (C)可偏導；(D)在某鄰域上偏導數(shù)存在且在點連續(xù). 14. 判斷 (1) f(x)在區(qū)間上可積且平方可積，則f(x)的Fourier級數(shù)平方收斂于f(x).（ ） (2) f(x)在區(qū)間上連續(xù)，則f(x)的Fourier級數(shù)收斂于f(x)（ ）. (3) 發(fā)散（ ） (4)（ ） （5） （6） 二 解答題（每小題10分，共分） 1 求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 2 求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 3 計算 ，并求級數(shù)的和 4 求冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)，并求級數(shù)的值。 5 計算 6 7 求函數(shù)在處的泰勒展開式和收斂域. 8 確定函數(shù)之定義域，并利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂性說明它的連續(xù)性及可微性. 9 求的收斂域及和函數(shù) ，并求級數(shù)的和 10 求的收斂域及和函數(shù)，并計算. 11 求的Fourier級數(shù)及其在上的和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 12 求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 13 確定函數(shù)的定義域及其在定義域上的連續(xù)性和可微性。 14 確定函數(shù)的收斂域及其在收斂域上的一致收斂性（包括內(nèi)閉一致收斂性） 15 確定下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域D, 并討論其在D上的一致收斂性（包括內(nèi)閉一致收斂性）以及它們的和函數(shù)在D上的可積性、連續(xù)性和可導性（20分） 16 判斷下列各題的斂散性（包括絕對收斂和條件收斂性） 17 判斷反常積分 的斂散性。 18 判斷反常積分 的斂散性（包括發(fā)散、絕對收斂與條件收斂） 19 設, 試問 (i)a，b為何值時f(x)在(-,+)內(nèi)連續(xù)? (ii) f(x)在(-,+)內(nèi)是否可導? 20 在上的一致收斂性 21 討論函數(shù)在點（0，0）的連續(xù)性、可偏導性和可微性。 22 討論函數(shù)在點（0，0）的連續(xù)性、可偏導性和可微性。 23 求函數(shù)的Fourier級數(shù)及其和函數(shù). 24 是常數(shù))的Fourier級數(shù)及其和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 25 求的Fourier余弦級數(shù)，并用Parseval等式求級數(shù)的和。 26 的Fourier變換F(f). 27 設F是可微函數(shù)，是由所確定的隱函數(shù)，計算 28 設F是可微函數(shù)，是由所確定的隱函數(shù)，求 29 設是由方程所確定的函數(shù)，求 30 設由方程組，確定，求. 三. 應用類 1. 設具有連續(xù)偏導數(shù)，并且不全為零，求空間曲線在坐標面上投影曲線的切線方程。 2. 求曲面在第一卦限的切平面，使得該切平面與三個坐標平面圍成的四面體體積最小。 3. 求曲面在第一卦限的切平面，使得該切平面與三個坐標平面圍成的四面體體積最小。 4. 求曲面的切平面，使得該切平面與點（2，2，2）距離最短。 5. 求曲面與xoy坐標平面的最近距離。 6. 在曲面上求一點，該點處的切平面平行于平面，并求此切平面和 法線方程. 7. 求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。 8. 求函數(shù)的極值點和極值。 9. 求函數(shù)在上的最大值和最小值. 10. 四. 證明類(每題6分，共分) 1 若函數(shù) 在點連續(xù)且，則 有 . 2 若集合D中存在數(shù)列{xn}，使得，則級數(shù)在D上非一致收斂。 3 設, 其中f為連續(xù)函數(shù). 證明: 在任何閉區(qū)間上一致收斂。 4 若級數(shù)在D上一致收斂，則序列在D上一致收斂于0. 5 若函數(shù)在點存在二重極限，則 上 有界。 6 已知{nun(x)}在區(qū)域D上一致有界, 則在區(qū)域D上絕對一致收斂。 7 已知函數(shù)序列{un(x)}關于n單調(diào)且在區(qū)域D上一致收斂于0, 則在區(qū)域D上一致收斂。 8 若無窮級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。 9 如果， 則。 10 若函數(shù)在上連續(xù), 且級數(shù)在上一致收斂，則級數(shù)在上一致收斂. 11 設是具有連續(xù)偏導數(shù)的n次齊次函數(shù)（即：對于任意實數(shù)t和x, y, z，有），且gradF, 則曲面=0上所有切平面過原點。 12 f(x)在區(qū)間上可積且平方可積，證明Bessel不等式: 13. 設在上可導且在上可積，為的傅里葉系數(shù). 證明： . 14. 已知存在正整數(shù)N，使得, 且，則在D上一致收斂于。 15. 設在上具有二階連續(xù)導數(shù)，且. 證明級數(shù)絕對收斂. 16. 證明中有限覆蓋定理. 17. 證明中閉區(qū)域套定理. 11