諧波齒輪減速器的設(shè)計與建模含proe及5張CAD圖
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外文翻譯
計算諧波齒輪中柔輪的應力
葉慶凱
(北京大學機械系 北京)
(于1986年10月30日接收,由朱藻軒審閱)
[摘要]這是很難通過常規(guī)有限元程序求解接觸問題。在本文中,我們作為一個優(yōu)化問題表達接觸問題。在這種形式,我們不需要預先知道所有的邊界條件。我們只需要知道的約束條件。該方法是求解接觸問題的特別好。使用這種方法,我們計算的應力柔輪諧波齒輪由上海交通大學,其結(jié)果是在良好的協(xié)議與實驗結(jié)果。
Ⅰ、引言
一種諧波齒輪的基本原理是將旋轉(zhuǎn)通過發(fā)電機產(chǎn)生的柔輪變形。在這個變形的柔輪和發(fā)電機之間的接觸的情況下是未知的。我們不知道他們是在彼此接觸,和接觸力是什么。事實上,這些形式的所需的結(jié)果的一部分。為簡單起見,我們假設(shè)發(fā)電機是一剛性體,所以,我們遇到一個剛性體和彈性體接觸問題。
在通常的有限元程序,必須給出的邊界條件。我們必須給任一位移或在邊界的外部力量。但在接觸問題不可了。我們甚至不知道邊界在哪里。因此,通常的有限元方法不能直接應用。
在本文中,我們使用的優(yōu)化方法來求解接觸問題。為了使用的優(yōu)化方法,我們得到一個性能指標來評估“好”的解決方案。然后在最小化這個指標我們改善迭代解的意義。當相應的解決方案是最好的,我們就得到需要的解決方案。
在分析力學的漢密爾頓的原則,對接觸問題,存在著這樣一種指標,即,在所有柔輪變形滿足接觸條件(每個柔輪都不相同),實際的平衡是具有最小變形能量的狀態(tài)。因此,如果我們把變形的能量在一個變形柔輪為指標,并將變形能作為柔輪位移函數(shù),接觸問題?,F(xiàn)在將減少到“解決一個優(yōu)化問題,最大限度地減少變形能量不等式約束條件(即接觸條件)。我們可以使用正常的優(yōu)化程序(如共軛梯度法)來解決這個問題。
用種方法來表達接觸問題為優(yōu)化問題毫無疑問是最完整的一個。它不需要預先給所有的邊界條件。它只需要給約束條件。因此它是解決接觸問題的特別好。此外,當我們解決優(yōu)化問題時,也就解決了柔輪和發(fā)電機之間的實際接觸情況。
Ⅱ、柔輪中變形能的計算
一個保守的,完整的力學系統(tǒng),如果有一些潛在的力量作用于該系統(tǒng),然后對應的平衡點的位移在所有可能的位移中就會有最小勢能。
假設(shè)柔輪薄,這樣的問題可以被視為一個平面應力問題。在系統(tǒng)的總勢能V的變形能存儲在彈性體(我們不考慮重力的影響)。由于在彈性體內(nèi)儲存的變形能是一個函數(shù)的位移,問題就減少到在所有的位移中去尋找最小的V。
現(xiàn)在我們來討論計算柔輪中變形能的具體方法
表示沿方向x和y位移u(x,y)的和(x,y)(X,Y),屬于Ω,其中Ω是由對象占用的面
然后,由計算應變e的公式得:
( 2.1 )
因為現(xiàn)行的彈性問題,應力σ和應變e之間的關(guān)系為:
σ=De (2.2)
而
(2.3)
E是彈性模量,和V為材料的泊松比。他們決心通過材料的性能,并對σ和 e獨立的,所以它們是獨立于u和ν。因此,總的變形能量存儲在Ω是
(2.4)
當在索博列夫空間中給定一對函數(shù)u(x,y)和ν(x,y),我們可以根據(jù)(2.1)算出e,然后又由(2.4)求出V,因此V是u和v的函數(shù),現(xiàn)在,這個問題可以轉(zhuǎn)化成在索伯列夫空間中帶有約束條件的函數(shù)優(yōu)化問題來解決。但它很難給出一般形式的函數(shù)u,v在域Ω中,通常,我們限制U,V的一些特殊形式。
還有很多的方法來分配函數(shù)中的u和v,在本文中我們把域Ω 用節(jié)點分成S三角元,給u 和v,我們把這些值分布在節(jié)點上,然后假設(shè)他們有這樣的形式
( 2.5)
在每一個元素中,因此,當給了這些節(jié)點上u和v的值之后,就相當于給這整個域Ω上的u和v的函數(shù) ,要是我們用以上的方法來判定位移函數(shù),那么應變和位移在三角元中的關(guān)系就是
(2.6)
就是這個元的面積
(2.7)
(2.8)
其中下標ij,和K表示相應的變量屬于本地節(jié)點i,j,和K-th元。因此,變形能量存儲在m個元是
(2.9)
然后存儲在整個域Ω中的變形能為:
(2.10)
其中
(2.11)
K是2*2的矩陣。
如果我們選擇位移函數(shù)u(x,y)和V(x,y)根據(jù)上述規(guī)則,和V是定義在R的功能,因此問題則為R中的約束優(yōu)化問題
Ⅲ、求解約束化問題
在本文中我們使用波拉克里比埃共軛梯度算法。因此,我們必須知道梯度。函數(shù)V,那就是,
(3.1)
這里:
( 3.2)
而且是矩陣k的元素
現(xiàn)在分矩陣k為四個I x l的子陣,
K= (3.3)
讓u=,,然后
(3.4)
Δ (3.5)
我們解決這個約束的梯度投影技術(shù)。該柔輪和發(fā)電機之間的接觸情況,如圖2所示,其中R是發(fā)電機的圓的半徑,和C是圓的偏心率。約束是柔輪不能進入發(fā)生器,(由于對稱性,我們只需考慮第一象限)
(3.6)
在在變形前的i-th的坐標,和的位移在此節(jié)點。符號“>”(3.6)指本節(jié)點的柔輪失去接觸的發(fā)電機,而符號“=”指節(jié)點已經(jīng)到達約束邊界,即,它與發(fā)電機接觸。
在迭代過程中,如果某些節(jié)點的柔輪與發(fā)電機相接觸,其進一步的運動可以是:(1)失去與發(fā)電機的接觸,或(2)沿發(fā)生器的邊界移動。為了區(qū)分這兩種情況之間的迭代,我們要計算的函數(shù)如果角”這個方向和電聚合點在外法線方向之間的是急性的負梯度方向,該柔輪將與失去聯(lián)系。
在進一步的迭代,在這一點上發(fā)生,我們不需要修改函數(shù),如果角是鈍角的負梯度方向,接觸點會在進一步的迭代的發(fā)電機的邊界移動,我們必須使用的函數(shù)V的負梯度方向上投影的發(fā)電機在這一點上的切線方向計算搜索方向(即梯度投影),和力量,這一點保持在發(fā)電機的邊界。
現(xiàn)在我們引入約束算子和操作計劃如下
這里 ,,,,,,
Ⅳ、例子
使用以上的方法,我們得到了諧波齒輪中柔輪的應力,所使用的數(shù)據(jù)時:
1) 柔輪
齒數(shù)N=4×168
內(nèi)半徑=24.525cm
外半徑=25.040625cm
齒頂高:H=0.15cm
齒頂寬:D=0.07cm
2)對發(fā)電機(6套)
a.c=0.25 b. c=0.24cm
R=24.35cm R=24.36cm
c. c=0.23cm d. c=0.22cm
R=24.37cm R=24.38cm
e. c=0.21cm f. c=0.20cm
R=24.39cm R=24.40cm
計算的結(jié)果如下表1
a
111
151
37
81-93
b
134
168
144
63-98
c
320
256
259
53-103
d
555
377
403
45-106
e
819
480
567
37-108
f
1128
605
721
29-110
Pn為的輪齒的接觸段對應的序號。
上述結(jié)果與上海交通大學給出的實驗結(jié)果吻合良好,其中C = 0.23cm,測得的最大應力為800kg/cm
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