高等數學D4-1不定積分ppt課件

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第四章,微分法:,積分法:,互逆運算,不定積分,,1,,二、 基本積分表,三、不定積分的性質,一、 原函數與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質,第四章,2,一、 原函數與不定積分的概念,引例: 一個質量為 m 的質點,,下沿直線運動 ,,因此問題轉化為:,已知,求,在變力,試求質點的運動速度,根據牛頓第二定律,,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數 F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個原函數 .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,,的原函數有,3,,問題:,1. 在什么條件下, 一個函數的原函數存在 ?,2. 若原函數存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函數 .,(下章證明),初等函數在定義區(qū)間上連續(xù),,初等函數在定義區(qū)間上有原函數,4,定理 2.,原函數都在函數族,( C 為任意常數 ) 內 .,證: 1),又知,故,它屬于函數族,即,5,定義 2.,在區(qū)間 I 上的原函數全體稱為,上的不定積分,,其中,— 積分號;,— 被積函數;,— 被積表達式.,— 積分變量;,(P185),若,則,( C 為任意常數 ),C 稱為積分常數, 不可丟 !,例如,,記作,6,不定積分的幾何意義:,的原函數的圖形稱為,的圖形,,的所有積分曲線組成,的平行曲線族.,,,,,,,,,,,,,的積分曲線 .,7,例1. 設曲線通過點(1, 2),,且其上任一點處的切線,斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程.,解:,所求曲線過點 (1, 2) ,,故有,因此所求曲線為,,8,例2. 質點在距地面,處以初速,力, 求它的運動規(guī)律.,解: 取質點運動軌跡為坐標軸, 原點在地面, 指向朝上 ,,,,質點拋出時刻為,此時質點位置為,初速為,設時刻 t 質點所在位置為,則,(運動速度),(加速度),,垂直上拋 ,,不計阻,9,先求,由,知,再求,于是所求運動規(guī)律為,由,,知,故,10,二、 基本積分表 (P188),從不定積分定義可知:,或,或,利用逆向思維,( k 為常數),,11,或,或,12,13,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,14,,三、不定積分的性質,推論: 若,則,15,例5. 求,解: 原式,16,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,17,例8. 求,解: 原式 =,,18,內容小結,1. 不定積分的概念,? 原函數與不定積分的定義,? 不定積分的性質,? 基本積分表 (見P188),2. 直接積分法:,利用恒等變形,,,及 基本積分公式進行積分 .,常用恒等變形方法,分項積分,加項減項,利用三角公式 , 代數公式 ,,積分性質,19,思考與練習,1. 證明,2. 若,(P193題7),提示:,20,3. 若,是,的原函數 , 則,提示: 已知,21,4. 若,的導函數為,則,的一個原函數,是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由題意,其原函數為,22,5. 求下列積分:,提示:,23,6. 求不定積分,解：,24,7. 已知,求 A , B .,解: 等式兩邊對 x 求導, 得,,25,作業(yè),P192 2.奇數; 4，5 ;,第二節(jié),26,