高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第四篇 第7講 解三角形應(yīng)用舉例
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第7講 解三角形應(yīng)用舉例 A級(jí) 基礎(chǔ)演練(時(shí)間:30分鐘 滿分:55分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2013·滄州模擬)有一長(zhǎng)為1的斜坡,它的傾斜角為20°,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10°,則斜坡長(zhǎng)為 ( ). A.1 B.2sin 10° C.2cos 10° D.cos 20° 解析 如圖,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°,∴∠ABD=160°. 在△ABD中,由正弦定理得 =, ∴AD=AB·==2cos 10°. 答案 C 2.某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km,那么x的值為 ( ). A. B.2 C.或2 D.3 解析 如圖所示,設(shè)此人從A出發(fā),則AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得()2=x2+32-2x·3·cos 30°,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2. 答案 C 3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是 ( ). A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析 如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理得=,解得BC=10(海里). 答案 A 4.(2012·吉林部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖,兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ( ). A.30° B.45° C.60° D.75° 解析 依題意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.(2011·上海)在相距2千米的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米. 解析 由已知條件∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=45°.結(jié)合正弦定理得=,即=,解得AC=(千米). 答案 6.(2013·濰坊模擬)如圖,一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處,且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析 設(shè)航速為v n mile/h, 在△ABS中,AB=v,BS=8 n mile, ∠BSA=45°, 由正弦定理得:=,∴v=32 n mile/h. 答案 32 三、解答題(共25分) 7.(12分)某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)保標(biāo)志,小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD,經(jīng)測(cè)量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.求AB的長(zhǎng)度. 解 在△ABC中,由余弦定理得 cos C==, 在△ABD中,由余弦定理得 cos D==. 由∠C=∠D,得cos∠C=cos∠D, 解得AB=7,所以AB長(zhǎng)度為7米. 8.(13分)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值. 解 如題圖所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,故BC=20(海里). 由正弦定理得=, 所以sin∠ACB=sin∠BAC=. 由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=. 易知θ=∠ACB+30°,故cos θ=cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30° =. B級(jí) 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是 ( ). A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 解析 設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 答案 A 2.(2013·榆林模擬)如圖,在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30°,測(cè)得湖中之影的俯角為45°,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ( ). A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m 解析 在△ACE中, tan 30°==.∴AE=(m). 在△AED中,tan 45°==, ∴AE=(m),∴=, ∴CM==10(2+)≈37.3(m). 答案 C 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.在2012年7月12日倫敦奧運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式.如圖,在坡度為15°的觀禮臺(tái)上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為_(kāi)_______米. 解析 由題可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60°=30(米).故旗桿的高度為30米. 答案 30 4.(2013·合肥一檢)如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角,前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當(dāng)α與β滿足條件________時(shí),該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn). 解析 由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得=,解得BM=,要使該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需滿足BMsin(90°-β)=>n,所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時(shí),該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn). 答案 mcos αcos β>nsin(α-β) 三、解答題(共25分) 5.(12分)(2012·肇慶二模)如圖,某測(cè)量人員為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B,C;并測(cè)量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1百米. (1)求△CDE的面積; (2)求A,B之間的距離. 解 (1)在△CDE中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,S△CDE=DC·CE·sin 150°=×sin 30°=×=(平方百米). (2)連接AB,依題意知,在Rt△ACD中, AC=DC·tan∠ADC=1×tan 60°=(百米), 在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°, 由正弦定理=,得 BC=·sin∠CEB=×sin 45°=(百米). ∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45° =×+×=, 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB, 可得AB2=()2+()2-2××=2-, ∴AB=百米. 6.(13分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇. (1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少? (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇. 解 (1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里,則 S= == . 故當(dāng)t=時(shí),Smin=10(海里), 此時(shí)v==30(海里/時(shí)). 即小艇以30海里/時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最?。? (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°), 故v2=900-+,∵0<v≤30, ∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥. 又t=時(shí),v=30海里/時(shí). 故v=30海里/時(shí)時(shí),t取得最小值,且最小值等于. 此時(shí),在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設(shè)計(jì)航行方案如下: 航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30海里/時(shí),小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇. 特別提醒:教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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