高考數學人教A版（理）一輪復習：第十一篇 第5講 幾何概型
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第5講 幾何概型 A級 基礎演練(時間：30分鐘 滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．在1 L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10 mL，則含有麥銹病種子的概率是 ( )． A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001 解析 設事件A為“10 mL小麥種子中含有麥銹病種子”，由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝＝0.01，所以10 mL小麥種子中含有麥銹病種子的概率是0.01. 答案 C 2. (2013·哈爾濱二模)如圖的矩形長為5，寬為2，在矩形內隨機地撒300顆黃豆，數得落在陰影部分的黃豆數為138顆，由此我們可以估計出陰影部分的面積約為 ( )． A. B. C. D. 解析 由幾何概型的概率公式，得＝，所以陰影部分面積約為，故選C. 答案 C 3．(2011·福建)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點．若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于 ( )． A. B. C. D. 解析 S△ABE＝|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|. 故所求概率P＝＝. 答案 C 4．(2012·遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ( )． A. B. C. D. 解析 設出AC的長度，先利用矩形面積小于32 cm2求出AC長度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解．設AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面積小于32 cm2即為x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率為＝. 答案 C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·長沙模擬)在區(qū)間上隨機取一個數x，cos x的值介于0至之間的概率為________． 解析 根據題目條件，結合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P＝＝. 答案 6．(2011·江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 解析 設A＝{小波周末去看電影}，B＝{小波周末去打籃球}，C＝{小波周末在家看書}，D＝{小波周末不在家看書}，如圖所示，則P(D)＝1－＝. 答案 三、解答題(共25分) 7．(12分)如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機的取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率． 解 弦長不超過1，即|OQ|≥，而Q點在直徑AB上是隨機的，事件A＝{弦長超過1}．由幾何概型的概率公式得P(A)＝＝. ∴弦長不超過1的概率為1－P(A)＝1－. 8．(13分)已知關于x的一次函數y＝mx＋n. (1)設集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為m和n，求函數y＝mx＋n是增函數的概率； (2)實數m，n滿足條件 求函數y＝mx＋n的圖象經過一、二、三象限的概率． 解 (1)抽取的全部結果的基本事件有： (－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10個基本事件． 設使函數為增函數的事件為A，則A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6個基本事件，所以，P(A)＝＝. (2)m，n滿足條件的區(qū)域如圖所示，要使函數的圖象過一、二、三象限，則m＞0，n＞0，故使函數圖象過一、二、三象限的(m，n)的區(qū)域為第一象限的陰影部分， ∴所求事件的概率為P＝＝. B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1. 分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為 ( )． A. B. C. D. 解析 設正方形邊長為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內接正方形的面積，即為π－2，則陰影區(qū)域的面積為2π－4，所以所求概率為P＝＝. 答案 B 2．(2013·大連、沈陽聯考)若利用計算機在區(qū)間(0,1)上產生兩個不等的隨機數a和b，則方程x＝2－有不等實數根的概率為 ( )． A. B. C. D. 解析 方程x＝2－，即x2－2x＋2b＝0，原方程有不等實數根，則需滿足Δ＝(2)2－4×2b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標系內，(a，b)的所有可能結果是邊長為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x＝2－有不等實數根”的可能結果為圖中陰影部分(不包括邊界)．由幾何概型公式可得P(A)＝＝.故選B. 答案 B 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·武漢一模)有一個底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為________． 解析 確定點P到點O1，O2的距離小于等于1的點的集合為，以點O1，O2為球心，1為半徑的兩個半球，求得體積為V＝2××π×13＝π，圓柱的體積為V＝Sh＝3π，所以點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為V＝1－＝. 答案 4．(2012·煙臺二模)已知正三棱錐S－ABC的底邊長為4，高為3，在三棱錐內任取一點P，使得VP－ABC
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