高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第五篇 第3講 平面向量的數(shù)量積
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第3講 平面向量的數(shù)量積 A級 基礎演練(時間：30分鐘 滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，則實數(shù)m的值為 ( )． A．－ B. C．2 D．6 解析 由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6. 答案 D 2．(2013·東北三校聯(lián)考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是 ( )． A．－4 B．4 C．－2 D．2 解析 設a與b的夾角為θ，∵a·b為向量b的模與向量a在向量b方向上的投影的乘積，而cos θ＝＝－， ∴|a|cos θ＝6×＝－4. 答案 A 3．(2011·廣東)若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c·(a＋2b)＝ ( )． A．4 B．3 C．2 D．0 解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．(2012·天津)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，則λ等于 ( )． A. B. C. D. 解析 以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.] 答案 A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2012·北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________；·的最大值為________． 解析 以，為基向量，設＝λ(0≤λ≤1)，則＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值為1. 答案 1 1 6．(2012·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________． 解析 以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系xOy，則＝(，0)，＝(，1)， 設F(t,2)，則＝(t,2)． ∵·＝t＝，∴t＝1， 所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案 三、解答題(共25分) 7．(12分)設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝. (1)求a，b夾角的大小； (2)求|3a＋b|的值． 解 (1)設a與b夾角為θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝， 又θ∈[0，π]，∴a，b的夾角為. (2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a＋b|＝. 8．(13分)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； (2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值． 解 (1)由題設知＝(3,5)，＝(－1,1)，則 ＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的兩條對角線長分別為4，2. (2)由題設知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0， 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－. B級 能力突破(時間：30分鐘 滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·鄂州模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上取一點P，使·有最小值，則P點的坐標是 ( )． A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 解析 設P點坐標為(x,0)， 則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)． ·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1. 當x＝3時，·有最小值1. ∴此時點P坐標為(3,0)，故選C. 答案 C 2．(2012·廣東)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義αβ＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且ab和ba都在集合中，則ab＝ ( )． A. B．1 C. D. 解析 由定義αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，從而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因為θ∈，所以
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