指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù).doc
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指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù) 一、知識點 1.根式的性質 (1)當n為奇數(shù)時,有 (2)當n為偶數(shù)時,有 (3)負數(shù)沒有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零 2.冪的有關概念 (1)正整數(shù)指數(shù)冪: (2)零指數(shù)冪 (3)負整數(shù)指數(shù)冪 (4)正分數(shù)指數(shù)冪 (5)負分數(shù)指數(shù)冪 (6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義 3.有理指數(shù)冪的運算性質 (1) (2) (3) 4.指數(shù)函數(shù)定義:函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。 5. 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質 0 < a < 1 a > 1 圖 象 性 質 定義域 R 值域 (0 , +∞) 定點 過定點(0,1),即x = 0時,y = 1 (1)a > 1,當x > 0時,y > 1;當x < 0時,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,當x > 0時,0 < y < 1;當x < 0時,y > 1。 單調性 在R上是減函數(shù) 在R上是增函數(shù) 對稱性 和關于y軸對稱 二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律 (1) ① ② ③ ④ 則:0<b<a<1<d<c 又即:x∈(0,+∞)時, (底大冪大) x∈(-∞,0)時, (2)特殊函數(shù) 的圖像: 三、指數(shù)式大小比較方法 (1)單調性法:化為同底數(shù)指數(shù)式,利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較. (2)中間量法 (3)分類討論法 (4)比較法 比較法有作差比較與作商比較兩種,其原理分別為: ①若;;; ②當兩個式子均為正值的情況下,可用作商法,判斷,或即可. 四、典型例題 類型一、指數(shù)函數(shù)的概念 例1.函數(shù)是指數(shù)函數(shù),求的值. 【答案】2 【解析】由是指數(shù)函數(shù), 可得解得,所以. 舉一反三: 【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)? (1);(2);(3);(4); (5);(6). 【答案】(1)(5)(6) 【解析】(1)(5)(6)為指數(shù)函數(shù).其中(6)=,符合指數(shù)函數(shù)的定義,而(2)中底數(shù)不是常數(shù),而4不是變數(shù);(3)是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積;(4)中底數(shù),所以不是指數(shù)函數(shù). 類型二、函數(shù)的定義域、值域 例2.求下列函數(shù)的定義域、值域. (1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a為大于1的常數(shù)) 【答案】(1)R,(0,1);(2)R [); (3) ;(4)[1,a)∪(a,+∞) 【解析】(1)函數(shù)的定義域為R (∵對一切xR,3x≠-1). ∵ ,又∵ 3x>0, 1+3x>1, ∴ , ∴ , ∴ , ∴值域為(0,1). (2)定義域為R,,∵ 2x>0, ∴ 即 x=-1時,y取最小值,同時y可以取一切大于的實數(shù),∴ 值域為[). (3)要使函數(shù)有意義可得到不等式,即,又函數(shù)是增函數(shù),所以,即,即,值域是. (4)∵ ∴ 定義域為(-∞,-1)∪[1,+∞), 又∵ ,∴ , ∴值域為[1,a)∪(a,+∞). 【總結升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調性;第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件,第(4)小題中不能遺漏. 舉一反三: 【變式1】求下列函數(shù)的定義域: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R;(2);(3);(4)a>1時,;01時,;01時,外層函數(shù)y=au在上為增函數(shù),內函數(shù)u=x2-2x在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),故函數(shù)上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù); 當01, x1- 配套講稿:
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