高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何基本定理.doc

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（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)） 1． 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．　(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍． 2． 射影定理（歐幾里得定理） 3． 中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有； 中線長：． 4． 垂線定理：． 高線長：． 5． 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例． 如△ABC中，AD平分∠BAC，則；（外角平分線定理）． 角平分線長：（其中為周長一半）． 6． 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）． 7． 余弦定理：． 8． 張角定理：． 9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD 10． 圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角． 12． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長線必平分對(duì)邊． 14． 點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB= |d2－r2|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)． 15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立) ．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD． 16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM． 17． 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)． 18． 拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理． 以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心． 19． 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中點(diǎn)，從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與內(nèi)心連線的中點(diǎn); （3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕． 20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 21． 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和． 23． 重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分； 重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則； （2）設(shè)G為△ABC的重心，則； （3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則； （4）設(shè)G為△ABC的重心，則 ①； ②； ③（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）； ④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最?。? ⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）． 24． 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)； 垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍； （2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上； （3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓； （4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則． 25． 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然； （2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則； （3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心； （4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點(diǎn)K，則； （5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則①；②；③． 26． 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等； 外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等； （2）設(shè)O為△ABC的外心，則或； （3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和． 27． 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為． 旁心性質(zhì)：（1）（對(duì)于頂角B，C也有類似的式子）； （2）； （3）設(shè)的連線交△ABC的外接圓于D，則（對(duì)于有同樣的結(jié)論）； （4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑等于△ABC的直徑為2R． 28． 三角形面積公式： ，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，． 29． 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系： 30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 ．（逆定理也成立） 31． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線． 32． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線． 33． 塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是··=1． 34． 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點(diǎn)M． 35． 塞瓦定理的逆定理：（略） 36． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于一點(diǎn)． 37． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)．　 38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略） 40． 關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上． 41． 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)． 42． 史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心． 43． 史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線． 44． 牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線．這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線． 45． 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線． 46． 笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線． 47． 笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線． 48． 波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) ． 49． 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)． 50． 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)． 51． 波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)． 52． 波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)． 53． 卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 54． 奧倍爾定理：通過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 55． 清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 56． 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)） 57． 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上． 58． 從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心． 59． 一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)． 60． 康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)． 61． 康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線． 62． 康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)．這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)． 63． 康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線． 64． 費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切． 65． 莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形．這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形． 66． 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點(diǎn)共線． 68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上．這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓． 69． 庫立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓． 70． 密格爾（Miquel）點(diǎn)： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)． 71． 葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)． 72． 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過M向三邊作垂線，三個(gè)垂足形成的三角形的面積，其公式： ． 斯特瓦爾特定理 　　斯特瓦爾特(stewart)定理 　　設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有 　　AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD。 　　證明：在圖2－6中，作AH⊥BC于H。為了明確起見，設(shè)H和C在點(diǎn)D的同側(cè)，那么由廣勾股定理有 　　AC^2=AD^2＋DC^2-2DC·DH，（1） 　　AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 （2） 　　用BD乘(1)式兩邊得 　　AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，（1）′ 　　用DC乘(2)式兩邊得 　　AB^2·DC=AD^2·DC＋BD^2·DC＋2BD·DH·DC。（2）′ 　　由（1）′+（2）′得到 　　AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD＋DC)+DC^2·BD＋BD^2·DC 　　=AD^2·BC+BD·DC·BC。 　　∴AB^2·DC＋AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。 　　或者根據(jù)余弦定理得 　　AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos角APC 　　AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos角APC 　　兩邊同時(shí)除以PB·PA·PC得 　　AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB 　　化簡即可（注：圖中2-7A點(diǎn)為P點(diǎn)，BDC點(diǎn)依次為ABC) 托勒密定理 一些圓定理.doc 定理圖 定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)． 　　 定理的提出 　　一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。 證明 　　一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 　　在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 　　因?yàn)椤鰽BE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 　　而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 　　所以△ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因?yàn)锽E+ED≥BD 　?。▋H在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 　　所以命題得證 　　復(fù)數(shù)證明 　　用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 　　二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 　　三、 　　托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 　　證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 　　 推論 　　1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。 　　2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣 　　托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 　　簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 　　注意： 　　1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 　　2.四點(diǎn)不限于同一平面。 　　歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD·BC+AB·CD=AC·BD 塞瓦定理 簡介 　　 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。 具體內(nèi)容 　　塞瓦定理 　　在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O， 　　直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 　　證法簡介 　?。á瘢┍绢}可利用梅涅勞斯定理證明： 　　∵△ADC被直線BOE所截， 　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 　　而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② 　?、凇垄?即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 　?。á颍┮部梢岳妹娣e關(guān)系證明 　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ 　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 　　利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 　　設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 　　根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 　　可用塞瓦定理證明的其他定理; 　　三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 　　且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn) 　　此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理： 　　在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=-1） 塞瓦定理推論 　　1.設(shè)E是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 　　因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 　　所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 　　2.塞瓦定理角元形式 　　AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： 　　(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 　　由正弦定理及三角形面積公式易證 　　3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： 　　(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。 　　4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn) 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明 梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 　　 證明一： 　　過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G, 　　則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 　　三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 證明二： 　　過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 　　所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 　　它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 　　 梅涅勞斯(Menelaus)定理 證明三： 　　過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'， 　　所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 　　所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 證明四： 　　連接BF。 　?。ˋD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) 　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） 　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） 　　=1 　　此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶： 　　在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1?！? 　　第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則 　　(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 　　即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 　　該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 　　第二角元形式的梅涅勞斯定理 　　在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合) 記憶 　　ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn) 　　(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 　?。?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 　　空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 　　 實(shí)際應(yīng)用 　　為了說明問題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 　　我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。 　　例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 　　另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 　　從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 　　方案 ① ——從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 　　按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式： 　?。ˋF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 　　現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 　　從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 　　方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： 　　（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式： 　?。ˋC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案： 　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式： 　?。ˋE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 　　我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 　　值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。 　　不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。 　　還可以從逆時(shí)針來看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 　　現(xiàn)在是否可以說，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。 西姆松定理 西姆松定理圖示 西姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 　　 西姆松定理說明 　　相關(guān)的結(jié)果有： 　　（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 　?。?）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 　?。?）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 　?。?）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明 　　證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 　　易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角） 且∠PDE=∠PCE 　?、?而∠ACP+∠PCE=180° 　?、?∴∠FDP+∠PDE=180° 　　④ 即F、D、E共線. 反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓. 　　證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有 　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 　　故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。 　　若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有 　　∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 　　故L、M、N三點(diǎn)共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明 　　連AH延長線交圓于G, 　　連PG交西姆松線與R,BC于Q 　　如圖連其他相關(guān)線段 　　AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2 　　A.G.C.P共圓==>∠2=∠3 　　PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圓==>∠3=∠4 　　==>∠1=∠4 　　PF⊥BC 　　==>PR=RQ 　　BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6 　　A.B.G.C共圓==>∠6=∠7 　　==>∠5=∠7 　　AG⊥BC==>BC垂直平分GH 　　==>∠8=∠2=∠4 　　∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 　　==>HQ//DF 　　==>PM=MH 　　第二個(gè)問，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。 　　則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。 　　那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直線上，并且 　　HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。 　　三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2 　　所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的"反"位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是"正"位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊)... 　　所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上.... 圓冪定理 圓冪定理 圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 　　 定義 　　圓冪=PO^2-R^2| 　　所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 　　相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 　　切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 　　割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。 　　統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。 進(jìn)一步升華（推論） 　　過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 　　若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 　　故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PA·PB等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來） 證明 　　圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1 　　相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。 　　證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。 　　∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD 問題2 　　割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA^2=PC·PD 　　證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 　　切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 　　幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線 　　∴PT^2=PA·PB（切割線定理） 　　推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 　　幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線 　　∴PD·PC=PA·PB（切割線定理推論） 問題3 　　過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PA·PB為定值（圓冪定理）。 　　證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 　　(x-xO)^2+(y-yO)^2=a① 　　過P的直線為 　　x=k1t 　　y=k2t 　　則A、B的橫坐標(biāo)是方程 　　(k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2 　　即 　　(k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 　　的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理 　　t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2) 　　于是 　　PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) 　　=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| 　　=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)| 　　=|(xO^2+yO^2-r^2)| 　　為定值，證畢。 　　圓①也可以寫成 　　x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′ 　　其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 　　這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 　　在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。 　　如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP^2-r^2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 　　② 　?、? 　　是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離． 　　將②③代入①得 　　即 　　， 是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 　?、? 　　是定值 　?、苁?關(guān)于①的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是 ）．它也可以寫成 　　④′ 　　即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方． 　　當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長的平方。 　　以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用． 問題4 　　自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖８．求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 　　證：設(shè)圓的方程為 　?、? 　　點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 　　⑥ 　?、? 　　其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離． 　　⑥⑦代入⑤得 　　即 　　、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 　?、? 　　另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 　　⑦⑧代入得 　　因此，這個(gè)方程的根 滿足 　?、? 　　綜合⑧⑨，結(jié)論成立。 　　可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 　　說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。 四點(diǎn)共圓 四點(diǎn)共圓-圖釋 如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)： （1）同弧所對(duì)的圓周角相等 （2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。 四點(diǎn)共圓 證明四點(diǎn)共圓的基本方法 　　證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法： 方法1 　　從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2 　　把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。） 方法3 　　把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法4 　　把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理) 方法5 　　證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓． 　　上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 　　判定與性質(zhì)： 　　圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 　　如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π， 　　角DBC=角DAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）。 　　角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角） 　　△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等） 　　AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 　　 四點(diǎn)共圓的圖片 EB*EA=EC*ED（割線定理） 　　EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理） 　?。ㄇ懈罹€定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理） 　　AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 證明四點(diǎn)共圓的原理 　　四點(diǎn)共圓 　　證明四點(diǎn)共圓基本方法： 方法1 　　把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． 方法2 　　把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 　　四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。 四點(diǎn)共圓的定理： 四點(diǎn)共圓的判定定理： 　　方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓． 　?。梢哉f成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓） 　　方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓． 　　（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。那么這四點(diǎn)共圓） 反證法證明 　　現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫個(gè)證明圖如后） 　　已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π 　　求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓） 　　證明：用反證法 　　過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)， 　　若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π， 　　∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C 　　這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。 　　∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。