馬鞍山市和縣2015-2016學(xué)年八年級上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年安徽省馬鞍山市和縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分） 1．下列圖形中是軸對稱圖形的是( ) A． B． C． D． 2．如圖，在△ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，則∠CFE的度數(shù)為( ) A．62° B．68° C．78° D．90° 3．在下列條件中：①∠A=∠C﹣∠B，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°﹣∠B，④∠B﹣∠C=90°中，能確定△ABC是直角三角形的條件有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 4．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個(gè) （1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 5．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=45°，則∠ABC的度數(shù)為( ) A．75° B．80° C．70° D．85° 6．下列計(jì)算正確的是( ) A．（x3）3=x6 B．a(chǎn)6?a4=a24 C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 D．3a+2a=5a2 7．如圖，陰影部分的面積是( ) A．xy B．xy C．4xy D．2xy 8．下列分式是最簡分式的是( ) A． B． C． D． 9．某廠接受為四川災(zāi)區(qū)生產(chǎn)活動板房的任務(wù)，計(jì)劃在30天內(nèi)完成，若每天多生產(chǎn)6套，則25天完成且還多生產(chǎn)10套，問原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少套板房？設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x套，列方程式是( ) A． B． C． D． 10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論不正確的是( ) A．∠BAD=45° B．△ABD≌△ACD C．AD=BC D．AD=AB 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 11．計(jì)算：=__________． 12．若分式的值為0，則a=__________． 13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=18°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是__________． 14．如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有__________． 三、解答題（共3小題，滿分24分） 15．先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=3，y=1． 16．（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） （2）化簡：÷（2+） 17．解關(guān)于的方程：． 四、解答題（共2小題，滿分20分） 18．列方程解應(yīng)用題 為了迎接春運(yùn)高峰，鐵路部門日前開始調(diào)整列車運(yùn)行圖，2015年春運(yùn)將迎來“高鐵時(shí)代”．甲、乙兩個(gè)城市的火車站相距1280千米，加開高鐵后，從甲站到乙站的運(yùn)行時(shí)間縮短了11小時(shí)，大大方便了人們出行．已知高鐵行使速度是原來火車速度的3.2倍，求高鐵的行駛速度． 19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）請?jiān)诰€段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在（1）的條件下，若AC=6，BC=8，請求出CD的長度． 五、作圖解答題（共1小題，滿分10分） 20．在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標(biāo)系，已知格點(diǎn)三角形ABC（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形上） （1）畫出△ABC關(guān)于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)． （2）在直線x=﹣l上找一點(diǎn)D，使BD+CD最小，滿足條件的D點(diǎn)為__________． 提示：直線x=﹣l是過點(diǎn)（﹣1，0）且垂直于x軸的直線． 六、證明題（共1小題，滿分12分） 21．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)． （1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 七、（共1小題，滿分10分） 22．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程． 解：設(shè)x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的__________． A、提取公因式B．平方差公式 C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底__________．（填“徹底”或“不徹底”） 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果__________． （3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進(jìn)行因式分解． 八、（共1小題，滿分14分） 23．（14分）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s， （1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)； （2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？ （3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．  2015-2016學(xué)年安徽省馬鞍山市和縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分） 1．下列圖形中是軸對稱圖形的是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故錯(cuò)誤； B、不是軸對稱圖形，故錯(cuò)誤； C、是軸對稱圖形，故正確； D、不是軸對稱圖形，故錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 2．如圖，在△ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，則∠CFE的度數(shù)為( ) A．62° B．68° C．78° D．90° 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BDF=∠A+∠ACD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFD，然后根據(jù)對頂角相等解答． 【解答】解：∵∠A=70°，∠ACD=20°， ∴∠BDF=∠A+∠ACD=70°+20°=90°， 在△BDF中，∠BFD=180°﹣∠BDF﹣∠ABE=180°﹣90°﹣28°=62°， ∴∠CFE=∠BFD=62°． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 3．在下列條件中：①∠A=∠C﹣∠B，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°﹣∠B，④∠B﹣∠C=90°中，能確定△ABC是直角三角形的條件有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案 【解答】解：①因?yàn)椤螦+∠B=∠C，則2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形； ②因?yàn)椤螦：∠B：∠C=2：3：5，設(shè)∠A=2x，則2x+3x+5x=180，x=18°，∠C=18°×5=90°，所以△ABC是直角三角形； ③因?yàn)椤螦=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，則∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形； ④因?yàn)椤螧﹣∠C=90°，則∠B=90°+∠C，所以三角形為鈍角三角形． 所以能確定△ABC是直角三角形的有①②③． 故選：C． 【點(diǎn)評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°；理解三角形內(nèi)若有一個(gè)內(nèi)角為90°，則△ABC是直角三角形． 4．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個(gè) （1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】在等腰三角形中，頂角的平分線即底邊上的中線，垂線．利用三線合一的性質(zhì)，進(jìn)而可求解，得出結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，∵AB=AC，BE=CF， ∴AE=AF． 又∵AD是角平分線， ∴∠1=∠2， ∴在△AED和△AFD中，， ∴△AED≌△AFD（SAS）， ∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正確； ∵如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線， ∴△ABD≌△ACD． 又由（1）知，△AED≌△AFD， ∴△EBD≌△FCD．故（2）正確； （3）由（1）知，△AED≌△AFD．故（3）正確； （4）∵如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線， ∴AD⊥BC，即AD垂直BC． 故（4）正確． 綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形的性質(zhì)，理解等腰三角形中線，角平分線，垂線等線段之間的區(qū)別與聯(lián)系，會求一些簡單的全等三角形．做題時(shí)，要結(jié)合已知條件與全等的判定方法對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證． 5．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=45°，則∠ABC的度數(shù)為( ) A．75° B．80° C．70° D．85° 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】首先利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出各角度數(shù)，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出即可． 【解答】解：∵AB=AC，以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABE和△ACD， ∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°， ∵∠EDC=45° ∴∠1=∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°， ∴2∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣60°﹣60°=150°， ∴∠ABC的度數(shù)為75°． 故選：A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出∠1=∠2=45°是解題關(guān)鍵． 6．下列計(jì)算正確的是( ) A．（x3）3=x6 B．a(chǎn)6?a4=a24 C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 D．3a+2a=5a2 【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；單項(xiàng)式的除法，合并同類項(xiàng)法則對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：A、（x3）3=x3×3=x9，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、a6?a4=a6+4=a10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2，故本選項(xiàng)正確； D、3a+2a=5a，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的性質(zhì)，合并同類項(xiàng)法則，熟記各性質(zhì)并理清指數(shù)的變化情況是解題的關(guān)鍵． 7．如圖，陰影部分的面積是( ) A．xy B．xy C．4xy D．2xy 【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】如果延長AF、CD，設(shè)它們交于點(diǎn)G．那么陰影部分的面積可以表示為大長方形ABCG的面積減去小長方形DEFG的面積．大長方形的面積為2x×2y，小長方形的面積為0.5x（2y﹣y），然后利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算． 【解答】解：陰影部分面積為： 2x×2y﹣0.5x（2y﹣y）， =4xy﹣xy， =xy． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了單項(xiàng)式的乘法，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，是整式在生活的應(yīng)用，用代數(shù)式表示出陰影部分的面積是求解的關(guān)鍵． 8．下列分式是最簡分式的是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】最簡分式． 【分析】要判斷分式是否是最簡分式，只需判斷它能否化簡，不能化簡的即為最簡分式． 【解答】解：A、=﹣1； B、=； C、分子、分母中不含公因式，不能化簡，故為最簡分式； D、=． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查最簡分式，是簡單的基礎(chǔ)題． 9．某廠接受為四川災(zāi)區(qū)生產(chǎn)活動板房的任務(wù)，計(jì)劃在30天內(nèi)完成，若每天多生產(chǎn)6套，則25天完成且還多生產(chǎn)10套，問原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少套板房？設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x套，列方程式是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程． 【分析】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x套，先求出實(shí)際25天完成的套數(shù)，再求出實(shí)際的工作效率=，最后依據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率解答． 【解答】解：由分析可得列方程式是：=25． 故選B． 【點(diǎn)評】此題主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，解答時(shí)要注意從問題出發(fā)，找出已知條件與所求問題之間的關(guān)系，再已知條件回到問題即可解決問題． 10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論不正確的是( ) A．∠BAD=45° B．△ABD≌△ACD C．AD=BC D．AD=AB 【考點(diǎn)】等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD平分∠BAC，從而判斷A正確； 根據(jù)SAS得出△ABD≌△ACD，從而判斷B正確； 由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可判斷C正確； 根據(jù)已知條件不能判斷D正確． 【解答】解：∵RT△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，AD=BC 故A、C兩項(xiàng)正確； 在△ABD與△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS），故B正確； 當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，AD=AB，故D錯(cuò)誤． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生的推理能力．其中靈活運(yùn)用所給的已知條件，從而對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證進(jìn)而確定答案是解題的關(guān)鍵． 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 11．計(jì)算：=﹣a3b6． 【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方． 【專題】計(jì)算題． 【分析】利用積的乘方以及冪的乘方法則即可求解． 【解答】解；原式=﹣a3b6． 故答案是：﹣a3b6． 【點(diǎn)評】本題考查了積的乘方，冪的乘方，理清指數(shù)的變化是解題的關(guān)鍵． 12．若分式的值為0，則a=﹣2． 【考點(diǎn)】分式的值為零的條件． 【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題． 【解答】解：由分式的值為0，得 |a|﹣2=0且a2+a﹣6≠0， 解得a=﹣2， 故答案為：﹣2． 【點(diǎn)評】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少． 13．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=18°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)是48°． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】設(shè)∠A的度數(shù)為x°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC和∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，求出∠DBA，根據(jù)題意列出方程，解方程即可． 【解答】解：設(shè)∠A的度數(shù)為x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=90°﹣x°， ∵M(jìn)N是AB的垂直平分線， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=x°， 則90°﹣x°﹣x°=18°， 解得，x=48， 故答案為：48°． 【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵． 14．如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有①③④． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】連接DC，證△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再證△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°；其它兩個(gè)條件運(yùn)用假設(shè)成立推出答案即可． 【解答】證明：連接DC， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC，∠ACB=60， ∵DB=DA，DC=DC， 在△ACD與△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD （SSS）， ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°， ∵BE=AB， ∴BE=BC， ∵∠DBE=∠DBC，BD=BD， 在△BED與△BCD中， ， ∴△BED≌△BCD （SAS）， ∴∠BED=∠BCD=30°． 由此得出①③正確． ∵EC∥AD， ∴∠DAC=∠ECA， ∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC， ∴設(shè)∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1， ∵BE=BA， ∴BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1， 在△BCE中三角和為180°， ∴2∠1+2（60°+∠1）=180° ∴∠1=15°， ∴∠CBE=30，這時(shí)BE是AC邊上的中垂線，結(jié)論②才正確． BE邊上的高位BC=1， ∴S△EBC=1，結(jié)論④是正確的． 故答案為：①③④ 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等． 三、解答題（共3小題，滿分24分） 15．先化簡，再求值：[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=3，y=1． 【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值． 【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式對括號內(nèi)的式子進(jìn)行化簡，然后進(jìn)行整式的除法計(jì)算即可化簡，然后代入求值． 【解答】解：原式=（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷2x =（2x2﹣2xy）÷2x =x﹣y， 則當(dāng)x=3，y=1時(shí)，原式=3﹣1=2． 【點(diǎn)評】本題主要考查平方差公式的利用，熟記公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 16．（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） （2）化簡：÷（2+） 【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算；提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】（1）利用提公因式法和公式法分解因式即可； （2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算的法制和順序化簡即可． 【解答】解： （1）原式=（9a2﹣4b2）（x﹣y）， =（3a+2b）（3a﹣2b）（x﹣y）； （2）原式=， =． 【點(diǎn)評】（1）本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是熟記因式分解的各種方法． （2）本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的． 17．解關(guān)于的方程：． 【考點(diǎn)】解分式方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】觀察可得最簡公分母是（x+3）（x﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． 【解答】解：方程的兩邊同乘（x+3）（x﹣1），得 x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3）， 整理，得5x+3=0， 解得x=﹣． 檢驗(yàn)：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0． ∴原方程的解為：x=﹣． 【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根． 四、解答題（共2小題，滿分20分） 18．列方程解應(yīng)用題 為了迎接春運(yùn)高峰，鐵路部門日前開始調(diào)整列車運(yùn)行圖，2015年春運(yùn)將迎來“高鐵時(shí)代”．甲、乙兩個(gè)城市的火車站相距1280千米，加開高鐵后，從甲站到乙站的運(yùn)行時(shí)間縮短了11小時(shí)，大大方便了人們出行．已知高鐵行使速度是原來火車速度的3.2倍，求高鐵的行駛速度． 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意，設(shè)原來火車的速度是x千米/時(shí)，進(jìn)而利用從甲站到乙站的運(yùn)行時(shí)間縮短了11小時(shí)，得出等式求出即可． 【解答】解：設(shè)原來火車的速度是x千米/時(shí)，根據(jù)題意得： ﹣=11， 解得：x=80， 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根且符合題意． 故80×3.2=256（km/h）． 答：高鐵的行駛速度是256km/h． 【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）請?jiān)诰€段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在（1）的條件下，若AC=6，BC=8，請求出CD的長度． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；作圖—基本作圖． 【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等知作出∠A的平分線即可； （2）設(shè)CD的長為x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有關(guān)x的方程，解之即可． 【解答】解：（1）如圖所示：所以點(diǎn)D為所求； （2）過點(diǎn)D做DE⊥AB于E，設(shè)DC=x，則BD=8﹣x ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8 ∴由勾股定理得AB==10… ∵點(diǎn)D到邊AC、AB的距離相等 ∴AD是∠BAC的平分線 又∵∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=DC=x， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=6， ∴BE=4， Rt△DEB中，∠DEB=90°， ∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2， 即x2+42=（8﹣x）2， 解得x=3． 答：CD的長度為3． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過本題使同學(xué)們明白勾股定理不但可以在直角三角形中求線段的長，而且可以根據(jù)其列出等量關(guān)系． 五、作圖解答題（共1小題，滿分10分） 20．在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標(biāo)系，已知格點(diǎn)三角形ABC（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形上） （1）畫出△ABC關(guān)于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)． （2）在直線x=﹣l上找一點(diǎn)D，使BD+CD最小，滿足條件的D點(diǎn)為（﹣1，1）． 提示：直線x=﹣l是過點(diǎn)（﹣1，0）且垂直于x軸的直線． 【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換；軸對稱-最短路線問題． 【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l：x=﹣1的對稱的點(diǎn)，然后順次連接，并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)； （2）作出點(diǎn)B關(guān)于x=﹣1對稱的點(diǎn)B1，連接CB1，與x=﹣1的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，此時(shí)BD+CD最小，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）所作圖形如圖所示： A1（3，1），B1（0，0），C1（1，3）； （2）作出點(diǎn)B關(guān)于x=﹣1對稱的點(diǎn)B1， 連接CB1，與x=﹣1的交點(diǎn)即為點(diǎn)D， 此時(shí)BD+CD最小， 點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，1）． 故答案為：（﹣1，1）． 【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)軸對稱變換作圖，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出對應(yīng)點(diǎn)的位置，并順次連接． 六、證明題（共1小題，滿分12分） 21．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)． （1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1），求證：AE=CG； （2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）首先根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG， （2）根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進(jìn)而證明出BE=CM． 【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC， ∠ACB=90°， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CAD=∠CBD=45°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵BF⊥CE， ∴∠CBG+∠BCF=90°， 又∵∠ACE+∠BCF=90°， ∴∠ACE=∠CBG， 在△AEC和△CGB中， ∴△AEC≌△CGB（ASA）， ∴AE=CG， （2）解：BE=CM． 證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED， ∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°， ∴∠CMA=∠BEC， 又∵∠ACM=∠CBE=45°， 在△BCE和△CAM中，， ∴△BCE≌△CAM（AAS）， ∴BE=CM． 【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難度適中． 七、（共1小題，滿分10分） 22．下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過程． 解：設(shè)x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的C． A、提取公因式B．平方差公式 C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底不徹底．（填“徹底”或“不徹底”） 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果（x﹣2）4． （3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進(jìn)行因式分解． 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【專題】閱讀型． 【分析】（1）完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)積的兩倍的和或差； （2）x2﹣4x+4還可以分解，所以是不徹底． （3）按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可． 【解答】解：（1）運(yùn)用了C，兩數(shù)和的完全平方公式； （2）x2﹣4x+4還可以分解，分解不徹底； （3）設(shè)x2﹣2x=y． （x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1， =y（y+2）+1， =y2+2y+1， =（y+1）2， =（x2﹣2x+1）2， =（x﹣1）4． 【點(diǎn)評】本題考查了運(yùn)用公式法分解因式和學(xué)生的模仿理解能力，按照提供的方法和樣式解答即可，難度中等． 八、（共1小題，滿分14分） 23．（14分）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s， （1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)； （2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？ （3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)． 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)． 【專題】動點(diǎn)型． 【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)． （2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t．分別就①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值． （3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC．再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)． 【解答】解：（1）∠CMQ=60°不變． ∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60° 又由條件得AP=BQ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°． （2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t ①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=； ②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)， ∵∠B=60°， ∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=； ∴當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形． （3）∠CMQ=120°不變． ∵在等邊三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60° ∴∠PBC=∠ACQ=120°， 又由條件得BP=CQ， ∴△PBC≌△QCA（SAS） ∴∠BPC=∠MQC 又∵∠PCB=∠MCQ， ∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120° 【點(diǎn)評】此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目．本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神．