偏微分方程數(shù)值解.ppt
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第五章 偏微分方程數(shù)值解 Numerical Methods for Partial Differential Equations,5.1 偏微分方程簡(jiǎn)介 5.2 離散化公式 5.3 幾種常見(jiàn)偏微分方程的離散化計(jì)算 5.4吸附床傳熱傳質(zhì)模型中偏微分方程求解,本章要求,教學(xué)目的 講解: 偏微分方程離散格式及求解的一般過(guò)程 教學(xué)要求 熟記 一階及二階偏微分方程的離散格式; 精通 用EXCEL迭代對(duì)偏微分方程求解; 探索 用兩數(shù)組交替更新的辦法進(jìn)行編程求解; 延伸 對(duì)化學(xué)反應(yīng)工程中物理場(chǎng)的模擬進(jìn)行嘗試。 教學(xué)重點(diǎn) 各種偏微分方程的離散與求解 EXCEL 循環(huán)迭代問(wèn)題 教學(xué)難點(diǎn) 特殊邊界條件的引入與應(yīng)用,5. 1 偏微分方程簡(jiǎn)介,偏微分方程 如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān),而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù),那么這種微分方程就是偏微分方程。 在化工或化學(xué)動(dòng)態(tài)模擬方程中,常常有一個(gè)自變量是時(shí)間,其它的自變量為空間位置。如果只考慮一維空間,則只有兩個(gè)自變量;如果考慮兩維空間,則有3個(gè)自變量。 許多化工過(guò)程均是通過(guò)對(duì)偏微分方程的求解進(jìn)行工藝參數(shù)的確定或數(shù)值模擬。,5.1 偏微分方程簡(jiǎn)介,偏微分方程的分類,?線性微分方程 Linear partial differencial equation ?擬線性微分方程 Quasilinear partial differencial equation ?非線性微分方程 Nonlinear partial differencial equation,5.1 偏微分方程簡(jiǎn)介,數(shù)學(xué)上的分類: 橢圓方程 Elliptic 拋物線方程 Parabolic 雙曲線方程 Hyperbolic 物理實(shí)際問(wèn)題的歸類: 波動(dòng)方程(雙曲型)一維弦振動(dòng)模型: 熱傳導(dǎo)方程(拋物線型)一維線性熱傳導(dǎo)方程 拉普拉斯方程(橢圓型)穩(wěn)態(tài)靜電場(chǎng)或穩(wěn)態(tài)溫度分布場(chǎng)),5.1 微分方程的求解思路,求微分方程數(shù)值解的一般步驟: Step1區(qū)域剖分:首先按一定規(guī)則將整個(gè)定義域分成若干小塊 Step2微分方程離散:構(gòu)造離散點(diǎn)或片的函數(shù)值遞推公式或方程 Step3初始、邊界條件離散:根據(jù)遞推公式,將初值或邊界值離散化,補(bǔ)充方程,啟動(dòng)遞推運(yùn)算 Step4 數(shù)值解計(jì)算:求解離散系統(tǒng)問(wèn)題 微分方程的定解問(wèn)題 離散系統(tǒng)的求解問(wèn)題,,5.2 離散化公式,將自變量在時(shí)間和空間上以一定的間隔進(jìn)行離散化,則應(yīng)變量就變成了這些離散變量的函數(shù)。 一階偏導(dǎo)的離散化公式 一般采用歐拉公式表示 有時(shí)為了保證系統(tǒng)和穩(wěn)定性, 對(duì)時(shí)間的差分往往采用向后公式,,5.2 離散化公式,對(duì)于二階偏導(dǎo),我們可以通過(guò)對(duì)泰勒展開(kāi)式處理技術(shù)得到下面離散化計(jì)算公式:,5.2 離散化公式推導(dǎo),將uk+1在uk處按二階泰勒式展開(kāi): 將uk-1在uk處按二階泰勒式展開(kāi): 二式相加得:,5.3幾種常見(jiàn)偏微分方程的離散化計(jì)算,1、 波動(dòng)方程 其中: 為初值條件 為邊值條件 當(dāng)該波動(dòng)方程只提供初值條件時(shí),稱此方程為波動(dòng)方程的初值問(wèn)題,二者均提供時(shí)稱為波動(dòng)方程的混合問(wèn)題。,5.3.1 波動(dòng)方程求解,對(duì)于初值問(wèn)題,是已知t=0時(shí),u與 依賴于x的函數(shù)形式,求解不同位置,不同時(shí)刻的u值。而 u是定義在 的二元函數(shù),即上半平面的函數(shù)。 對(duì)于混合問(wèn)題除初值外,還有邊值。是已知初值及x=0及x=l 時(shí)u依賴于t的函數(shù),求解不同位置x,不同時(shí)刻的u值。此時(shí)u是定義在 的帶形區(qū)域上的二元函數(shù)。,5.3.1 波動(dòng)方程求解,方程離散化,整理可得:,邊界條件 初始條件 離散化,,,,5.3.1 波動(dòng)方程求解,例5.1: 用數(shù)值法求解下面偏微分方程。,此微分方程,是在不考慮流體本身熱傳導(dǎo)時(shí)的套管傳熱微分方程.由計(jì)算結(jié)果可知,當(dāng)計(jì)算的時(shí)間序列進(jìn)行到72時(shí),傳熱過(guò)程已達(dá)到穩(wěn)態(tài),各點(diǎn)上的溫度已不隨時(shí)間的增加而改變。如果改變套管長(zhǎng)度或傳熱系數(shù),則達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間亦會(huì)改變。,,,EXCEL,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,與波動(dòng)方程的情形類似,用差商近似代替偏商,可以得到一維流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題的差分方程,以其解作為流動(dòng)傳熱傳導(dǎo)方程的近似解。,2、一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題,離 散 化,,將上式進(jìn)行處理得到: 該式是顯式格式。只要保證式中各項(xiàng)系數(shù)大于零,一般情況下是穩(wěn)定的,可以獲得穩(wěn)定的解。 分析上式可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)為了提高數(shù)值精度取適當(dāng)小的Δx 時(shí),最有可能小于零的系數(shù)是 uin的系數(shù),若要保證此項(xiàng)系數(shù)大于零,此時(shí)Δt必須相應(yīng)地更小,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量將大大增加,這是顯式格式的缺點(diǎn),為了克服此缺點(diǎn),下面提出一種隱式格式: 偏微分方程在 點(diǎn)上進(jìn)行離散化,且對(duì)時(shí)間的偏微分采用向后歐拉公式得到原偏微分方程的離散化公式:,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,從圖5-3中可見(jiàn)要由初值及邊界條件一排一排推上去是不行的,需解線性方程組,同時(shí)添上二邊界條件: 正好共有m+2個(gè)方程,同時(shí)有m+2個(gè)變量,就能解出n+1排上各點(diǎn)值。這樣,每解一個(gè)線性方程組,就可以往上推算一排點(diǎn)的u值,雖然引入了方程組的求解,有可能增加計(jì)算量,但由于隱式格式無(wú)條件穩(wěn)定,Δt的取法與Δx 無(wú)關(guān),可以少計(jì)算許多排節(jié)點(diǎn)上的u 值,相應(yīng)于顯式格式來(lái)說(shuō),最終反而節(jié)省了計(jì)算量。,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,例5.2 考慮縱向?qū)岬奶坠軗Q熱器內(nèi)管各點(diǎn)溫度分布微分方程: 解:首先根據(jù)前面的知識(shí),將所求 的方程離散化: 代入微分方程并化簡(jiǎn)得: 分析上式可知,如果知道了某一時(shí)刻的各點(diǎn)t,(j=0,1,2….10,11),就可以求下一時(shí)刻的各點(diǎn)溫度值t(j=1,2….10),現(xiàn)在已經(jīng)知道了零時(shí)刻管內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布及入口處在任何時(shí)刻的溫度,如想求下一時(shí)刻的溫度值,根據(jù)上面的離散化計(jì)算公式,還需知道在j=11處的溫度,這個(gè)溫度可利用給定的邊界條件離散化求得: 有了以上各式,上面的微分方程就可以求解了。,5.3.2 一維流動(dòng)熱傳導(dǎo)方程,EXCEL,,5.3.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程,3、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程 在化工導(dǎo)熱及擴(kuò)散過(guò)程中,沒(méi)有物流的流動(dòng),僅靠導(dǎo)熱及擴(kuò)散進(jìn)行熱量及質(zhì)量的傳遞。如果此時(shí)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),也就是說(shuō)系統(tǒng)中每一個(gè)控制單元的各項(xiàng)性質(zhì)如溫度、濃度等不再隨時(shí)間的改變而改變,系統(tǒng)中的各種性質(zhì)只與其所處的位置有關(guān),利用化工知識(shí),我們可以得到下面二維、三維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分方程: 二維: 三維: 二維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱或擴(kuò)散偏微分 方程又稱調(diào)和方程。,常見(jiàn)有三種邊界條件: 第一類邊界條件: 第二類邊界條件: 第三類邊界條件:,離散化公式: 取 ,經(jīng)化簡(jiǎn)得: 外節(jié)點(diǎn)(邊界節(jié)點(diǎn))和內(nèi)節(jié)點(diǎn) 求解方法 劃分網(wǎng)格 建立節(jié)點(diǎn)離散方程 迭代求解(或解稀疏方程組),5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,5.3.3穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,常用的3種迭代格式: (1)同步迭代: (2)異步迭代: (3)超松弛迭代: 當(dāng)計(jì)算范圍R 為 矩陣區(qū)域,x方向m等分,y方向n等分, 最佳松弛因子為: 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,用這些迭代法求解上面的偏微分方程均收斂。,緊湊迭代,5.3.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,例5.3 :處于傳熱平衡狀態(tài)的某保溫,假設(shè)其形狀為長(zhǎng)方體,在x,y兩個(gè)方向上存在熱傳導(dǎo),且導(dǎo)熱系數(shù)相等,已知邊界溫度分布如下圖所示: 解:取某一微元進(jìn)行能量衡算, 由于已達(dá)傳熱平衡狀態(tài),故可得: 傳導(dǎo)入熱量-傳導(dǎo)出熱量=0,溫度分布,,5.3.3 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱/擴(kuò)散方程求解,Microsoft Excel 迭代計(jì)算公式中的循環(huán)引用 在“工具”菜單上,單擊“選項(xiàng)”,再單擊“重新計(jì)算”選項(xiàng)卡。 選中“迭代”復(fù)選框。 若要設(shè)置 Microsoft Excel 進(jìn)行重新計(jì)算的最大次數(shù),請(qǐng)?jiān)凇白疃嗟螖?shù)”框中鍵入迭代次數(shù)。迭代次數(shù)越高,Excel 用于計(jì)算工作表的時(shí)間越多。 若要設(shè)置兩次迭代結(jié)果之間可以接受的最大誤差,請(qǐng)?jiān)凇白畲笳`差”框中鍵入所需的數(shù)值。數(shù)值越小,結(jié)果越精確,Excel 用于計(jì)算工作表的時(shí)間也越多。,5.4 吸附床傳熱傳質(zhì)模型中 偏微分方程求解實(shí)例,5.4.1 基本設(shè)定及假設(shè) 1.吸附器結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)定 上圖所示的是套筒式吸附器,該吸附器的有效長(zhǎng)度為L(zhǎng),其有效內(nèi)徑為D,環(huán)隙寬度為δ,吸附器壁厚為δb。導(dǎo)熱流體通過(guò)環(huán)隙將熱量傳入或傳出吸附器,吸附質(zhì)通過(guò)吸附器上端的小管進(jìn)入或離開(kāi)吸附器。,5.4.1 基本設(shè)定及假設(shè),2.吸附床外流體傳熱的一些基本假設(shè): 1). 忽略流體在環(huán)隙寬度δ上的溫度梯度; 2). 忽略熱損失; 3). 忽略吸附器壁厚δb上的溫度梯度,用集中參數(shù)法求取吸附器壁面溫度。 3.吸附床內(nèi)傳熱傳質(zhì)的一些基本假設(shè): 1). 吸附床內(nèi)的吸附質(zhì)氣體處于氣滯狀態(tài); 2). 忽略蒸發(fā)器、冷凝器和吸附床之間的壓力差; 3). 吸附床內(nèi)各計(jì)算微元內(nèi)達(dá)到吸附平衡。吸附量可利用回歸方程計(jì)算; 4. 吸附熱利用微分吸附熱,隨吸附量和吸附溫度的改變而改變;比熱采用有效比熱,亦隨溫度改變,但在計(jì)算微元內(nèi),可認(rèn)為是常數(shù); 5. 床層活性炭導(dǎo)熱系數(shù)采用當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù),可由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。,5.4.2 流體傳熱模型的建立,在軸方向上取一環(huán)隙微元,作能量分析如下: 1.流體通過(guò)流動(dòng)流入環(huán)隙微元的能量為 2.流體通過(guò)流動(dòng)流出環(huán)隙微元的能量 3.流體熱傳導(dǎo)在x 處的熱量導(dǎo)入 7 總能量平衡方程,其中: ?f ——流體的密度 uf ——環(huán)隙的流體速度, Sf ——環(huán)隙的橫截面積, Cpf——流體的比熱。,4. 流體熱傳導(dǎo)在x+?x處的熱量導(dǎo)入 5. 微元體傳遞給吸附床的熱量 qt 6. 微元體內(nèi)的能量變化率 為流體的橫截面積,,,,5.4.3 吸附床內(nèi)吸附劑傳熱傳質(zhì)模型的建立,吸附床內(nèi)發(fā)生著熱量和質(zhì)量的傳遞,但質(zhì)量的傳遞是建立在熱量傳遞基礎(chǔ)上的,故只要建立熱量傳遞方程,就可以根據(jù)平衡吸附量方程求出各處的吸附量。吸附床內(nèi)的熱量傳遞主要以熱傳導(dǎo)為主,既有經(jīng)向的熱傳導(dǎo),也有軸向的熱傳導(dǎo),為了便于建模分析,選取如圖所示的吸附床微元體,進(jìn)行衡算:,1.軸向?qū)霟崃?:,2.軸向?qū)С鰺崃?3.徑向?qū)霟崃? 4.徑向?qū)С鰺崃?5.微元體內(nèi)的能量變化率 其中 為吸附床層內(nèi)的有效比熱。 6.總能量平衡方程,,5 .4 .4 吸附器內(nèi)/外無(wú)量綱化方程,吸附器內(nèi)/外無(wú)量綱化方程,無(wú)量綱化處理,5 .4 .4 吸附器內(nèi)/外無(wú)量綱化方程,整理可得:,其中:,5 .4 .4 吸附器內(nèi)/外無(wú)量綱化方程,初始條件:,邊界條件,5.4.6 模型的離散化,,偏導(dǎo)數(shù)的差分離散化,邊界條件離散化處理,5.4.6 模型的離散化,離散化 方 程,離散化系數(shù),5.4.7 模型求解,參數(shù)及求解區(qū)域初始化,偏微分方程系數(shù)計(jì)算,離散化方程系數(shù)計(jì)算,收斂性判斷 各偏導(dǎo)系數(shù)0,方程組迭代求解,輸出結(jié)果,Y,N,縮小時(shí)間步長(zhǎng) 重新劃分網(wǎng)格,迭代循環(huán),- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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