矩陣論-特征值和特征向量.ppt

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機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 陳建華,矩 陣 論,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1.1 特征值和特征向量,一、方陣的特征值和特征向量,二、線性變換的特征值和特征向量,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1、定義,假設(shè) A 是 n 階方陣，如果存在數(shù) ? 和非零向量 X，使得,AX= ?X,稱 ? 是矩陣 A 的一個特征值， X 是對應(yīng)于? 的一個特征向量。,一、方陣的特征值和特征向量,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,AX = ?X,非零向量,特征向量,特征值,n階方陣,對應(yīng)于特征值 ? 的特征向量不唯一。,注：,2、求法,AX = ?X,,(?E–A)X = 0,,|?E–A| = 0,特征方程,特征多項(xiàng)式,?E–A,特征矩陣,特征值,特征向量,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) ?為A的特征值 ? |?E–A| = 0.,(2) X為A的對應(yīng)于?的特征向量,? (?E–A)X = 0, X為非零向量.,求特征值和特征向量的步驟：,(1) 寫出A的特征方程|?E?A|?0;,(2) 求出A的n個特征值?1, ?2? ???? ?n;,(3) 對每一特征值?i，求解對應(yīng)的方程組,(?iE?A)X?0?,方程組的非零解就是?i的所有特征向量.,定理1,例1,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,解: A的特征多項(xiàng)式為,求矩陣,的特征值和特征向量.,所以A的特征值為 ?1=2, ?2= ?3= 1.,對于?1=2,,解方程組(2E–A)X = 0,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,p1=(0, 0, 1)T.,對應(yīng)于?1=2的特征向量為k1p1 (0?k1?R).,得基礎(chǔ)解系,對于?2= ?3=1,,解方程組 (E–A)X= 0,,得基礎(chǔ)解系,p2=(–1, –2, 1)T.,對應(yīng)于?2=?3 =1的特征向量為k2p2 (0?k2?R).,于是，,于是，,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,3、性質(zhì),（1）?2 是A2 的特征值;,（2）?-1 是A-1 的特征值；,（3）a+k? 是aE+kA 的特征值（a, k為常數(shù)）。,且 X 仍為 A2 , A-1 , aE+kA 的分別對應(yīng)于特征值 ?2 , ?-1, a+k?的特征向量。,設(shè)?是方陣A的特征值，X為A 的對應(yīng)于,性質(zhì)1,?的特征向量，則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,特征值為 ?1=2, ?2= ?3= 1.,?1+?2+?3= 4,?1?2?3= 2,= a11+ a22+ a33,= |A|.,觀察例1,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,設(shè)A = (aij)n?n的特征值為?1, …, ?n, 則 (1) ?1 + … + ?n = a11+…+ann， (2) ?1 ?2 …?n = |A|, 其中a11+…+ann 稱為A 的跡，記作tr(A).,性質(zhì)2,證明：,= (?- ?1) … (?- ?n) .,f(?) = ?n- (a11+…+ann )?n-1 +…+(-1)n|A|,f(?) = ?n- (? 1+…+ ? n )?n-1 +…+(-1)n (? 1… ? n ),比較上述兩式?n-1項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，可得結(jié)論。,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,A 可逆當(dāng)且僅當(dāng)?1, …, ?n全不為零.,的確是方陣的一個 特征 .,推論,由此可知,特征值可以刻畫方陣的可逆性,,（3）AT 特征值為?1, …, ?n；,（4）AH 特征值為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)?是方陣A的特征值，X為A 的對應(yīng)于,性質(zhì)3,?的特征向量，,則 對應(yīng)的特征向量。,P3,定理1.2,例2,已知三階方陣A有特征值1，2，3，求|E+2A|.,例3,（1）?m 是Am 的特征值;,（2）|A|/? 是A* 的特征值；,設(shè)?是方陣A的特征值，X為A 的對應(yīng)于,?的特征向量，證明：,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,性質(zhì)4,設(shè)?i是方陣A的特征值，它的代數(shù)重?cái)?shù)是ni,幾何維數(shù)是si，則,其中：,Si 是A的屬于?i的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù),,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,如果 分別是 A 的屬于互不相同的特征值,的特征向量，則 線性無關(guān).,證：對k作數(shù)學(xué)歸納法.,性質(zhì)5,推論,特征值 的線性無關(guān)的特征向量，,則向量 線性無關(guān).,是 A 的不同特征值，而 是屬于,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4,對于n階方陣A,B, 證明：,思考題,對于n階方陣A,B, 等式 AB-BA=E 是否成立？,二、線性變換的特征值和特征向量,設(shè) 是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，,則稱 為 的一個特征值，稱 為 的屬于特征值,二、線性變換的特征值與特征向量,1. 定義,若對于P中的一個數(shù) 存在一個V的非零向量,使得,的特征向量.,,① 幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，,注,② 若 是 的屬于特征值 的特征向量，則,也是 的屬于 的特征向量.,但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即,若 且 ，則,設(shè) 是V的一組基，,線性變換 在這組基下的矩陣為A.,下的坐標(biāo)記為,2.特征值與特征向量的求法,分析：,設(shè) 是 的特征值，它的一個特征向量 在基,則 在基 下的坐標(biāo)為,而 的坐標(biāo)是,于是,又,從而,又,即 是線性方程組 的解，,∴ 有非零解.,所以它的系數(shù)行列式,,以上分析說明：,若 是 的特征值，則,反之，若 滿足,則齊次線性方程組 有非零解.,若 是 一個非零解，,特征向量.,則向量 就是 的屬于 的一個,設(shè) 是一個文字，矩陣 稱為,稱為A的特征多項(xiàng)式.,3. 特征多項(xiàng)式,A的特征矩陣，它的行列式,（ 是數(shù)域P上的一個n次多項(xiàng)式）,② 矩陣A的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為A的特征值,,注：,① 若矩陣A是線性變換 關(guān)于V的一組基的矩陣，,而 是 的一個特征值，則 是特征多項(xiàng)式,的根，即,的一個特征值.,反之，若 是A的特征多項(xiàng)式的根，則 就是,（所以，特征值也稱特征根.）,而相應(yīng)的線性方程組 的非零解也就,稱為A的屬于這個特征值的特征向量.,,i) 在V中任取一組基 寫出 在這組基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多項(xiàng)式 在P上的全部根它們,4. 求特征值與特征向量的一般步驟,的矩陣A .,iii) 把所求得的特征值逐個代入方程組,的全部線性無關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo).),并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個特征值,,則,就是屬于這個特征值 的全部線性無關(guān)的特征向量.,而,（其中， 不全為零）,就是 的屬于 的全部特征向量.,如果特征值 對應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：,對 皆有,所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.,例1.在線性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下,的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是,故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且,解：A的特征多項(xiàng)式,例2.設(shè)線性變換 在基 下的矩陣是,求 特征值與特征向量.,故 的特征值為： （二重）,,把 代入齊次方程組 得,即,它的一個基礎(chǔ)解系為：,因此，屬于 的兩個線性無關(guān)的特征向量為,而屬于 的全部特征向量為,不全為零,因此，屬于5的一個線性無關(guān)的特征向量為,,把 代入齊次方程組 得,解得它的一個基礎(chǔ)解系為：,而屬于5的全部特征向量為,,5.特征子空間,定義：,再添上零向量所成的集合，即,設(shè) 為n維線性空間V的線性變換， 為,的一個特征值，令 為 的屬于 的全部特征向量,注：,的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于 的,若 在n維線性空間V的某組基下的矩陣為A，則,即特征子空間 的維數(shù)等于齊次線性方程組,(*),全部線性無關(guān)的特征向量就是 的一組基.,,,線性代數(shù)是一種語言，必須用學(xué)習(xí)外語的方法每天學(xué)習(xí)這種語言． David . C . Lay,