高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 4.2-4.3 圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交點課件 北師大版選修2-1.ppt

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第三章 4 曲線與方程,4.2 圓錐曲線的共同特征 4.3 直線與圓錐曲線的交點,1.了解圓錐曲線的共同特征，并會簡單應用. 2.會判斷直線與圓錐曲線的位置關系以及求與弦的中點有關的問題.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點到 的距離與它到 的距離之比為定值e. 當 時，該圓錐曲線為橢圓； 當 時，該圓錐曲線為拋物線； 當 時，該圓錐曲線為雙曲線. 知識點二 曲線的交點,,答案,e1,f1(x0，y0)＝0 f2(x0，y0)＝0,一個定點,一條定直線,0e1,e＝1,,答案,知識點三 直線與圓錐曲線的位置關系 直線與圓錐曲線的位置關系可分為： 、 、 . 對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是_____； 對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不_____.這三種位置關系的判定條件可歸納為： (1)Δ＞0? ；(2)Δ＝0? ；(3)Δ＜0? .,相離,相交,相切,相離,相切,相切,相交,相切,,返回,答案,思考 1.圓錐曲線具有什么樣的共同特征？它們的區(qū)別何在？ 答案 圓錐曲線均可定義為平面上到定點距離和到定直線距離之比為常數(shù)的點的軌跡；它們的區(qū)別在于這個比值的范圍不同. 2.直線與圓錐曲線有一個交點時，一定是直線與圓錐曲線相切嗎？ 答案 直線與圓錐曲線有一個交點時不一定相切，也可能是相交.如直線與拋物線的對稱軸平行，則直線與該拋物線交點是只有一個交點.,題型探究 重點突破,題型一 圓錐曲線的共同特征及應用,,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,,此類問題采用求曲線方程的一般方法，通過題意列出關于點M(x，y)的等式，化簡得出曲線方程.通過運算的結果不難發(fā)現(xiàn)，橢圓是到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點所成的曲線，并且這個常數(shù)的范圍為(0,1).,,解析答案,,解析答案,反思與感悟,題型二 直線與圓錐曲線的公共點問題 例2 已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點個數(shù).,,解析答案,反思與感悟,(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.①,(2)當1－k2≠0，即k≠1，此時有Δ＝4(4－3k2)， 若4－3k2＞0(k2≠1)，,,反思與感悟,反思與感悟,,本題通過方程組解的個數(shù)來判斷直線與雙曲線交點的個數(shù)，具體操作時，運用了重要的數(shù)學方法——分類討論，而且是“雙向討論”，既要討論首項系數(shù)1－k2是否為0，又要討論Δ的三種情況，為理清討論的思路，可畫“樹枝圖”如圖：從樹枝圖上一看可知，共分四種情況討論，本文要提醒讀者：“樹枝圖”是確定討論思路的一手絕招！ (1)要處理好直線與圓錐曲線的位置關系與Δ的正負和交點個數(shù)的關系.Δ＝0是直線與圓錐曲線相切的充要條件；只有一個交點是直線與圓錐曲線相切的必要不充分條件. (2)直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題實質上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或實數(shù)解的個數(shù)的問題.,,解析答案,求l的斜率k的取值范圍. (1)相切；,解 設直線l的方程為y＝kx＋2.,整理得(1＋4k2)x2＋2(1＋8k)x＋13＝0.① ①的判別式Δ＝4(1＋8k)2－413(1＋4k2).,,解析答案,(2)相交；,(3)相離.,,解析答案,題型三 弦長、弦中點問題,(1)求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程；,解 設弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為M(x0，y0)，則有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.,∴x＋4y＝0. 故所求的軌跡方程為x＋4y＝0(在已知橢圓的內(nèi)部).,,解析答案,(2)過N(1,2)的直線l與橢圓相交，求l被橢圓截得的弦的中點軌跡方程； 解 不妨設l交橢圓于A、B，弦中點為M(x，y).,整理得x2＋2y2－x－4y＝0，此式對l的方程為x＝1時也成立. ∴所求中點軌跡方程是x2＋2y2－x－4y＝0(在已知橢圓的內(nèi)部).,,即2x＋4y－3＝0.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟 將圓錐曲線上的兩點A、B的坐標代入圓錐曲線的方程，然后將兩式作差并進行變形，可得到弦AB的斜率與弦中點的坐標之間的關系式.(這種方法一般稱之為點差法)此關系式可用于解決如下問題： (1)以定點為中點的弦的方程；(2)平行弦中點的軌跡； (3)過定點的弦的中點的軌跡；(4)對稱問題.,,解析答案,(1)求線段P1P2的中點P的軌跡方程；,,解析答案,∴a2＝1，b2＝2.,故中點P的軌跡方程為2x2－y2－4x＋y＝0.,①－②得2(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，,,解析答案,(2)過點B(1,1)，能否作直線l′，使l′與已知雙曲線交于Q1、Q2兩點，且B是線段Q1Q2的中點？請說明理由. 解 假設存在直線l′，同(1)可得l′的斜率為2，l′的方程為y＝2x－1.,∴滿足條件的直線l′不存在.,題型四 對稱問題 例4 已知橢圓3x2＋4y2＝12，試確定實數(shù)m的取值范圍，使得對于直線l：y＝4x＋m，橢圓上總有兩點A，B關于直線l對稱.,,解析答案,反思與感悟,消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0，,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,反思與感悟,∴3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x1≠x2，,,反思與感悟,反思與感悟,,處理圓錐曲線上兩點關于某直線對稱題型的兩種方法，方法一稱為點差法，主要用于處理弦的斜率與中點問題，而方法二則將對稱轉化為用判別式Δ0求解，利用已知條件，建立一個等式與一個不等式，兩種解法都是緊緊抓住兩點關于直線對稱所產(chǎn)生的垂直及中點問題.,,解析答案,返回,,解析答案,解 當k＝0時，顯然不成立.∴當k≠0時，由l⊥AB，,代入3x2－y2＝3中， 得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.顯然3k2－1≠0， ∴Δ＝(2kb)2－4(3k2－1)[－(b2＋3)k2]0，即k2b2＋3k2－10.①,∵點M(x0，y0)在直線l上，,,返回,把②代入①得k2b2＋k2b0，解得b0或b－1.,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,有5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，,D,,解析答案,2.設A、B是拋物線x2＝4y上兩點，O為原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90,D,1,2,3,4,5,∴△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90.,解析 圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2， 則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m0)， ∴m＝－1，則圓心M的坐標為(1,0). 由題意知直線l的方程為x＝－c， 又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.,,解析答案,1,2,3,4,5,C,4.已知直線l1：4x－3y＋11＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是____. 解析 因為x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準線，所以可畫圖觀察. 如圖，連接PF，d2＝|PF|.,,解析答案,3,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知一條過點P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，則直線AB的方程為____________.,x－y－1＝0,,課堂小結,對直線與圓錐曲線位置關系的進一步理解 (1)直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度看有三種：相離、相交和相切.相離時，直線與圓錐曲線無公共點；相切時，直線與圓錐曲線有一個公共點；相交時，直線與橢圓有兩個公共點，但直線與雙曲線、拋物線的公共點個數(shù)可能為一個(直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與拋物線的對稱軸平行時)或兩個. (2)直線與圓錐曲線的位置關系，從代數(shù)角度看來(幾何問題代數(shù)化)是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無解時必相離；有兩組解必相交；一組解時，若化為x或y的方程，二次項系數(shù)非零，判別式為零時必相切，若二次項系數(shù)為零，有一組解時必相交(代數(shù)結果幾何化).,(3)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(或x)得一個關于變量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0. ①當a≠0時，若Δ0，則直線l與曲線C相交；若Δ＝0，則直線l與曲線C相切；若Δ0，直線l與曲線C相離. ②當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點.此時，若C為雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則l平行于拋物線的對稱軸. ③當直線與雙曲線或拋物線只有一個公共點時，直線與雙曲線或拋物線可能相切，也可能相交.,,返回,