高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 2.1 拋物線及其標準方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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第三章 2 拋物線,2.1 拋物線及其標準方程,1.掌握拋物線的定義及其焦點、準線的概念. 2.會求簡單的拋物線方程.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的 的點的集合叫作 .點F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 . 知識點二 拋物線標準方程的幾種形式,,答案,y2＝2px(p0),準線,距離相等,拋物線,焦點,,答案,y2＝－2px(p0),x2＝2py(p0),x2＝－2py(p0),,返回,思考 (1)拋物線的標準方程y2＝2px(p0)中p的幾何意義是什么？ 答案 焦點到準線的距離. (2)平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線嗎？ 答案 不一定.當直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點F時，點的軌跡是拋物線.,答案,題型探究 重點突破,題型一 求拋物線的標準方程 例1 分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程. (1)焦點為(－2,0)；,,解析答案,∴拋物線的標準方程為y2＝－8x. (2)準線為y＝－1；,∴拋物線的標準方程為x2＝4y.,(3)過點A(2,3)； 解 由題意，拋物線方程可設(shè)為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)， 將點A(2,3)的坐標代入，得32＝m2或22＝n3，,,解析答案,反思與感悟,∴所求拋物線的標準方程為y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.,反思與感悟,,求拋物線方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點位置，則可設(shè)出拋物線的標準方程，求出p值即可.若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論.焦點在x軸上的拋物線方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)，焦點在y軸上的拋物線方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0).,,跟蹤訓練1 分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程. (1) 過點(3，－4)； 解 方法一 ∵點(3，－4)在第四象限， ∴設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px (p0)或x2＝－2p1y (p10). 把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y，,方法二 ∵點(3，－4)在第四象限， ∴拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).,解析答案,,(2) 焦點在直線x＋3y＋15＝0上. 解 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴拋物線的焦點為(0,－5)或(－15,0). ∴所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.,解析答案,,解析答案,反思與感悟,題型二 拋物線定義的應用 例2 如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點坐標.,,解析答案,反思與感悟,解 如圖，作PQ⊥l于Q，由定義知，,拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，由圖可知，求|PA|＋|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的最小值的問題.,,反思與感悟,∴點P坐標為(2,2).,反思與感悟,,拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離進行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等.,,解析答案,跟蹤訓練2 已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點A(0,2)的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值為( ),解析 如圖，由拋物線定義知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|， 則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PF|的最小值， 則當A、P、F三點共線時，|PA|＋|PF|取得最小值.,A,,題型三 拋物線的實際應用 例3 如圖所示，一輛卡車高3 m，寬1.6 m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍，若拱口寬為a m，求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值.,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,解 以拱頂為原點，拱高所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.,設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p0)，,解得a12.21，∵a取整數(shù)， ∴a的最小整數(shù)值為13.,反思與感悟,,以拋物線為數(shù)學模型的實例很多，如拱橋、隧道、噴泉等，拋物線的應用主要解題步驟：(1)建立平面直角坐標系，求拋物線的方程；(2)利用方程求點的坐標.,,解析答案,跟蹤訓練3 如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以隧道的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖)，求該拋物線的方程；,所以該拋物線的方程為x2＝－5y.,,解析答案,返回,(2)若行車道總寬度AB為7米，請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米(精確到0.1米)? 解 設(shè)車輛高h米，則|DB|＝h＋0.5， 故D(3.5，h－6.5)， 代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05， 所以車輛通過隧道的限制高度為4.0米.,,當堂檢測,1,2,3,4,5,C,解析答案,,解析答案,2.過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析 由y2＝8x得焦點坐標為(2,0)， 由此直線方程為y＝x－2，,B,1,2,3,4,5,設(shè)交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程知x1＋x2＝12， ∴弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.,,解析答案,1,2,3,4,5,A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝2x D.y2＝8x,D,所以拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－8x.,,解析答案,4.已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( ),1,2,3,4,5,解析 易知直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準線， 如圖所示，動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的長度， 其中F(1,0)為拋物線y2＝4x的焦點.,A,,解析答案,4,1,2,3,4,5,,課堂小結(jié),1.拋物線的定義中不要忽略條件：點F不在直線l上. 2.確定拋物線的標準方程，從形式上看，只需求一個參數(shù)p，但由于標準方程有四種類型.因此，還應確定開口方向，當開口方向不確定時，應進行分類討論，有時也可設(shè)標準方程的統(tǒng)一形式，避免討論，如焦點在x軸上的拋物線標準方程可設(shè)為y2＝2mx (m≠0)，焦點在y軸上的拋物線標準方程可設(shè)為x2＝2my (m≠0).,,返回,