高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課件 理 新人教A版.ppt

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第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,Ⅰ.理解等差數(shù)列的概念． Ⅱ.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式． Ⅲ.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． Ⅳ.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系．,,,整合主干知識,1．等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列___________________________________ ________________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是____________________.,從第2項起，每一項與它的前一項的差,公差,an＝a1＋(n－1)d,都等于同一個常數(shù),4．等差數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝am＋_________，(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，則_______________. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為____. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．,(n－m)d,ak＋al＝am＋an,2d,(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為_____的等差數(shù)列． 5．等差數(shù)列的前n項和公式,md,7．等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中，a10，d0，則Sn存在最____值．,大,小,質疑探究：等差數(shù)列通項公式與前n項和公式的推導分別用了什么方法？ 提示：前者用的是疊加法，后者用的是倒序相加法．,1．給出下列命題： ①若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列． ②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. ③等差數(shù)列{an}的單調性是由公差d決定的． ④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)． ⑤等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)．,其中正確的命題是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤ 解析：①錯誤．若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，這個數(shù)列就不是等差數(shù)列．②正確．如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，根據(jù)定義an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2，則an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根據(jù)定義數(shù)列{an}為等差數(shù)列． ③正確．當d0時為遞增數(shù)列；d＝0時為常數(shù)列；d0時為遞減數(shù)列．,④錯誤．根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有當d≠0時，等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù)，否則不是．,答案：B,2．(2015海淀質檢)等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，則a1a6的值為( ) A．14 B．18 C．2 D．27,答案：A,3．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176,答案：B,4．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________.,答案：3,,聚集熱點題型,[典例賞析1] (1)(2013安徽高考)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2 (2)(2015石家莊市高三質檢)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，則n的值為( ) A．8 B．9 C．10 D．11,等差數(shù)列基本量的計算,[思路點撥] 在等差數(shù)列{an}的an，Sn，a1，d，n的五個量中，知其三，求其二．,[答案] (1)A (2)C,[思考] 本例(1)中，已知條件不變，則Sn＝________.,答案：－n2＋11n,[名師講壇] ①此類問題的通法是把條件轉化為a1與d的方程(組)，進而可求其它問題． ②結合性質求解，可簡化計算．,,[變式訓練] 1．(1)(2015荊州市高三調研)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，且S10＝60，則S20＝( ) A．80 B．160 C．320 D．640 (2) (2015鄭州市高三質檢)等差數(shù)列{an}的前7項和等于前2項和，若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.,答案：(1)C (2)6,[思路點撥] 由題設條件構造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累加求和．,等差數(shù)列的判定或證明,[名師講壇] 等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)．,(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．,,(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.,[典例賞析3] (1)(2014重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝( ) A．5 B．8 C．10 D．14 (2)(2015武漢市高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項和為Sn，則使得Sn達到最大的n是( ) A．18 B．19 C．20 D．21,等差數(shù)列的性質及應用,[解析] 由題意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.故選B. (2)a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，則{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此當Sn取得最大值時，n＝20.,[答案] (1)B (2)C (3)D,[名師講壇] 利用等差數(shù)列性質的常見題型與求解策略,答案：5,[備課札記] __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學科素養(yǎng),(理)函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項和的最值中的應用,(注：對應文數(shù)熱點突破之二十五),在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值． [審題視角] 由a1＝20及S10＝S15可求得d，進而求得通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解．,[方法點睛]求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調性，求出其正負轉折項；②利用性質求出其正負轉折項，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值．,已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________．,答案：110,1．一個推導 利用倒序相加法推導等差數(shù)列的前n項和公式． 2．兩個技巧 (1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….,,3．兩種思想 (1)等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式涉及“五個量”，“知三求二”，需運用方程思想求解，特別是求a1和d. (2)等差數(shù)列{an}中，an＝pn＋q(p，q為常數(shù))，Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))，均是關于“n”的函數(shù)，充分運用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖象、性質簡化解題過程.,