2019年高考數(shù)學二輪復習 第一篇 求準提速 基礎小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質練習 文.doc
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2019年高考數(shù)學二輪復習 第一篇 求準提速 基礎小題不失分 第16練 圓錐曲線的定義、方程與性質練習 文 [明考情] 圓錐曲線是高考的熱點，每年必考，小題中考查圓錐曲線的定義、方程、離心率等，題目難度中檔偏難. [知考向] 1.圓錐曲線的定義與標準方程. 2.圓錐曲線的幾何性質. 3.圓錐曲線的綜合. 考點一 圓錐曲線的定義與標準方程 方法技巧 (1)橢圓和雙曲線上的點到兩焦點距離可以相互轉化，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離. (2)求圓錐曲線方程的常用方法：定義法、待定系數(shù)法. 1.(xx九江二模)設橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，且滿足＝9，則||||的值為( ) A.8 B.10 C.12 D.15 答案 D 解析 ∵點P是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點， ∴|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝4， ＝9，即||||cos θ＝9， ||2＝||2＋||2－2||||cos θ ＝(||＋||)2－2||||－18＝64－2||||－18＝16， ∴||||＝15. 2.(xx洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為10，點P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案 A 解析 ∵－＝1的焦距為10， ∴c＝5＝， ① 又雙曲線的漸近線方程為y＝x， 且P(2，1)在漸近線上， ∴＝1， 即a＝2b， ② 由①②得a＝2，b＝， ∴雙曲線的方程為－＝1，故選A. 3.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，它的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點.若△AOB的面積為，則拋物線的準線方程為( ) A.x＝－2 B.x＝2 C.x＝1 D.x＝－1 答案 D 解析 因為e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，雙曲線的漸近線方程為y＝x. 又拋物線的準線方程為x＝－，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線方程得A，B. 在△AOB中，|AB|＝p，點O到AB的距離為，所以p＝，所以p＝2，所以拋物線的準線方程為x＝－1，故選D. 4.(xx天津)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 答案 D 解析 根據(jù)題意畫出草圖如圖所示(不妨設點A在漸近線y＝x上). 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60，c＝|OF|＝2. 又點A在雙曲線的漸近線y＝x上，∴＝tan 60＝. 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝， ∴雙曲線的方程為x2－＝1. 故選D. 5.(xx甘肅肅南裕固族自治縣一中期末)拋物線y＝－x2上的動點M到兩定點(0，－1)，(1，－3)的距離之和的最小值為________. 答案 4 解析 由題意得焦點F(0，－1)，設A(1，－3)， 則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|yM|＋1≥|yA|＋1＝4. 考點二 圓錐曲線的幾何性質 要點重組 在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝； 在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝. 方法技巧 求離心率的兩種方法 (1)定義法：求出a，c，代入e＝進行求解. (2)方程法：只需根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的各項式，然后兩邊同除以a或a2得到關于e的方程求e. 6.已知A是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是△PF1F2的重心，若＝λ，則雙曲線的離心率為( ) A.2 B.3 C.4 D.與λ的取值有關 答案 B 解析 因為＝λ，所以∥， 所以＝＝(O為坐標原點)，即＝， 所以e＝＝3. 7.(xx廣安模擬)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點為F，該橢圓上有一點A，滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標原點)，則橢圓的離心率是( ) A.－1 B.2－ C.－1 D.2－ 答案 A 解析 根據(jù)題意，如圖，設F(c，0)， 由△OAF是等邊三角形，則A， 又A在橢圓上，則有＋＝1， ① a2＝b2＋c2， ② 聯(lián)立①②，解得c＝(－1)a， 則其離心率e＝＝－1. 8.(xx全國Ⅲ)雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 答案 5 解析 ∵雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5. 9.(xx北京)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 答案 2 解析 設B為雙曲線的右焦點，如圖所示.∵四邊形OABC為正方形且邊長為2， ∴c＝|OB|＝2. 又∠AOB＝， ∴＝tan ＝1，即a＝b. 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 10.設拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M為拋物線E上一點，|MF|的最小值為3，若點P為拋物線E上任意一點，A(4，1)，則|PA|＋|PF|的最小值為________. 答案 7 解析 由題意，|MF|的最小值為3，得＝3， ∴p＝6，∴拋物線E：y2＝12x， 拋物線y2＝12x的焦點F的坐標是(3，0). 設點P在準線上的射影為D， 則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|， ∴要求|PA|＋|PF|取得最小值，即求|PA|＋|PD|取得最小值，當D，P，A三點共線時|PA|＋|PD|最小，為4－(－3)＝7. 考點三 圓錐曲線的綜合 方法技巧 圓錐曲線范圍，最值問題的常用方法 (1)定義性質轉化法：利用圓錐曲線的定義性質進行轉化，根據(jù)平面幾何中的結論確定最值或范圍. (2)目標函數(shù)法：建立所求的目標函數(shù)，將所求最值轉化為函數(shù)最值解決. (3)條件不等式法：找出與變量相關的所有限制條件，然后再通過解決不等式(組)求變量的范圍. 11.已知方程－＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(－∞，－1) B.(－2，＋∞) C.∪(－1，＋∞) D.∪ 答案 D 解析 由－＝1轉化成標準方程＋＝1， 假設焦點在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設焦點在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 12.(xx四川)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為( ) A. B. C. D.1 答案 C 解析 如圖，由題意可知F，設P點坐標為，顯然，當y0<0時，kOM<0；當y0>0時，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨設y0>0，則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，當且僅當y＝2p2時等號成立.故選C. 13.(xx全國Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為( ) A.2 B. C. D. 答案 A 解析 設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 圓的圓心為(2，0)，半徑為2， 由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為＝. 由點到直線的距離公式得＝， 解得b2＝3a2. 所以C的離心率e＝＝＝＝2. 故選A. 14.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則等于( ) A. B. C.2a D. 答案 B 解析 顯然直線AB的斜率存在，故設直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0，設A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－，x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，∴mn＝，m＋n＝，∴＝.故選B. 15.過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為________. 答案 解析 由已知得直線方程為y＝2(x－1). 由得3y2＋2y－8＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴|y1－y2|＝＝＝， ∴S△AOB＝1＝. 16.在直線y＝－2上任取一點Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過定點________. 答案 (0，2) 解析 設Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥＝x2，則y′＝x，則在點A處的切線方程為y－y1＝x1(x－x1)，化簡，得y＝x1x－y1，同理，在點B處的切線方程為y＝x2x－y2.又點Q(t，－2)的坐標滿足這兩個方程，代入，得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，則說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程－2＝xt－y，即直線AB的方程為y－2＝tx，因此直線AB恒過定點(0，2). 1.若點O和點F(－2，0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為( ) A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞) C. D. 答案 B 解析 由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)， 則＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－， 因為x≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________. 答案 x2－＝1(x≤－1) 解析 如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因為|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2＜6， 所以點M到兩定點C1，C2的距離的差是常數(shù). 又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1). 3.若橢圓的對稱軸是坐標軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側頂點的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案?。?或＋＝1 解析 由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 4.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點P(異于長軸的端點)，使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為______. 答案 (－1，1) 解析 由已知，得e＝＝，由正弦定理，得 ＝，所以e＝＝＝－1. 由橢圓的幾何性質，知a－c＜|PF2|
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