2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題36 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用黃金解題模板.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題36 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用黃金解題模板 【高考地位】 向量在立體幾何中占有重要的地位，且扮演著一個非常重要的角色，其應(yīng)用打破了立體幾何的傳統(tǒng)解法，可以減少大量的輔助作圖以及對圖形的分析、想象過程，能直接使用代數(shù)運(yùn)算來解決立體幾何中的計算和證明問題．在近幾年的高考中幾乎每年都有出現(xiàn)，其題型主要是大題形式出現(xiàn)，有時也會在選擇題或填空題中應(yīng)用． 【方法點評】 類型一 證明垂直 使用情景：立體幾何中證明垂直問題 解題模板：第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點的空間坐標(biāo)； 第二步 然后將已知條件轉(zhuǎn)化為空間向量問題并對其進(jìn)行求解； 第三步 得出結(jié)論． 例1、【xx天津濱海新區(qū)聯(lián)考】在四棱錐中， 平面， ， ， ， . （1）證明； （2）求二面角的余弦值； （3）設(shè)點為線段上一點，且直線平面所成角的正弦值為，求的值. 【變式演練1】已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立如右圖所示的坐標(biāo)系; 確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P; 解：設(shè)BP=t, 則,, ∴B1(2, 0, 2), D1(0, 2, 2), P(2, t, 0),. ∴, =(-2, 2-t, 2). ∵B1Q⊥D1P等價于, 即, 即.解得t=1. 此時, P、Q分別是棱BC、CD的中點, 即當(dāng)P、Q分別是棱BC、CD的中點時, B1Q⊥D1P. 例2、【xx貴州貴陽第一中學(xué)模擬】如圖，在三棱錐中，分別是的中點，平面平面，，是邊長為2的正三角形，. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值. （Ⅱ）解：平面BDF的一個法向量， 平面BDE（即平面ABK）的一個法向量為 ， 所以二面角的余弦值為. 【變式演練2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF； ∴⊥，⊥， ∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. 例3.【xx吉林東北師范大學(xué)附屬中模擬】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形， ， ， ，且， ， 是的中點。 （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）求二面角的余弦值。 ，故所求二面角的余弦值為。 【變式演練３】已知梯形如下圖所示，其中，，為線段的中點，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進(jìn)行折疊，使得平面平面，得到如圖所示的幾何體.已知當(dāng)點滿足時，平面平面，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 類型二 證明平行 使用情景：立體幾何中證明平行問題 解題模板：第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點的空間坐標(biāo)； 第二步 然后將已知條件轉(zhuǎn)化為空間向量問題并對其進(jìn)行求解； 第三步 得出結(jié)論． 例4. 【xx天津市河西區(qū)模擬】如圖，已知梯形中， ， ， ，四邊形為矩形， ，平面平面． （Ⅰ）求證： 平面； （Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值； （Ⅲ）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由． （Ⅱ）解：∵， ， 設(shè)平面的法向量， ∴不妨設(shè)， ∴， ∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為． （Ⅲ）設(shè) ， ， ∴， ∴， 又∵平面的法向量， 【變式演練4】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點． （1）求證：平面； （2）求二面角的正弦值． （2）,又,故,所以. 由已知，且,所以平面. ………7分 所以平面的一個法向量為., 不妨設(shè)平面的法向量為 則 不妨取則，即 …10分 設(shè)求二面角的平面角為 因為，所以． 二面角的正弦值大小為． ………12分 類型三 求異面直線所成的角 使用情景：立體幾何中異面直線所成的角問題 解題模板：第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點的空間坐標(biāo)； 第二步 然后根據(jù)已知條件求出所求兩直線的方向向量； 第三步 由向量的數(shù)量積計算公式即可得出結(jié)論． 例5、如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，,.若，分別是棱，上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【變式演練5】【xx南京市、鹽城市模擬】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F(xiàn)分別是BC，A1C的中點． （1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值； （2）點M在線段A1D上， ．若CM∥平面AEF，求實數(shù)λ的值． 類型四 求直線與平面所成的角 使用情景：立體幾何中直線與平面所成的角問題 解題模板：第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點的空間坐標(biāo)； 第二步 然后根據(jù)已知條件求出所求直線的方向向量和所求平面的法向量； 第三步 由向量的數(shù)量積計算公式即可得出結(jié)論． 例5. 如圖，直三棱柱中，，，點在線段上. （1）若是中點，證明：平面； （2）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）詳見解析（2） 【解析】 （II）,故如圖建立空間直角坐標(biāo)系, ,, , 令平面的法向量為,由，得 設(shè) 所以,, 設(shè)直線與平面所成角為, , 故當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為. 考點：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角 【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 【變式演練5】如圖，正方形的邊長為2，分別為線段的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱分別交于點． （1）求證：； （2）若底面，且，求直線與平面所成角的大?。? 【答案】（1）詳見解析（2） 類型五 求二面角 使用情景：立體幾何中平面與平面所成的角問題 解題模板：第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點的空間坐標(biāo)； 第二步 然后根據(jù)已知條件求出各自所求平面的法向量； 第三步 由向量的數(shù)量積計算公式即可得出結(jié)論． 例6、【xx河北省武邑中學(xué)模擬】如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面． （1）求證：平面平面； （2）若直線與平面所成的角的正弦值為．求二面角的余弦值． 【解析】（1）∵平面平面， 平面平面，， ∴平面． 又∵，故可建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 不妨設(shè)，， 則有，，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴平面， 又平面， ∴平面平面． ∴二面角的余弦值為． 點睛：本題只要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之證明面面垂直、二面角平面角的向量求法，難度中檔；主要是通過直線的方向向量互相垂直即向量的數(shù)量積為0，得到線面垂直，由線面垂直得到面面垂直；直線的方向向量與平面的法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)，大多數(shù)情況下是根據(jù)圖形判斷該角的范圍. 【變式演練6】如圖，在邊長為的菱形中，，點分別是邊，的中點，，沿將翻折到，連接，得到如圖的五棱錐，且. （1）求證：平面; （2）求二面角的余弦值. . 設(shè)平面的法向量為,由得,令,得,平面的一個法向量為.由（1）知平面的一個法向量為,設(shè)求二面角的平面角為,則,求二面角的的余弦值為. 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)1，理18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. （2）在平面內(nèi)作，垂足為， 由（1）可知，平面，故，可得平面. 以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由（1）及已知可得，，，. 所以，，，. 設(shè)是平面的法向量，則 ，即， 可取. 設(shè)是平面的法向量，則 2. 【xx課標(biāo)II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點。 （1）證明：直線 平面PAB； （2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。 【答案】(1)證明略； (2) 。 （2）由已知得,以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，為單位長， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，,， 設(shè)則， 因為BM與底面ABCD所成的角為45，而是底面ABCD的法向量， 所以， ， 【考點】 判定線面平行；面面角的向量求法 【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計算。 (2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有|cos θ|＝|cos|=。求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。 3. 【xx課標(biāo)3，理19】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）證明：平面ACD⊥平面ABC； （2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值. 【答案】(1)證明略； (2) . （2） 設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可得 . 則 . 所以二面角D-AE-C的余弦值為 . 【考點】 二面角的平面角；面面角的向量求法 【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計算. (2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有|cos θ|＝|cos|=.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 4. 【xx山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點. （Ⅰ）設(shè)是上的一點，且，求的大小； （Ⅱ）當(dāng)，，求二面角的大小. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 得到，， 從而為所求二面角的平面角. 據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)即得所求的角. （Ⅱ）解法一： 取的中點，連接，，. 因為， 所以四邊形為菱形， 所以. 取中點，連接，，. 則，， 所以為所求二面角的平面角. 又，所以. 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此為等邊三角形， 故所求的角為. 設(shè)是平面的一個法向量. 由可得 取，可得平面的一個法向量. 所以. 因此所求的角為. 【考點】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計算. 【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 5. 【xx北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4． （I）求證：M為PB的中點； （II）求二面角B-PD-A的大小； （III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析：（Ⅱ） ；（Ⅲ） （II）取的中點，連接，. 因為，所以. 又因為平面平面，且平面，所以平面. 因為平面，所以. 因為是正方形，所以. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，. 設(shè)平面的法向量為，則，即. 令，則，.于是. 平面的法向量為，所以. 由題知二面角為銳角，所以它的大小為. （III）由題意知，，. 設(shè)直線與平面所成角為，則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 【考點】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法. 【名師點睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 6. 【xx天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求證：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； （Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長. 【答案】 （1）證明見解析（2） （3） 或 （Ⅱ）易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設(shè)，可得. 因此有，于是. 所以，二面角C—EM—N的正弦值為. （Ⅲ）依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得，.由已知，得，整理得，解得，或. 所以，線段AH的長為或. 【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角 【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易. 【反饋練習(xí)】 1.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90，棱AA1=2，M是A1B1的中點. （1）求cos（，）的值； （2）求證：A1B⊥C1M. 【答案】（1） （2）證明見解析。 （2） 證明：依題意將 2. 如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別在線段，上，，，是的中點. （1）證明：平面； （2）若二面角的大小為，求. 【答案】（1）詳見解析；（2） 3.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點．求證：平面； 4. 【xx湖南長沙市長郡中學(xué)月考】如圖所示，直三棱柱中， ， 為的中點， 為的中點. （1）求證： 面； （2）若面，求二面角的余弦值. 【解析】（1）設(shè)與交于，連接， ∵，則與平行且相等. ∴四邊形為平行四邊形. ∴，又面， 面， ∴面. 所以面的法向量為， 又設(shè)面的法向量為， ， ， ， ，所以，令， 則， ∴. 所以二面角的余弦值為. 【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的. 5. 已知四棱錐中，底面為矩形，底面，，，為上一點，且平面.求的長度； 【答案】 ，則. 即的長為. 6. 【xx廣西賀州市桂梧高中聯(lián)考】如圖，在四棱錐中， ， ， ， 是以為斜邊的等腰直角三角形，且. （1）證明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. （2）解：以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則， ， ， 則， ， 設(shè)是平面的法向量， 則，即， 令得. 由（1）知，平面的一個法向量為， ∴. 由圖可知，二面角的平面角為銳角， 故二面角的平面角的余弦值為. 7. 【xx黑龍省齊齊哈爾市模擬】如圖所示，正三棱柱的底面邊長為2， 是側(cè)棱的中點. （1）證明:平面平面； （2）若平面與平面所成銳角的大小為，求四棱錐的體積. 【解析】解：（1）如圖①，取的中點， 的中點，連接，易知 又，∴四邊形為平行四邊形，∴. 又三棱柱是正三棱柱， ∴為正三角形，∴. 又平面， ,而， ∴平面. 又， ∴平面. 又平面， 所以平面平面 即. 顯然平面的一個法向量為， 所以， 即. 所以. 8. 【xx四川省成都市第七中學(xué)模擬】如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，側(cè)棱，點分別為棱的中點， 的重心為，直線垂直于平面. （1）求證：直線平面； （2）求二面角的余弦. （2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)，則 因為垂直于平面，所以有， 解得，所以 面的法向量，面的法向量為 所以 結(jié)合圖形知，二面角的余弦值為. 9. 【xx湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面 平面， 為中點， . （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）若二面角的平面角大小滿足，求四棱錐的體積.