《重慶大學(xué)二元關(guān)系》PPT課件.ppt

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第3章 集合,3.1 集合的基本概念,1 集合的概念,注意：集合的元素必須滿足： (1)元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象是不是集合的元素是確定的，不能模棱兩可。 (2)元素是能區(qū)分的，即彼此互異，且沒有次序關(guān)系。,一般認(rèn)為，集合是指一些可確定的可分辨事物構(gòu)成的整體。對(duì)于給定的集合和事物，我們稱屬于集合的特定事物為集合的元素，集合的元素可以是任何類型的事物。,集合一般用大寫英文字母表示，而元素用小寫英文字母表示。,3.1 集合的基本概念,2 集合的表示,※ 列舉法 如：A={1,2,3,4}，B={a, b, c, d, e},※ 限制條件法（謂詞概括集合中元素的屬性） 如：A={ x| 0x4 },※ 文氏圖法 畫矩形表示全集E； 在矩形中畫一些圓，其內(nèi)部表示集合，若不作說明，任何兩個(gè)集合應(yīng)是相交的。 如果已知不相交，則應(yīng)該相互分離。 常用陰影部分表示新組成的集合。,3.2 集合與集合的關(guān)系,1 集合間的關(guān)系,定義3.1 設(shè)A、B為集合，如果B中的每個(gè)元素都是A中的元素，則稱B為A的子集合，簡(jiǎn)稱子集。這時(shí)也稱B包含于A，或A包含B，記作B ? A或者A ? B，如果B不被A包含，記作 B ? A。包含關(guān)系可表示為： B ? A ? ( ?x ) (x∈B → x ∈ A),包含關(guān)系的性質(zhì)：,(1)自反性：對(duì)任何集合A，有A ? A； (2)傳遞性：即對(duì)任何集合A、B、C，當(dāng)A ? B和B ? C時(shí)， 有A ? C。,3.2 集合與集合的關(guān)系,定義3.2 設(shè)A、B為集合，如果A ? B且B ? A，則稱A與B相等，記作 A ＝ B?？煞?hào)化為： A＝B ? ( A ? B ) ∧ ( B ? A ),集合相等關(guān)系的性質(zhì)：,(1)自反性：對(duì)任何集合A，有A ＝ A； (2)對(duì)稱性：對(duì)任何集合A、B，當(dāng)A ＝ B時(shí)， 有B ＝ A； (3)傳遞性：對(duì)任何集合A、B、C，當(dāng)A ＝ B和B ＝ C時(shí)， 有A ＝ C。,注意 兩個(gè)集合相等的充要條件是它們的所有元素必須相同。,3.2 集合與集合的關(guān)系,定義3.3 設(shè)A、B為集合，如果B ? A且B ≠ A，則稱B是A的真子集，記作 B ? A?？煞?hào)化為： B ? A ? ( ?x ) (x ∈ B → x ∈ A) ∧ ( ?x ) (x ∈ A ∧ x ? B),2 特殊集合,定義3.4 不含任何元素的集合稱為空集，記作? ?？占强陀^存在的。如： A ＝｛x | x ∈ R ∧ x＞3 ∧ x＜0 ｝,定理3.1 空集是任意集合的子集。,推論 空集是唯一的。,3.2 集合與集合的關(guān)系,定義3.6 設(shè)A為集合，把A的全體子集構(gòu)成的集合叫做A的冪集，記作P (A) ?？煞?hào)化為： P (A) ＝｛x | x ? A｝,結(jié)論 對(duì)于有n個(gè)元素的集合A，其冪集P (A)中有2n個(gè)元素。,定義3.5 在一個(gè)具體的問題中，若所涉及的集合都是某個(gè)集合的子集，則稱這個(gè)集合為全集，記作E。,對(duì)于含有n個(gè)元素的集合簡(jiǎn)稱n元集，它的含有m個(gè)(m ≤ n)元素的子集稱為它的m元子集。,3.2 集合與集合的關(guān)系,例 對(duì)于集合A＝{m, p, q, r}，它的各子集為：,0元子集： ? 1元子集有 個(gè)： {m}, {p}, {q}, {r} 2元子集有 個(gè)： {m, p}, {m, q}, {m, r}, {p, q}, {p, r}, {q, r} 3元子集有 個(gè)： {m, p, q}, {m, p, r}, {m, q, r}, {p, q, r} 4元子集有 個(gè)： {m, p, q, r},一般而言，對(duì)于n元集A，它的m元子集的個(gè)數(shù)為 個(gè)，那么n元集總共所有的子集數(shù)為 ＋ ＋…＋ ，即2n個(gè)子集。,3.3 集合的基本運(yùn)算,1 運(yùn)算符的基本概念,定義3.7 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B 。即： A∪B ＝｛x | x ∈ A∨ x ∈ B ｝,由定義知：A ? A∪B， B ? A∪B 。,例：設(shè)A ? B 且C ? D，求證：A∪C ? B∪D。,證明：由x ∈A∪C ? x ∈ A ∨ x ∈ C,? x ∈ B ∨ x ∈ D,? x ∈ B ∪ D。 所以A∪C ? B∪D，得證。,3.3 集合的基本運(yùn)算,定義3.8 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，由A與B的公共元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B 。即： A ∩ B ＝｛x | x ∈ A∧ x ∈ B ｝,由定義知：A∩B ? A， A∩B ? B 。,例：設(shè)A ? B ，求證：A∩C ? B∩C。,證明：由x ∈A∩C ? x ∈ A ∧ x ∈ C,? x ∈ B ∧ x ∈ C,? x ∈ B ∩ C。 所以A∩C ? B∩C，得證。,3.3 集合的基本運(yùn)算,定義3.9 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合，屬于A的而不屬于B的元素組成的集合，稱為B對(duì)于A的補(bǔ)集(相對(duì)補(bǔ)集)，記作A－B。即 A－B ＝｛x | x ∈ A∧ x ? B ｝,如：若A＝{1,2,3}，B＝{1,4,5}，則 A－B ＝ B－A＝,定義3.10 設(shè)A是集合，A對(duì)于全集E的相對(duì)補(bǔ)集，稱為A的絕對(duì)補(bǔ)集，記為～A。即 ～ A ＝ E－A＝｛x | x ∈E ∧ x ? A ｝＝｛ x | x ? A ｝,如：E＝{m, p, q, r}，A＝{q, r}，則 ～ A ＝{m, p},{2,3},{4,5},3.3 集合的基本運(yùn)算,例 設(shè)A、B是兩任意集合，求證：A－B＝A∩(～B)。,證明：由x ∈A－B ? x ∈ A ∧ x ? B ? x ∈ A ∧ x ∈ (～B) ? x ∈ A∩(～B) 即A－B ? A∩(～B),又x ∈ A∩(～B) ? x ∈ A ∧ x ∈ (～B) ? x ∈ A ∧ x ? B ? x ∈ A－B 故有A∩(～B) ? A－B 由集合相等的定義知： A－B＝A∩(～B)，得證。,意義：將相對(duì)補(bǔ)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為絕對(duì)補(bǔ)和交運(yùn)算。,＝ A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An ＝ A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An,3.3 集合的基本運(yùn)算,定義3.11 設(shè)A、B為集合，所有屬于A或者屬于B，但不同時(shí)屬于A和B的元素組成的集合，稱為A與B的對(duì)稱差集合，記作A ? B。即 A ? B ＝(A－B) ∪ (B－A) ＝ (A ∪ B) －(A ∩B),如：A＝{1,2,3}，B＝{1,4,5}，則 A ? B ＝ (A ∪ B) －(A ∩B)＝{2, 3, 4, 5},交、并集的推廣,3.3 集合的基本運(yùn)算,文氏圖的表示,3.3 集合的基本運(yùn)算,2 集合的運(yùn)算律,設(shè)A、B、C為任意集合，E表示全集，則：,等冪律： A∩A＝A A∪A＝A 交換律： A∩B＝B∩A A∪B＝B∪A 結(jié)合律： (A∩B)∩C ＝ A∩(B∩C) (A∪B)∪C ＝ A∪(B∪C) 同一律： A∩E＝A A∪E＝E 零律： A∩?＝? A∪?＝A,3.3 集合的基本運(yùn)算,分配律： A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) 吸收律： A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A 對(duì)偶性： (A∩B)*＝A∪B (A∪B)*＝A∩B A**＝A 雙重否定律： ～(～A)＝A 唯一性： ～E＝? ～?＝E 排中律： A∪～A＝E 矛盾律： A∩～A＝?,3.3 集合的基本運(yùn)算,得摩根律： ～ (B∪C)＝～B∩～C ～ (B∩C)＝～B∪～C A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) 差分運(yùn)算性質(zhì)： A－B＝A∩(～B) A－B＝A－(A∩B) (A－B)∩B＝? A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C) 對(duì)稱差運(yùn)算性質(zhì)： A?B＝B?A A??＝A A?A＝? (A?B)?C＝A?(B?C),3.3 集合的基本運(yùn)算,集合的并、交、絕對(duì)補(bǔ)和對(duì)稱差運(yùn)算的邏輯運(yùn)算符定義：,A ∪ B ＝｛x | x ∈ A∨ x ∈ B ｝ A ∩ B ＝｛x | x ∈ A∧ x ∈ B ｝ ～ A ＝ ｛x | x ? A ｝＝｛ x | ﹁ x ∈ A ｝ A ? B ＝｛x | x ∈ A x ∈ B ｝,集合恒等式的證明可以利用命題邏輯中的各種命題等值式進(jìn)行等值演算來證明。,說明,作業(yè)8（A本） P71：6（2、4） P72：10（3、4）,3.4 集合中元素的計(jì)數(shù),1 基本概念,定義3.12 集合A中元素的個(gè)數(shù)稱為集合的基數(shù)，記為|A|。,如果一個(gè)集合的基數(shù)是有限的，則稱這個(gè)集合為有窮集；如果一個(gè)集合的基數(shù)是無(wú)限的，則稱這個(gè)集合為無(wú)窮集。 顯然，|?|＝0。 ｛a, b, c｝是有窮集，N、Z、Q、R是無(wú)窮集。,例 求在1和1000之間不能被5或6，也不能被8整除的整數(shù)。,解 設(shè)1到1000之間的整數(shù)構(gòu)成全集E，A、B、C分別表示其中可被5、6或者8整除的數(shù)的集合。,A、B、C的基數(shù)分別為： |A|＝ ?1000/5? ＝200 |B|＝ ?1000/6? ＝166 |C|＝ ?1000/8? ＝125 |A∩B|＝ ?1000/[5,6]? ＝ ?1000/30? ＝33 |A∩C|＝ ?1000/[5,8]? ＝ ?1000/40? ＝25 |B∩C|＝ ?1000/[6,8]? ＝ ?1000/24? ＝41 |A∩B∩C|＝ ?1000/[5,6,8] ? ＝ ?1000/120? ＝8,3.4 集合中元素的計(jì)數(shù),將各個(gè)數(shù)值填入文氏圖如上所示，可得|A∪B∪C|＝400 則不能被5、6、8整除的數(shù)有：|E|－|A∪B∪C|＝600,3.4 集合中元素的計(jì)數(shù),2 包含排斥定理,定理3.2 設(shè)有窮集合A、B，它們的基數(shù)分別為|A|和|B|，則有A∪B的基數(shù)為： |A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|,推廣到n個(gè)有窮集合時(shí)，有如下定理：,定理3.3 設(shè)A1，A2，…，An為個(gè)有窮集合，它們的基數(shù)分別為|A1|，|A2|，…，|An| ，則有A1∪A2 ∪… ∪An的基數(shù)為：,3.4 集合中元素的計(jì)數(shù),包含排斥原理的另一種表示方法：,定理3.4 設(shè)S為有窮集合，P1，P2，…，Pn 是n條性質(zhì)，令A(yù)i表示S中具有性質(zhì)Pi的元素構(gòu)成的集合，則S中不具有性質(zhì)P1，P2，…，Pn的元素個(gè)數(shù)是：,例 假設(shè)某班有20名學(xué)生，其中有10人英語(yǔ)成績(jī)?yōu)閮?yōu)，有8 人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)，又知有6人英語(yǔ)和數(shù)學(xué)成績(jī)都為優(yōu)。問兩門課都不為優(yōu)的學(xué)生有幾名？,3.4 集合中元素的計(jì)數(shù),解 設(shè)英語(yǔ)成績(jī)是優(yōu)的學(xué)生組成的集合是A，數(shù)學(xué)成績(jī)是優(yōu)的學(xué)生組成的集合是B，因此兩門課成績(jī)都是優(yōu)的學(xué)生組成的集合是A∩B。由題意可知 |A|＝10 |B|＝8 |A∩B|＝6 |S|＝20,由包含排斥原理可得： |A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B| ＝10＋8－6 = 12,所以，兩門課都不是優(yōu)的學(xué)生數(shù)為： |S|－|A∪B|＝ 20－|A∪B|＝8。,3.4 集合中元素的計(jì)數(shù),一位團(tuán)體共有25人，其中會(huì)象棋的12人，會(huì)軍棋的6人，會(huì)圍棋的14人，會(huì)象棋和圍棋的6人，會(huì)軍棋和圍棋的5人，3種棋都會(huì)的有2人，會(huì)軍棋并且會(huì)象棋或者是圍棋的有6人。計(jì)算不會(huì)這3種棋的人數(shù)。,思考題：,假設(shè)：A：會(huì)象棋的人的集合， B：示會(huì)軍棋的人的集合， C：示會(huì)圍棋的人的集合 只需計(jì)算|S|－| A∪B ∪C |即可。,