人教版八年級數(shù)學上冊《第13章軸對稱》單元測試含答案解析.doc

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《第13章 軸對稱》 　 一、選擇題 1．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．已知點A（4，3）和點B是坐標平面內(nèi)的兩個點，且它們關(guān)于直線x=﹣3對稱，則平面內(nèi)點B的坐標為（　?。? A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3） 3．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為（　　） A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD 4．桌面上有A，B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點中，可以瞄準的點有（　　）個． A．1 B．2 C．4 D．6 5．把一個正方形三次對折后沿虛線剪下，如圖所示，則所得的圖形是（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，△ABC中∠ACB=90，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AF交CD于E，則△CEF必為（　?。? A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 　 二、填空題 7．把一張紙各按圖中那樣折疊后，若得到∠AOB′=70，則∠B′OG=　　度． 8．如圖，黑顏色的三角形與哪些圖形成軸對稱　　（填寫序號） 9．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，DE垂直平分AC，則△BDC的周長是　?。? 10．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　　度． 11．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有　　個． 12．如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實際時刻是　?。? 13．已知：等腰三角形的周長為50厘米，若底邊長為x厘米，則x的取值范圍是　?。? 　 三、畫圖題 14．直線l的兩旁分別有點A、B，在直線l求作一點P使|PB﹣PA|最大． 15．如圖，某住宅小區(qū)擬在休閑場地的三條道路上修建三個涼亭A、B、C且涼亭與長廊兩兩連通．如果涼亭A、B的位置己經(jīng)選定，那么涼亭C建在什么位置，才能使工程造價最低？請用尺規(guī)作出圖形（不寫作法，但保留作圖痕跡），并簡要說明理由． 　 四、證明題 16．已知：如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，B、D、C三點在一條直線上，AC⊥CE，判斷線段DE與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 判斷：　　 證明： 17．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延長線交BC于E． 求證：AE⊥BC． 　 四、綜合題 18．已知：AD是等腰△ABC一邊上的高，且∠DAB=60，∠ABC=　　度． 19．已知：如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，點F是CD中點，連BF交AC于點E，∠ABE+∠CEB=180，比較線段BD與CE的大小，并證明你的結(jié)論． 20．如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AB=AC，∠ABD=60，過D作ED⊥AD，交AC于點E，恰有DE平分∠BDC．試判斷線段CD、BD與AC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 　 《第13章 軸對稱》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．據(jù)此可知只有第三個圖形不是軸對稱圖形． 【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義： 第一個圖形和第二個圖形有2條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意； 第三個圖形找不到對稱軸，則不是軸對稱圖形，不符合題意． 第四個圖形有1條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意； 軸對稱圖形共有3個． 故選：C． 【點評】本題考查了軸對稱與軸對稱圖形的概念．軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合． 　 2．已知點A（4，3）和點B是坐標平面內(nèi)的兩個點，且它們關(guān)于直線x=﹣3對稱，則平面內(nèi)點B的坐標為（　?。? A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3） 【考點】坐標與圖形變化-對稱． 【分析】根據(jù)軸對稱的定義列式求出點B的橫坐標，然后解答即可． 【解答】解：設(shè)點B的橫坐標為x， ∵點A（4，3）與點B關(guān)于直線x=﹣3對稱， ∴=﹣3， 解得x=﹣10， ∵點A、B關(guān)于直線x=﹣3對稱， ∴點A、B的縱坐標相等， ∴點B（﹣10，3）． 故選D． 【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，熟記對稱的性質(zhì)并列出方程求出點B的橫坐標是解題的關(guān)鍵． 　 3．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為（　?。? A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD 【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)AB=AC，判斷出∠B=∠C=30，從而求出∠BAC=120，然后根據(jù)∠BAD=90，求出∠1=30，得到DC=AD，然后根據(jù)30的角所對的直角邊是斜邊的一半解答． 【解答】解：∵AB=AC，∠C=30， ∴∠B=∠C=30， ∴∠BAC=180﹣302=120， 又∵BAD=90， ∴∠1=120﹣90=30， ∴∠1=∠C=30， ∴DC=AD， ∵在Rt△ABD中，∠B=30， ∴AD=BD， 則CD=BD． ∴BD=2CD． 故選B． 【點評】本題考查了含30角的直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，知道30度的角所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵． 　 4．桌面上有A，B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點中，可以瞄準的點有（　　）個． A．1 B．2 C．4 D．6 【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象． 【專題】應用題． 【分析】根據(jù)題意分析可得：分別找出入射點B和反射點B，看看是否符合即可． 【解答】解： 由圖可知可以瞄準的點有2個．． 故選B． 【點評】本題考查軸對稱圖形的定義．如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸．解此題關(guān)鍵是找準入射點和反射點． 　 5．把一個正方形三次對折后沿虛線剪下，如圖所示，則所得的圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】剪紙問題． 【專題】操作型． 【分析】把一個正方形的紙片向上對折，向右對折，向右下方對折，從上部剪去一個等腰直角三角形，展開，看得到的圖形為選項中的哪個即可． 【解答】解：從折疊的圖形中剪去8個等腰直角三角形，易得將從正方形紙片中剪去4個小正方形，故選C． 【點評】考查學生的動手操作能力，也可從剪去的圖形入手思考． 　 6．如圖，△ABC中∠ACB=90，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AF交CD于E，則△CEF必為（　　） A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【考點】等腰三角形的判定． 【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠1=∠2，再根據(jù)等角的余角相等求出∠3=∠4，根據(jù)對頂角相等可得∠5=∠4，然后求出∠3=∠5，再利用等角對等邊可得CE=CF，從而得解． 【解答】解：如圖，∵AF是∠BAC的平分線， ∴∠1=∠2， ∵∠ACB=90，CD是AB邊上的高， ∴∠1+∠3=90， ∠2+∠4=90， ∴∠3=∠4， ∵∠5=∠4（對頂角相等）， ∴∠3=∠5， ∴CE=CF， ∴△CEF是等腰三角形． 故選B． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，利用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象． 　 二、填空題 7．把一張紙各按圖中那樣折疊后，若得到∠AOB′=70，則∠B′OG=　55　度． 【考點】角的計算． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)題意∠B′OG=∠BOG，根據(jù)平角和角平分線的定義即可求得． 【解答】解：由題意可得∠B′OG=∠BOG， 則∠B′OG=（180﹣∠AOB′）2=55． 故答案為55． 【點評】已知折疊問題就是已知圖形全等，因而得到相等的角． 　 8．如圖，黑顏色的三角形與哪些圖形成軸對稱　1，3，5，7?。ㄌ顚懶蛱枺? 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：由軸對稱的性質(zhì)可知，黑顏色的三角形與1，3，5，7可形成軸對稱圖形． 故答案為：1，3，5，7． 【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，DE垂直平分AC，則△BDC的周長是　14　． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD=CD． ∵AB=AC=8，BC=6， ∴△BDC的周長=BC+（BD+CD）=BC+（BD+AD）=BC+AB=6+8=14． 故答案為：14． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60，∠ACD=120， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30，∠FDE=150， ∵DF=DE， ∴∠E=15． 故答案為：15． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補兩角和為180以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中． 　 11．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有　4　個． 【考點】坐標與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點；符合條件的點一共4個． 【解答】解：分二種情況進行討論： 當OA為等腰三角形的腰時，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點； 當OA為等腰三角形的底時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點． ∴符合條件的點一共4個． 故答案為：4． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質(zhì)；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點，比較形象易懂． 　 12．如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實際時刻是　8：00?。? 【考點】鏡面對稱． 【分析】鏡子中的時間和實際時間關(guān)于鐘表上過6和12的直線對稱，作出相應圖形，即可得到準確時間． 【解答】解：由圖中可以看出，此時的時間為8：00． 故答案為：8：00． 【點評】考查了鏡面對稱的知識，解決本題的關(guān)鍵是找到相應的對稱軸；難點是作出相應的對稱圖形． 　 13．已知：等腰三角形的周長為50厘米，若底邊長為x厘米，則x的取值范圍是　0＜x＜25?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】已知周長和底邊，可表示腰長．根據(jù)三角形三邊關(guān)系得不等式求解． 【解答】解：∵等腰三角形的周長為50，底邊長為x， ∴兩腰和=50﹣x． ∴50﹣x＞x＞0， 解得 0＜x＜25． 故答案是：0＜x＜25． 【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)出的底邊的長表示出兩腰的和，難度不大． 　 三、畫圖題 14．直線l的兩旁分別有點A、B，在直線l求作一點P使|PB﹣PA|最大． 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】點A關(guān)于直線l的對稱點A′，則PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，則當A′，B、P在一條直線上時，|PA﹣PB|的值最大． 【解答】解：如圖所示： 作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連A′B并延長交直線l于P． 【點評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵． 　 15．如圖，某住宅小區(qū)擬在休閑場地的三條道路上修建三個涼亭A、B、C且涼亭與長廊兩兩連通．如果涼亭A、B的位置己經(jīng)選定，那么涼亭C建在什么位置，才能使工程造價最低？請用尺規(guī)作出圖形（不寫作法，但保留作圖痕跡），并簡要說明理由． 【考點】作圖—應用與設(shè)計作圖． 【分析】工程造價最低，那么三個涼亭間的距離最短，又在直線l上，那么應作出點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C，點C就是所求的點． 【解答】解：三個涼亭間的距離實際相當于AB的距離，兩點之間，線段最短，所以符合題意． 【點評】涉及在同一條直線的一旁的兩點與這條直線上的一點的最短路線問題，一般屬于點關(guān)于直線對稱問題． 　 四、證明題 16．已知：如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，B、D、C三點在一條直線上，AC⊥CE，判斷線段DE與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 判斷：　DE=AC　 證明： 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【專題】探究型． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，由△ABC為等邊三角形得到AC=BC，∠ACB=60，則由AC⊥CE可計算出∠BCE=30，再利用△BDE為等邊三角形得到DE=BE，∠DBE=60，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠BEC=90，然后在Rt△BEC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得BE=BC，所以DE=AC． 【解答】解：DE=AC． 證明如下：∵△ABC為等邊三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60， ∵AC⊥CE， ∴∠ACE=90， ∴∠BCE=90﹣60=30， ∵△BDE為等邊三角形， ∴DE=BE，∠DBE=60， ∴∠BEC=180﹣60﹣30=90， 在Rt△BEC中，∵∠BCE=30， ∴BE=BC， ∴DE=AC． 故答案為DE=AC． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 17．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD的延長線交BC于E． 求證：AE⊥BC． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先證明∠DBC=∠DCB，可得DB=DC，根據(jù)線段垂直平分線的判定可得D在BC的垂直平分線上，由AB=AC，得出A在BC的垂直平分線上，于是AD垂直平分BC，即AE⊥BC． 【解答】證明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACD， 即∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC， ∴D在BC的垂直平分線上， ∵AB=AC， ∴A在BC的垂直平分線上， ∵兩點確定一條直線， ∴AD垂直平分BC， ∴AE⊥BC． 【點評】此題考查了等腰三角形的判定，線段垂直平分線的判定，難度適中．證明出D在BC的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵． 　 四、綜合題 18．已知：AD是等腰△ABC一邊上的高，且∠DAB=60，∠ABC=　30或150　度． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由于BC為腰，則點B可為頂角的頂點，也可為底角的頂點，高AD可在三角形內(nèi)部也可在三角形外部，故應分三種情況分析計算． 【解答】解：由題意得，分三種情況： （1）當點B為頂角的頂點時，且AD在三角形內(nèi)部，∠ABC=90﹣∠DAB=90﹣60=30； （2）當點B為頂角的頂點時，且AD在三角形外部，∠ABC=∠D+∠DAB=90+∠60=150； （3）當點C為頂角的頂點時，∠ABC=90﹣∠DAB=90﹣60=30， 當點A為頂角的頂點時，AD在三角形內(nèi)部，∠ABC=﹣∠ADB﹣∠DAB=90﹣60=30， 故答案為：30或150 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)．注意分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 19．已知：如圖，△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，點F是CD中點，連BF交AC于點E，∠ABE+∠CEB=180，比較線段BD與CE的大小，并證明你的結(jié)論． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】延長BF至點G，使FG=BF，連CG，證△GFC≌△BFD，∠CGF=∠FBD，CG=DB，求出∠CGF=∠CEG，推出CG=CE，即可得出答案． 【解答】結(jié)論：BD=CE 證明：延長BF至點G，使FG=BF，連CG， ∵F為CD中點， ∴CF=DF， 在△GFC和△BFD中 ∴△GFC≌△BFD（SAS）， ∴∠CGF=∠FBD，CG=DB， 又∵∠ABE+∠CEB=180，∠CEG+∠CEB=180， ∴∠CGF=∠CEG， ∴CG=CE， ∴BD=CE． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用．正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AB=AC，∠ABD=60，過D作ED⊥AD，交AC于點E，恰有DE平分∠BDC．試判斷線段CD、BD與AC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】求出∠ADB=∠ADF，根據(jù)SAS證△ABD≌△FED，推出∠F=∠ABD=60，AB=AF=AC，得出△ACF是等邊三角形，推出AC=CF即可． 【解答】解：AC=BD+CD， 理由是：延長CD到F，使DF=BD，連接AF， ∵ED⊥AD，DE平分∠BDC， ∴∠ADB=90﹣∠BDC， ∴∠ADF=180﹣（90﹣∠BDC）﹣∠BDC=90﹣， ∴∠ADB=∠ADF， 在△ABD和△AFD中，， ∴△ABD≌△AFD（SAS）， ∴∠F=∠ABD=60，AB=AF， ∵AB=AC， ∴AF=AC， ∴△ACF是等邊三角形， ∴AC=CF=CD+DF=BD+CD． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 　 第18頁（共18頁）