高數(shù)高等教育出版社少學(xué)時.ppt

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1,無窮小的性質(zhì),極限的四則運算法則,1.5 極限運算法則,2,證明,設(shè)?及?是當x?x0時的兩個無窮小?,則?? ?0?,??1?0?,當0?|x?x0|??1 時? 有|?|?? ?,??2?0?,當0?|x?x0|??2 時? 有|?|?? ?,取? ?min{?1? ?2}?,則當0?|x?x0|??時? 有,這說明??? 也是當x?x0時的無窮小?,|???|?|?|?|?|?2? ?,定理1 有限個無窮小的和也是無窮小?,無窮小的性質(zhì),僅就兩個x?x0時的無窮小情形證明?,舉例:,當x?0時? x與sin x都是無窮小? 所以x?sin x也是當x?0時的無窮小?,3,設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域{x|0?|x?x0|??1}內(nèi)有界? 即?M?0? 使當0?|x?x0|??1時? 有|u|?M?,又設(shè)?是當x?x0時的無窮小? 即???0? 存在?2?0? 使當0?|x?x0|??2時? 有|?|?? ? 取??min{?1? ?2}? 則當0?|x?x0|?? 時? 有 |u??|?|u|?|?|?M? ? 這說明u?? 也是當x?x0時的無窮小?,證明,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小?,定理1 有限個無窮小的和也是無窮小?,無窮小的性質(zhì),4,舉例:,推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小?,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小?,定理1 有限個無窮小的和也是無窮小?,無窮小的性質(zhì),推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小?,5,(2)lim f(x)?g(x)=lim f(x)?lim g(x)=A?B?,推論1 如果lim f(x)存在? 而c為常數(shù)? 則 lim[c?f(x)]=c?limf(x)?,推論2 如果limf(x)存在? 而n是正整數(shù)? 則 lim[f(x)]n=[limf(x)]n ?,定理3 如果 lim f(x)=A? lim g(x)=B? 那么,極限的四則運算法則,(1)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)=A?B? ,6,數(shù)列極限的四則運算法則,定理5 如果j(x)?y(x)? 而limj(x)=a? limy(x)=b? 那么a?b?,不等式,定理4 設(shè)有數(shù)列{xn}和{yn}? 如果,那么,7,求極限舉例,討論,提示,解,,解,例2 求,例1 求,8,解,解,根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得,因為,例4,例3 求,9,討論,提示,當Q(x0)?P(x0)?0時? 約去分子分母的公因式(x?x0) ?,10,先用x3去除分子及分母? 然后取極限?,解,先用x2去除分子及分母? 然后取極限?,解:,例6,例5 求,11,討論,提示,解,所以,例7,12,解 當x??時? 分子及分母的極限都不存在? 故關(guān)于商的極限的運算法則不能應(yīng)用?,是無窮小與有界函數(shù)的乘積?,例8,13,定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則),說明,設(shè)函數(shù)y?f[g(x)]是由函數(shù)y?f(u)與函數(shù)u?g(x)復(fù)合而成? f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義? 若g(x)?u0(x?x0)? f(u)?A(u?u0)? 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)?u0? 則,把定理中g(shù)(x)?u0(x?x0)換成g(x)??(x?x0或x??)? 而把f(u)?A(u?u0)換成f(u)?A(u??)可類似結(jié)果?,,14,定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運算法則),設(shè)函數(shù)y?f[g(x)]是由函數(shù)y?f(u)與函數(shù)u?g(x)復(fù)合而成? f[g(x)]在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義? 若g(x)?u0(x?x0)? f(u)?A(u?u0)? 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)?u0? 則,例9,,,是由,與,復(fù)合而成的,.,,,解,15,總結(jié),1、極限的四則運算法則及其推論;,2、極限求法;,a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,3、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則,