試驗(yàn)5-特征值、特征向量和二次型.ppt

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1,方陣的特征值、特征向量和二次型,實(shí)驗(yàn)?zāi)康?熟悉利用MATLAB中有關(guān) 方陣的跡 方陣的特征值、特征向量 二次型 的操作方法,2,1. 方陣的跡,矩陣A的跡是指矩陣的對角線上元素的和，也 等于矩陣的特征值的和。 命令格式為：trace(A) 例1. 設(shè) ，計(jì)算A的跡t. 程序設(shè)計(jì) A=[1 1 1;2 –1 0;1 0 1]; t=trace(A) t= 1,3,例2. 設(shè) ，計(jì)算A的跡t。 程序設(shè)計(jì) A=[8 6 5 2;3 2 2 1;4 2 3 1;3 5 1 1]; t=trace(A) t= 14,,4,2. 方陣的特征值與特征向量,手工計(jì)算方陣的特征值與特征向量并不是一件 容易的事，而用MATLAB來計(jì)算方陣的特征值與 特征向量只需要一個(gè)簡單的命令。這里需注意兩個(gè) 英文單詞：eigenvalues（特征值）和 eigenvectors （特征向量）。理解這兩個(gè)單詞，對以下命令的 使用是有好處的。 計(jì)算方陣的特征值與特征向量的命令格式為： eig(A) 給出方陣A的所有特征值,5,[V, D]=eig(A) 給出由方陣A的所有特征值組成的對角 矩陣D和特征向量矩陣V，滿足 A*V=V*D, 或者 A=V*D*V-1， 第k個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量是V的第k 個(gè)列向量。 poly(A) 當(dāng)A是n階方陣時(shí)，給出的是A的特征 多項(xiàng)式的n+1個(gè)按降冪排列的系數(shù)。即 特征多項(xiàng)式 |λE-A|=DET(lambda*EYE(SIZE(A))-A) 的系數(shù),6,例3. 設(shè) ，計(jì)算A的特征值和特征向 量。 程序設(shè)計(jì) ： A=[8 6 5 2;3 2 2 1;4 2 3 1;3 5 1 1] A= 8 6 5 2 3 2 2 1 4 2 3 1 3 5 1 1,,7, eig(A) % A的特征值 ans= 13.5891 0.9455 0.1191 -0.6537,8, [V, D]=eig(A) % A的特征值與特征向量 V= % A的特征向量，列向量 -0.7985 -0.0957 -0.6547 0.1876 -0.3038 0.1230 0.2322 -0.3533 -0.3913 -0.3777 0.7118 -0.2531 -0.3420 0.9127 0.1038 0.8809 D= % 對角元素是A的特征值 13.5891 0 0 0 0 0.9455 0 0 0 0 0.1191 0 0 0 0 -0.6537,9, V*D*inv(V) % 驗(yàn)證A=V*D*V-1 ans= 8.0000 6.0000 5.0000 2.0000 3.0000 2.0000 2.0000 1.0000 4.0000 2.0000 3.0000 1.0000 3.0000 5.0000 1.0000 1.0000 a1=V( : ,1) % 特征值λ1=13.5891對應(yīng)的特征向量 a1= -0.7985 -0.3038 -0.3913 -0.3420,10, a2=V( : ,2) % 特征值λ2=0.9455對應(yīng)的特征向量 a2= -0.0957 0.1230 -0.3777 0.9127 a3=V( : ,3) % 特征值λ3=0.1191對應(yīng)的特征向量 a3= -0.6547 0.2322 0.7118 0.1038,11, a4=V( : ,4) % 特征值λ4=-0.6537對應(yīng)的特征向量 a4= 0.1876 -0.3533 -0.2531 0.8809,12, c=poly(A) % A的特征多項(xiàng)式的n+1個(gè)按降冪排列的系數(shù) c= Columns 1 through 5 1 -14 5 8 -1 f=poly2sym(c) % 將多項(xiàng)式向量c表示為符號(hào)形式 f= x^4-14*x^3+5*x^2+8*x- 9007199254740961/9007199254740992 % f 即為A的特征多項(xiàng)式|λE-A|=λ4-14λ3+5λ2+8λ-1,13,例4. 設(shè) ，計(jì)算A的特征值與特征 向量。 程序設(shè)計(jì) A=[1 1 1 1;1 1 –1 –1;1 –1 1 –1;1 –1 –1 1]; eig(A) % A的特征值 ans= -2.0000 2.0000 2.0000 2.0000,,14, [V,D]=eig(A) % A的特征值與特征向量 V= % A的特征向量，列向量 -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.2113 0.5000 -0.5774 -0.2887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0 D= % 對角線元素是A的特征值 -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000,15,c=poly(A) % A的特征多項(xiàng)式的n+1個(gè)按降冪排列的系數(shù) c= Columns 1 through 5 1 -4 0 16 -16 f =poly2sym(c) % 將多項(xiàng)式向量c表示為符號(hào)形式 f= x^4-4*x^3+3/1125899906842624*x^2+16*x-16 % f 即為A的特征多項(xiàng)式|λE-A|=λ4-4λ3+16λ-16,16,例5. 設(shè) ，計(jì)算正交矩陣 ，使 得 為對角矩陣。 程序設(shè)計(jì) A=[0 1 1 –1;1 0 –1 1;1 –1 0 1;-1 1 1 0]; isequal(A, A ) % 判斷A和A是否相等，即A是否是對稱矩陣 ans= 1 % A是對稱矩陣,,,,17, [Q,D]=eig(A) % A的特征值與特征向量滿足A*Q=Q*D Q= -0.5000 0.2887 0.7887 0.2113 0.5000 -0.2887 0.2113 0.7887 0.5000 -0.2887 0.5774 -0.5774 -0.5000 -0.8660 0 0 D= -3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1,18,Q ans= -0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 0.2887 -0.2887 -0.2887 -0.8660 0.7887 0.2113 0.5774 0 0.2113 0.7887 -0.5774 0 inv(Q) ans= -0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 0.2887 -0.2887 -0.2887 -0.8660 0.7887 0.2113 0.5774 0 0.2113 0.7887 -0.5774 0 % Q現(xiàn)在是正交矩陣，因?yàn)镼 =inv(Q),19,Q *A*Q % 得到結(jié)果Q *A*Q=D或者A=Q*D*Q ans= -3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 程序說明：當(dāng)矩陣A為實(shí)對稱矩陣時(shí)，[V,D]=eig(A) 給出由方陣A的所有特征值組成的對角矩陣D和特征向量矩陣V，這時(shí)的V已經(jīng)是一個(gè)正交矩陣。,20,3. 二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型,對任意的實(shí)二次型 ，其中 是 階實(shí)對稱矩陣，一定可以經(jīng)過正交的變量替 換 變成標(biāo)準(zhǔn)形 其中，系數(shù) 是實(shí)對稱矩陣 的全部 特征值。 在MATLAB中，可以運(yùn)用eig命令，計(jì)算系 數(shù)矩陣 的特征值矩陣 和特征向量矩陣 ， 即可得到正交變換 以及二次型的標(biāo)準(zhǔn)型。,,,,,,,,,,,,21,例6. 計(jì)算正交的變量替換 ，化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型。 程序設(shè)計(jì) A=[1 1 0 –1;1 1 –1 0;0 –1 1 1;-1 0 1 1] % 二次型的系數(shù)矩陣 A A= 1 1 0 -1 1 1 -1 0 0 -1 1 1 -1 0 1 1,,,22, syms x1 x2 x3 x4; % 變量聲明 X=[x1 x2 x3 x4] X = [ conj(x1)] [ conj(x2)] [ conj(x3)] [ conj(x4)] f =X *A*X % 二次型 f = (x1+x2-x4)*conj(x1)+(x1+x2-x3)*conj(x2)+(- x2+x3+x4)*conj(x3)+(-x1+x3+x4)*conj(x4) % 對于一個(gè)復(fù)數(shù)X，CONJ(X)=REAL(X)-I*IMAG(X)，即X的復(fù)共軛,23, [P,D]=eig(A) % 計(jì)算系數(shù)矩陣A的特征值矩陣D和特征向量矩陣P P= % 特征向量矩陣P -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000 D= % 特征值矩陣D -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000,24, syms y1 y2 y3 y4; % 變量聲明 Y=[y1;y2;y3;y4] Y= [y1] [y2] [y3] [y4],25, X=P*Y % 正交變換X=PY X= [-1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y2+29/144115188075855872*y3+1/2*y4] [1/2*y1- 5822673418478107/40564819207303340847894502572032*y2+ 1/2*2^(1/2)*y3+1/2*y4] [1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y2+3/144115188075855872*y3-1/2*y4] [-1/2*y1+1/2*2^(1/2)*y3-1/2*y4] f =Y *D*Y % 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 f = -conj(y1)*y1+conj(y2)*y2+conj(y3)*y3+3*conj(y4)*y4,26,例7. 計(jì)算正交的變量替換 ，化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型。 程序設(shè)計(jì) A=[4 2 2;2 4 2;2 2 4] % 二次型的系數(shù)矩陣 A= 4 2 2 2 4 2 2 2 4 format short,,,27, [P,D]=eig(A) % 計(jì)算系數(shù)矩陣A的特征值矩陣D和特征向量矩陣P P= 0.4082 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 -0.8165 0 0.5774 D= 2.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 8.0000,28, syms x1 x2 x3 y1 y2 y3; % 變量聲明 X=[x1;x2;x3]; Y=[y1;y2;y3]; X=P*Y % 正交變換X=PY X= [1/6*6^(1/2)*y1+1/2*2^(1/2)*y2+1/3*3^(1/2)*y3] [1/6*6^(1/2)*y1-1/2*2^(1/2)*y2+1/3*3^(1/2)*y3] [-1/3*6^(1/2)*y1+1/3*3^(1/2)*y3] f=Y *D*Y % 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 f = 2*y1*conj(y1)+2*y2*conj(y2)+8*y3*conj(y3),29,4. 二次型的正定性判定,實(shí)二次型 稱為正定二次型，如果對 任何 ，都有 。 正定二次型的矩陣稱為正定矩陣。 判定二次型為正定的充分必要條件是，它的 系數(shù)矩陣A的特征值全部為正，或者A的各階主子 為正。 在MATLAB中，可以運(yùn)用eig命令計(jì)算系數(shù)矩 陣A的特征值矩陣D或者計(jì)算A的各階主子式來進(jìn) 行判定。,,,,30,例8. 判定二次型 的正定性。 程序設(shè)計(jì): example8.m clear all % 清除各種變量 A=[2 2 –2;2 5 –4;-2 –4 5] D=eig(A) if all(D0) fprintf(二次型正定 ) else fprintf(二次型非正定 ) end,31,運(yùn)行結(jié)果： A= 2 2 -2 2 5 -4 -2 -4 5 D= 1.0000 1.0000 10.0000 二次型正定,32,例9. 利用主子式法判定二次型 的正定性。 程序設(shè)計(jì)：example9.m clear all A=[1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19] c=1;,33,for i=1:4 fprintf(第%d階主子式為, i ) B=A(1:i,1:i) fprintf(第%d階主子式的值為, i ) det(B) if (det(B)0) c=-1; break end end if(c==-1) fprintf(判定的結(jié)論：二次型非正定 ) else fprintf(判定的結(jié)論：二次型正定 ) end,34,執(zhí)行的結(jié)果： A= 1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 第1階主子式為 B= 1 第1階主子式的值為 ans= 1,35,第2階主子式為 B= 1 -1 -1 3 第2階主子式的值為 ans= 2 第3階主子式為 B= 1 -1 2 -1 3 0 2 0 9,36,第3階主子式的值為 ans= 6 第4階主子式為 B= 1 -1 2 1 -1 3 0 -3 2 0 9 -6 1 -3 -6 19 第4階主子式的值為 ans= 24 判定的結(jié)論：二次型正定,37,例10. 判定二次型 的正定性。 程序設(shè)計(jì)：example10.m clear all A=[10 4 12;4 2 –14;12 –14 1] c=1; for i=1:3 fprintf(第%d階主子式為, i ) B=A(1:i,1:i) fprintf(第%d階主子式的值為, i ),,38,det(B) if (det(B)0) c=-1; break end end if (c==-1) fprintf(判定的結(jié)論：二次型非正定 ) else fprintf(判定的結(jié)論：二次型正定 ) end,39,執(zhí)行的結(jié)果： A= 10 4 12 4 2 -14 12 -14 1 第1階主子式為 B= 10 第1階主子式的值為 ans= 10 第2階主子式為,40,B= 10 4 4 2 第2階主子式的值為 ans= 4 第3階主子式為 B= 10 4 12 4 2 -14 12 -14 1 第3階主子式的值為 ans= -3588 判定的結(jié)論：二次型非正定,