2019-2020年九年級數學下冊 第3章 圓 3.3 垂徑定理教案 （新版）北師大版.doc

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2019-2020年九年級數學下冊 第3章 圓 3.3 垂徑定理教案 （新版）北師大版 ◆ 模式介紹 “探究式教學”是指學生在學習概念和原理時，教師只是給他們一些事例和問題，讓學生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑去主動探究，自行發(fā)現并掌握相應的原理和結論的一種教學方法．它的指導思想是在教師的指導下，以學生為主體，讓學生自覺地、主動地探索，掌握認識和解決問題的方法和步驟，研究客觀事物的屬性，發(fā)現事物發(fā)展的起因和事物內部的聯系，從中找出規(guī)律，形成概念，建立自己的認知模型和學習方法架構．探究式教學法能充分發(fā)揮了學生的主體作用． 探究式教學通常包括以下五個教學環(huán)節(jié)： 創(chuàng)設情境——啟發(fā)思考——探究問題——形成結論——鞏固提高 ◆ 設計說明 首先通過問題1由學生親自動手操作得出“圓是軸對稱圖形”的結論，為接下來證明垂徑定理打下基礎；問題2通過趙州橋拱的半徑問題來激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生進一步探究的欲望．問題3讓學生回顧圓是軸對稱圖形及其對稱軸是經過圓心的直線，問題4顯現垂徑定理的條件，為即將探索與證明垂徑定理作準備．問題5和問題6探索并證明了垂徑定理及其推論．最后通過例、習題的鞏固，突出了垂徑定理及其推論的應用． ◆ 教材分析 本節(jié)是北師大版義務教育教科書《數學》九年級下冊第三章《圓》的第3節(jié)《垂徑定理》的教學內容，本節(jié)課是在學生學習了圓的相關概念和圓的對稱性的基礎上進行的，本節(jié)內容是根據圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其有關的結論．垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是證明線段或角相等以及垂直關系的重要依據，同時也為有關圓的一些計算和作圖問題提供了方法和依據． 對于垂徑定理的學習，要幫助學生分析定理的條件和結論，加深學生對定理的理解．垂徑定理相關推論的學習，可以按條件畫出圖形，讓學生通過觀察、思考、親自得出結論． ◆ 教學目標 【知識與能力目標】 1、探索并證明垂徑定理及其逆定理． 2、能夠運用垂徑定理及其推論解決相關證明、計算及作圖問題． 【過程與方法】 經歷探索垂徑定理及其逆定理的過程，發(fā)展推理能力． 【情感態(tài)度與價值觀】 歷探索垂徑定理及其逆定理的過程，讓學生領會數學的嚴謹性，并體驗發(fā)現的樂趣． ◆ 教學重難點 【教學重點】 垂徑定理及其逆定理的證明． 【教學難點】 利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理． ◆ 課前準備 多媒體課件、教具等． ◆ 教學過程 【創(chuàng)設情境】 問題1 請拿出準備好的圓形紙片，將其沿圓心所在的任一條直線對折，你會發(fā)現什么？多折幾次試一試． 追問1：由折紙可知圓是軸對稱圖形嗎？ 追問2：如果是一個殘缺的圓形紙片，你能找到它的圓心嗎？ 問題2 你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為37.4m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？（精確到0.1m） 設計意圖：問題1由學生親自動手操作得出“圓是軸對稱圖形”的結論，為接下來證明垂徑定理打下基礎；問題2通過趙州橋拱的半徑問題來激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生進一步探究的欲望． 【啟發(fā)思考】 問題3 通過前面的折紙我們知道圓是軸對稱圖形，那么它有幾條對稱軸？分別是什么？ 結論：⑴圓是軸對稱圖形； ⑵經過圓心的每條直線（注：提醒學生說不能說直徑）都是它的對稱軸； ⑶圓的對稱軸有無數條． 問題4 如圖，對折⊙O使圓的兩半部分重合得到一條折痕CD，在OC上取一點M，過點M再次對折⊙O，使CM與MD重合，新的折痕與⊙O交于A、B兩點． （1）觀察圖形，它是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現圖中有那些等量關系？說一說你的理由． 設計意圖：問題3讓學生回顧圓是軸對稱圖形及其對稱軸是經過圓心的直線，問題4顯現垂徑定理的條件，為即將探索與證明垂徑定理作準備． 【探究問題】 問題5 已知：如圖 ，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的一條直徑，并且CD⊥AB，垂足M． 求證：AM=BM，，． 證明：連接OA、OB，則OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直線CD是等腰△AOB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸．所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AM和BM重合，、分別和、重合．因此，AM=BM，，． 追問：你還有其他方法證明這個結論嗎？ 說明：可以用全等三角形知識來證明． 問題6 如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M． （1）觀察圖形，它是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現圖中有那些等量關系？說一說你的理由． （3）AB與CD的位置關系如何？說一說你的理由． 解：，，．理由如下： 連接OA、OB，則OA=OB．又∵AM=BM，∴△AOM≌△BOM，∴∠AMO=∠BMO=90，∴，∴直線CD是等腰△AOB的對稱軸，而CD又是⊙O的對稱軸．所以沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，、分別和、重合．因此，，，． 【形成結論】 你能文字語言敘述問題5和問題6中的結論嗎？ 問題5的結論（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。? 問題6的結論（垂徑定理的推論）：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? 追問：如果弦AB是直徑，以上結論還成立嗎？ 類似還有如下結論： （1）平分弦所對的兩條弧的直徑，垂直平分弦； （2）弦的垂直平分線，必過圓心且平分弦所對的兩條?。? 【鞏固提高】 例1 如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是的圓心)，其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m．求這段彎路的半徑． 解：連接OC． 設彎路的半徑為Rm，則OF=（R－90）m． ∵OE⊥CD， ∴（m）． 在Rt△OCF中，根據勾股定理，得，即． 解這個方程得R＝545． 所以，這段彎道的半徑是545m． 追問：現在能解決課前提出的趙州橋問題了嗎？ 解： 如圖，由題意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD=AB＝18.5m，． 在Rt△OAD中，由勾股定理，得，即，解得（m）． 因此，趙州橋的主橋拱半徑為27.3m． 學生練習1 課本76頁隨堂練習第2題． 學生練習2 如圖，已知，請你利用尺規(guī)作圖的方法作出的中點，說出你的作法． 作法：(1)連接AB； (2)作AB的中垂線，交于點C，點C就是所求的點． 課堂小結： 本節(jié)課你學到了哪些數學知識？ 在利用垂徑定理解決問題時，你掌握了哪些數學方法？ 1、本節(jié)課我們探索了圓的軸對稱性； 2、利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理； 3、垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題． 布置作業(yè)： 1、教科書習題3.3第1題、第2題．（必做題） 2、教科書習題3.3第3題、第4題．（選做題） ◆ 教學反思 略．