2019-2020年九年級數(shù)學 第二章二次函數(shù)面積最大是多少教學設計.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學 第二章二次函數(shù)面積最大是多少教學設計 一、學生知識狀況分析 學生的知識技能基礎：由簡單的二次函數(shù)y＝x2開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，學生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質。 學生的活動經(jīng)驗基礎：通過第七節(jié)的學習，學生已經(jīng)經(jīng)歷了由實際問題轉化為數(shù)學問題的過程，對解決這類問題有了處理經(jīng)驗。 二、教學任務分析 本節(jié)課將進一步利用二次函數(shù)解決問題，是上一節(jié)內容的進一步升華和提高，具體的教學目標如下： (一)知識與技能 能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值． (二)過程與方法 1．通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，培養(yǎng)學生的分析判斷能力． 2．通過運用二次函數(shù)的知識解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力． (三)情感態(tài)度與價值觀 1．經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進一步感受數(shù)學模型思想和數(shù)學知識的應用價值． 2．能夠對解決問題的基本策略進行反思，形成個人解決問題的風格． 3．進一步體會數(shù)學與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值，增進對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的信心，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力． 教學重點1．經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進一步感受數(shù)學模型思想和數(shù)學知識的應用價值． 2．能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題． 教學難點 能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能運用二次函數(shù)的有關知識解決最大面積的問題． 三、教學過程分析 本節(jié)課分為五個環(huán)節(jié)，分別是：創(chuàng)設問題情境引入新課、歸納升華、課堂練習活動探究、課時小結、課后作業(yè) 第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設問題情境，引入新課 上節(jié)課我們利用二次函數(shù)解決了最大利潤問題，知道了求最大利潤就是求二次函數(shù)的最大值，實際上就是利用二次函數(shù)來解決實際問題．解決這類問題的關鍵是要審清題意，明確要解決的是什么，分析問題中各個量之間的關系，建立數(shù)學模型。在此基礎上，利用我們所學過的數(shù)學知識，逐步得到問題的解答過程．本節(jié)課我們將繼續(xù)利用二次函數(shù)解決最大面積的問題． 活動內容：由四個實際問題構成 1．問題一：如下圖，在一個直角三角形的內部作一個長方形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上． (1)設長方形的一邊AB＝x m，那么AD邊的長度如何表示？ (2)設長方形的面積為y m2，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？ 問題一的設計目的： 對于這個問題，教師將其作為例題，不論是對問題本身的分析，還是具體的解法過程，都將作出細致、規(guī)范的講解和示范。具體的過程如下： 分析：(1)要求AD邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是△EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)． (2)要求面積y的最大值，即求函數(shù)y＝ABAD＝x(40－x)的最大值，就轉化為數(shù)學問題了． 下面請小組開始討論并寫出解題步驟． (1)∵BC∥AD， ∴△EBC∽△EAF．∴． 又AB＝x，BE＝40－x， ∴．∴BC＝(40－x)． ∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x． (2)y＝ABAD＝x(30－x)＝－x2＋30x ＝－(x2－40x＋400－400) ＝－(x2－40x＋400)＋300 ＝－(x－20)2＋300． 當x＝20時，y最大＝300． 即當x取20m時，y的值最大，最大值是300m2． 2．問題二：將問題一變式：“設AD邊的長為x m，則問題會怎樣呢？”解：∵DC∥AB， ∴△FDC∽△FAE． ∴． ∵AD＝x，F(xiàn)D＝30－x． ∴．∴DC＝(30－x)． ∴AB＝DC＝(30－x)． y＝ABAD＝x(30－x) ＝－x2＋40x ＝－(x2－30x＋225－225) ＝－(x－15)2＋300． 當x＝15時，y最大＝300． 即當AD的長為15m時，長方形的面積最大，最大面積是300m2活動目的： 在活動解決之初（末），揭示該問題與問題一的關系 3．問題三：對問題一再變式 如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中點A和點D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上. (1).設矩形的一邊BC=xm,那么AB邊的長度如何表示？ (2).設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的最大值是多少? 活動目的： 有了前面兩題作基礎，這個問題可以留給學生自己解決，作為練習 4．問題四： 某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m．當x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01m)？此時，窗戶的面積是多少？ 分析：x為半圓的半徑，也是矩形的較長邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關系．要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面積S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，這時已經(jīng)轉化為數(shù)學問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點式或代入頂點坐標公式中即可．解：∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝． 設窗戶的面積是S(m2)，則S＝πx2＋2xy ＝πx2＋2x ＝πx2＋ ＝－3.5x2＋7.5x ＝－3.5(x2－x) ＝－3.5(x－)2＋． ∴當x＝≈1.07時， S最大＝≈4.02． 即當x≈1.07m時，S最大≈4.02m2，此時，窗戶通過的光線最多． 實際教學效果： 問題四中的數(shù)量關系，較前面3個問題，處理起來比較繁瑣，教師要給予學生及時的指導和幫助。 第二環(huán)節(jié) 歸納升華 活動內容： 同學們能否根據(jù)前面的例子作一下總結，解決此類問題的基本思路是什么呢？與同伴進行交流． 活動目的： 通過前面例題的學習和感受，學生討論交流，在教師的幫助下歸納出： 基本流程為：理解題目 分析已知量與未知量 轉化為數(shù)學問題． 解決此類問題的基本思路是： (1)理解問題； (2)分析問題中的變量和常量以及它們之間的關系； (3)用數(shù)學的方式表示它們之間的關系； (4)做函數(shù)求解； (5)檢驗結果的合理性，拓展等． 第三環(huán)節(jié) 課堂練習，活動探究 活動內容： 1. 用48米長的竹籬笆圍建一矩形養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場一面用磚砌成,另三面用竹籬笆圍成,并且在與磚墻相對的一面開2米寬的門(不用籬笆),問養(yǎng)雞場的邊長為多少米時,養(yǎng)雞場占地面積最大?最大面積是多少? M A B C D P Q R 2. 正方形ABCD邊長5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,點B、C、Q、R在同一直線l上，當C、Q兩點重合時，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直線l向左方向開始勻速運動，ts后正方形與等腰三角形重合部分面積為Scm2，解答下列問題： (1)當t=3s時，求S的值； (2)當t=3s時，求S的值； (3)當5s≤t≤8s時，求S與t的函數(shù)關系式，并求S的最大值。 第四環(huán)節(jié) 課時小結 本節(jié)課我們進一步學習了用二次函數(shù)知識解決最大面積的問題，增強了應用數(shù)學知識的意識，獲得了利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進一步感受了數(shù)學建模思想和數(shù)學知識的應用價值． 第五環(huán)節(jié) 課后作業(yè) 習題2．8 1、2