2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十四章 圓 小專題13 證明切線的兩種常用方法習(xí)題 （新版）新人教版.doc

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小專題13　證明切線的兩種常用方法 類型1　直線與圓有交點(diǎn) 　 直線過(guò)圓上某一點(diǎn)，證明直線是圓的切線時(shí)，只需“連半徑，證垂直，得切線”．“證垂直”時(shí)通常利用圓中的關(guān)系得到90的角，如直徑所對(duì)的圓周角等于90等． 【例1】　(山西中考改編)如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)(不與A，B重合)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ＝DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解：CD是⊙O的切線． 理由：連接OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. 又∵DC＝DQ，∴∠Q＝∠DCQ. ∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90. ∴∠B＋∠Q＝90. ∴∠OCB＋∠DCQ＝90. ∴∠DCO＝∠180－(∠OCB＋∠DCQ)＝90. ∴OC⊥DC. ∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線． 1．(山西中考改編)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED＝45.試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解：CD與⊙O相切． 理由：連接OD， 則∠AOD＝2∠AED＝245＝90， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DC. ∴∠CDO＝∠AOD＝90. ∴OD⊥CD. ∵OD是⊙O的半徑， ∴CD與⊙O相切． 2．(常德中考)如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD＝BC，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，且有∠EBD＝∠CAB.求證：BE是⊙O的切線． 證明：連接OB，∵BD＝BC， ∴∠CAB＝∠BAD. ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD. ∵OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO. ∴∠EBD＝∠ABO. ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ABD＝90. ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90. ∵點(diǎn)B在⊙O上，且OB為⊙O的半徑， ∴BE是⊙O的切線． 3．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于E，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠DBC＝∠CAB，求證：BD是⊙O的切線． 證明：連接AE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90. 又∵AB＝AC， ∴AE平分∠CAB. ∴∠BAE＝∠BAC， ∵∠DBC＝∠CAB， ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠BAE＋∠ABE＝90， ∴∠DBC＋∠ABE＝90，即∠ABD＝90. ∴BD⊥OB.又OB為⊙O的半徑， ∴BD是⊙O的切線． 4．(永州中考改編)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過(guò)點(diǎn)B的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，E是BD中點(diǎn)，連接CE.求證：CE是⊙O的切線． 證明：連接CO，OE， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90.∴∠BCD＝90. ∵E是BD中點(diǎn)， ∴CE＝BE＝BD. 又∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△COE≌△BOE.∴∠OCE＝∠OBE. ∵BD為⊙O的切線，∴∠OBE＝90. ∴∠OCE＝90.∴CE是⊙O的切線． 5．(麗水中考)如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點(diǎn)，AD＝AB，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E. (1)求證：AD是半圓O的切線； (2)連接CD，求證：∠A＝2∠CDE. 證明：(1)連接OD，BD， ∵AB是⊙O的切線， ∴AB⊥BC，即∠ABO＝90. ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB. ∵OB＝OD， ∴∠DBO＝∠BDO. ∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO. ∴∠ADO＝∠ABO＝90. 又OD為⊙O的半徑，∴AD是半圓O的切線． (2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90， ∴∠A＝360－∠ADO－∠ABO－∠BOD ＝180－∠BOD＝∠DOC. ∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE＝90. ∴∠ODC＋∠CDE＝90. ∵BC是⊙O的直徑，∴∠ODC＋∠BDO＝90. ∴∠BDO＝∠CDE. ∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO. ∴∠DOC＝2∠CDE. ∴∠A＝2∠CDE. 類型2　不確定直線與圓是否有交點(diǎn) 　 直線與圓沒(méi)有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”．證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 【例2】　(貴港中考改編)如圖，在△ABC中，AB＝AC，O為BC的中點(diǎn)，AC與半圓O相切于點(diǎn)D. (1)求證：AB是半圓O所在圓的切線； (2)若∠ABC＝60，AB＝12，求半圓O所在圓的半徑． 解：(1)證明：連接OD，OA，作OE⊥AB于點(diǎn)E， ∵AB＝AC，O為BC的中點(diǎn)， ∴∠CAO＝∠BAO. ∵OD⊥AC于點(diǎn)D，OE⊥AB于點(diǎn)E， ∴OD＝OE. ∵AB經(jīng)過(guò)圓O半徑的外端， ∴AB是半圓O所在圓的切線． (2)∵AB＝AC，∠ABC＝60， ∴△ABC是等邊三角形． ∴BC＝AB＝12. ∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴BO＝6. 由(1)可知∠BOE＝30. 在Rt△OBE中，BE＝BO＝3， OE＝＝3. ∴半圓O所在圓的半徑為3. 6．如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M，與AB，AD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：CD與⊙O相切． 證明：連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N， ∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M， ∴OM⊥BC. ∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD， 又∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴OM＝ON.又ON為⊙O的半徑， ∴CD與⊙O相切． 7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3. (1)求證：AC是⊙D的切線； (2)求線段AC的長(zhǎng)． 解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F. ∵∠ABC＝90，∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF. ∴點(diǎn)F在⊙D上． ∴AC是⊙D的切線． (2)在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)． ∴EB＝CF. 在Rt△ABD和Rt△AFD中， ∵BD＝FD，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)． ∴AB＝AF. ∴AB＋EB＝AF＋CF，即AB＋EB＝AC. ∴AC＝5＋3＝8.