2019-2020年八年級數(shù)學(xué)下冊 1.4.2 角平分線教案 （新版）北師大版.doc

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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)下冊 1.4.2 角平分線教案 （新版）北師大版 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解證明角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論，掌握角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運用． 2. 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力，提高綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的能力． 3．在探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣，在交流的過程中學(xué)會向別人清晰地表達(dá)自己的思維和想法，在解決問題的過程中讓學(xué)生深刻感受到“數(shù)學(xué)是有用的”. 教學(xué)重點與難點： 重點：三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)，綜合運用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決實際生活中幾何中的問題． 難點：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用． 課前準(zhǔn)備：多媒體課件． 教法及學(xué)法指導(dǎo)： 教法：運用啟發(fā)誘導(dǎo)式、討論探究式、激勵競學(xué)法等多種方法進(jìn)行點撥，采用一題多解、變式訓(xùn)練、投影展示等手段進(jìn)行落實.結(jié)合本課的實際情況，類比線段的垂直平分線的學(xué)習(xí)，設(shè)計了以下五個環(huán)節(jié)： 一、順手牽“羊”——復(fù)習(xí)回顧； 二、三“羊”開泰——情境引入； 三、虎口擒“羊”——探究學(xué)習(xí)； 四、“羊羊”灑灑——典例分析； 五、“羊羊”得“億”——課堂小結(jié)； 六、亡“羊”補牢——達(dá)標(biāo)測試 七、“羊”眉吐氣——布置作業(yè). 學(xué)法：利用獨立思考與小組合作討論相結(jié)合等多種方式學(xué)習(xí)本課新知；通過比賽的方式完成達(dá)標(biāo)練習(xí). 課前準(zhǔn)備： 教師：利用幾何畫板、PPT等工具制作圖形、課件，從網(wǎng)絡(luò)上下載相關(guān)圖片，精選例題； 學(xué)生：準(zhǔn)備好《課本》、《助學(xué)》，練習(xí)本及沒人3張三角形紙片等. 教學(xué)過程： 一、順手牽“羊”——復(fù)習(xí)回顧 活動內(nèi)容：回答下列問題 問題1.角平分線性質(zhì)定理是什么？ 問題2. .角平分線判定定理是什么？ 處理方式：兩個問題均由學(xué)生口答完成．對于問題1，學(xué)生的答案可能比較準(zhǔn)確．對于問題2學(xué)生很可能丟掉“在角的內(nèi)部”，必要時給予提示，強(qiáng)調(diào)“在角的內(nèi)部”條件不可少.. 設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)回顧2個問題，為這節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)． 二、三“羊”開泰——情境引入 活動內(nèi)容：折紙驗證后回答問題. 我們用三張三角形的紙片，分別折出三個角的角平分線.我們發(fā)現(xiàn)，這三條線是交于一點的，但是，是不是所有的三角形都具有這樣的性質(zhì)呢？ 每個同學(xué)分別拿出不同形狀的三角形紙片折疊后作其角平分線，觀察結(jié)果. 問題1：觀察這幾個三角形，它們的角平分線交于一點么？ 問題2：猜想是否任意三角形角平分線都交于一點？如果是，如何證明它呢？ 處理方式：問題1由學(xué)生口答完成.對于問題2先讓學(xué)生折出一般銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形的三條角平分線，然后讓學(xué)生總結(jié)任意三角形的三條角平分線交于一點，完成后教師引導(dǎo)學(xué)生分析證明的依據(jù)，從而引入出新課． 設(shè)計意圖：用學(xué)生熟悉的折紙游戲，貼近學(xué)生的生活，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在不知不覺中感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，同時也讓學(xué)生進(jìn)一步體會了三角形角平分線用折紙可以得到，這也為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 三、虎口擒“羊”——探究學(xué)習(xí) 活動內(nèi)容1：（多媒體出示）請同學(xué)們觀察下圖，思考如何證明：任意三角形的三條角平分線交于一點，你能寫出已知、求證、證明嗎？并與同伴交流． 已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線BM、CN相交于點P， 求證：P點在∠BAC的角平分線上． 證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上， ∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)． ∴△ABC的三條角平分線相交于點P． 問題：在證明過程中，我們除證明了任意三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶”的結(jié)論呢? 預(yù)設(shè)回答：PD=PE=PF，即這個交點P到三角形三邊的距離相等 于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理:三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等． 處理方式：學(xué)生討論交流，在圖片上完成后再展示說明，學(xué)生之間互相補充．教師適時點評，強(qiáng)調(diào)：“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”與“在一個角的內(nèi)部（特別強(qiáng)調(diào)），且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”互逆關(guān)系： 設(shè)計意圖：本活動的設(shè)計意在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究、合作交流，對角平分線的性質(zhì)證明從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識．先從觀察圖片中三角形角平分線入手，體驗三角形三條角平分線所具有的關(guān)系，然后寫出證明過程，鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力. 活動內(nèi)容2：(多媒體出示) 如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的? 學(xué)生交流討論： 預(yù)設(shè)1: 有一處．在三條公路的交點A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點處．因為三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三邊的距離相等．而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等．這一點剛好符合． 預(yù)設(shè)2：共有四處．(同學(xué)們很吃驚！)除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點．作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點P1在∠CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等．同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點P2；∠BAC、∠ABC的外角的角平分線的交點P3,因此滿足條件共4個，分別是P、P1、P2、P3 處理方式：在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過自己的歸納找到滿足在△ABC內(nèi)部到三條公路的距離相等的點，并能利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，找到在△ABC外部到三條公路的距離相等的點. 設(shè)計意圖：通過練習(xí)題讓學(xué)生自己的歸納能找到到三角形三邊距離相等的點的特征，加深對三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的理解應(yīng)用． 四、“羊羊”灑灑——典例分析 活動內(nèi)容1：我們學(xué)習(xí)了三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，你能順利的利用三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決實際問題嗎？（多媒體出示例1） 例1．如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E． (1)已知CD=4 cm，求AC的長； (2)求證：AB=AC+CD． 學(xué)生討論： 師引導(dǎo)提示：第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長．第(2)問中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE． 預(yù)設(shè)1：(1)解：∵AD是△ABC的角平分線， ∠C=90，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等邊對等角)． ∵∠C=90， ∴∠B=90=45． ∴∠BDE=90—45＝45． ∴BE=DE(等角對等邊)． 在等腰直角三角形BDE中 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm． 預(yù)設(shè)2：(2)證明：由(1)的求解過程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 處理方式：讓兩名學(xué)生主動到黑板板演，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成．教師巡視，適時點撥．學(xué)生完成后及時點評，借助多媒體展示學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行矯正． 設(shè)計意圖：本例需要運用前面所學(xué)的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運用它們解決問題． 五、“羊羊”得“億”——課堂小結(jié) 活動內(nèi)容：同學(xué)們，學(xué)習(xí)也是如此.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？學(xué)會了哪些方法？先想一想，再分享給大家． 處理方式：學(xué)生暢談自己的收獲！下面我們通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理： 三邊垂直平分線 三條角平分線 三角形 銳角三角形 交于三角形內(nèi)一點 交于三角形內(nèi)一點 鈍角三角形 交于三角形外一點 直角三角形 交于斜邊的中點 交點性質(zhì) 到三角形三個頂點的距離相等 到三角形三邊的距離相等 設(shè)計意圖：課堂總結(jié)是知識沉淀的過程，使學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)進(jìn)行梳理，養(yǎng)成反思與總結(jié)的習(xí)慣，培養(yǎng)自我反饋，自主發(fā)展的意識． 六、亡“羊”補牢——達(dá)標(biāo)測試 一、判斷題 1.在同一平面內(nèi)，到三角形三邊距離相等的點只有一個 （ ） 2.在同一平面內(nèi)，到三角形三邊所在直線距離相等的點只有一個 （ ） 3.三角形三條角平分線交于一點 （ ） 4.等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等 （ ） 5.三角形是以它的角平分線為對稱軸的軸對稱圖形 （ ） 二、填空題 1.如圖（1），點P為△ABC三條角平分線交點，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，則PD__________PE__________PF. 2.如圖（2），P是∠AOB平分線上任意一點，且PD=2cm，若使PE=2cm，則PE與OB的關(guān)系是__________. （1） （2） 三、解答題 已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D． 求證：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分線． 參考答案： 一、1.√ 2. 3.√ 4.√ 5. 二、1.= = 2.垂直 三、證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)． 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)． ∴OC=OD(全等三角形對應(yīng)邊相等)． (2)又OP是∠AOB的角平分線， ∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)． 處理方式：學(xué)生做完后，教師出示答案，指導(dǎo)學(xué)生校對,及時糾錯. 設(shè)計意圖：學(xué)以致用，當(dāng)堂檢測及時獲知學(xué)生對所學(xué)知識掌握情況，并最大限度地調(diào)動全體學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使每個學(xué)生都能有所收益、有所提高. 七、“羊”眉吐氣——布置作業(yè) 必做題：課本32頁，習(xí)題1.10 第1題 第2題 選做題：課本32頁，問題解決 第4題． 設(shè)計意圖：作業(yè)設(shè)計采取分層設(shè)計，使學(xué)生根據(jù)自身的實際學(xué)習(xí)情況選擇不同的作業(yè)，既滿足了不同層次學(xué)生的需求，又提高了作業(yè)的實效性，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與質(zhì)量的提高． 七、 板書設(shè)計 1.4.2 角平分線 一、要點回顧 1.角平分線性質(zhì)： 2角平分線判定方法： 3.三角形角平分線特征： 二、典型例題 例1. 方法歸納： 三、達(dá)標(biāo)檢測 1. 2. 3