天津大學(xué)化工數(shù)學(xué)偏微分方程演示文檔
《天津大學(xué)化工數(shù)學(xué)偏微分方程演示文檔》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《天津大學(xué)化工數(shù)學(xué)偏微分方程演示文檔(101頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第七章:偏微分方程,,一、 幾個(gè)基本概念,,例:,1、方程的階數(shù),,方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù),,一階,,二階,,,,,,2、線性、非線性、擬線性,,,,,方程經(jīng)過有理化并消去分式后,若方程中沒有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng),稱該方程為線性,線性:,擬線性:,在非線性方程中,如果未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)不是非線性,則稱此方程為擬線性,完全非線性:,除擬線性之外的非線性方程,,,,,二階,線性,二階,擬線性,二階,完全非線性,,,,,3、齊次、非齊次,,,,不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),自由項(xiàng):,自由項(xiàng)為零的方程,齊次方程:,自由項(xiàng)不為零的方程,非齊次方程:,非齊次,齊 次,,,,,,,,二、 二階線性偏微分方程的分類,,,,設(shè),則二階線性偏微分方程一般可表示為:,,A,B,C,D,E,G,f 都是x,y的函數(shù),,,二階線性方程的分類 :,為方程中自變量域內(nèi)任意一點(diǎn),,,則分類判別條件如下:,(?。┤粼邳c(diǎn)M處有:,,則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型,例如,,(ⅱ)若在點(diǎn)M處有:,,則方程在該點(diǎn)處為拋物線型,例如,,波動(dòng)方程,熱傳導(dǎo)方程,,,,,,,,,,,,(ⅲ)若在點(diǎn)M處有:,則方程在該點(diǎn)處為橢圓型,例如,,,,例1:判別下列方程的分類,當(dāng) ,即 異號(hào),M點(diǎn)在二、四象限內(nèi),,,該區(qū)域內(nèi)方程是雙曲型,當(dāng) ,即 同號(hào),M點(diǎn)在一、三象限內(nèi),,該區(qū)域內(nèi)方程是橢圓型,當(dāng)x或y為零,方程在x或y軸上是拋物型,拉普拉斯方程,,,,,,,,三、三種典型方程的建立,建立理論模型的原則步驟,① 抽象出系統(tǒng)的物化模型并簡(jiǎn)化、假設(shè),② 確定輸入、輸出變量和模型參數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,③ 模型 求解,④ 檢驗(yàn)和修正所得的模型,,,,,,,,1、均勻弦的微小橫振動(dòng)方程的建立,設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦,張緊后兩端固定如圖, 給弦以擾動(dòng),使其產(chǎn)生振動(dòng)。,確定弦上各點(diǎn)振動(dòng)規(guī)律,即 確定位移 滿足的方程。,,,,,,,,,,,解:取一小微元段 ,分析受力情況,,x 方向:,u 方向:,,,,,,A,B,T1,T2,,,,,,,,,0,x,x+Δx,x,u,α1,α2,,G,,(1),(2),,,,,,,簡(jiǎn)化假設(shè),(1)弦是均勻的,所以質(zhì)量均布,設(shè)單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量為 kg/m,(5)弦是絕對(duì)柔軟的,不能抗彎,因此弦上各點(diǎn)張力與該點(diǎn)切 線方向一致。,,(2)弦的細(xì)小的,自重相比于張力顯得很小,可以忽略。,(3)振動(dòng)方向與弦長(zhǎng)方向相垂直,且振動(dòng)保持在一固定平面內(nèi),(4)振動(dòng)是微小的,即弦上各點(diǎn)位移及弦的彎曲斜率很小,微元段的質(zhì)量:,G = 0,x 方向無運(yùn)動(dòng),即:,無外力的均勻弦微小橫振動(dòng)方程,—— 齊次一維波動(dòng)方程,x 方向:,u 方向:,,F(x,t),x 方向:,u 方向:,假設(shè)振動(dòng)過程中, 除了張力外, 還有其它外力作用,,設(shè)單位長(zhǎng)度弦上的橫向外力為,,弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程,——非齊次一維波動(dòng)方程,,,,,2、熱傳導(dǎo)方程,一根長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿側(cè)面是絕熱,橫截面積足夠小以至,在任何時(shí)刻都可以把斷面上所有點(diǎn)的溫度看作是相同。,設(shè)桿的截面積為S,比熱為C,導(dǎo)熱系數(shù)為k,密度為ρ。,,,試確定溫度分布函數(shù) 滿足的方程。,,,,,x=0,x=l,,,,,,,x,x+Δx,,0,熱量衡算:輸入-輸出+產(chǎn)生=累計(jì),一維熱傳導(dǎo)方程:,,,,,,x處輸入的熱速率:,x+Δx處輸出的熱速率:,微元段累計(jì)的熱速率:,,,,,,一維熱傳導(dǎo)方程,,一維波動(dòng)方程,(無外力),(有外力),(無內(nèi)熱源),,,,,三維熱傳導(dǎo)方程,,若物體內(nèi)部有一個(gè)熱流,,,,,,T(x,y,z,t),,,,,,,,,,,,,,,其分布函數(shù)為,M(x,y,z),3、穩(wěn)態(tài)方程(拉普拉斯方程),熱傳導(dǎo)持續(xù)進(jìn)行下去,如果達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),溫度的空間 分布不再變動(dòng),即,,則方程,變?yōu)?,,穩(wěn)態(tài)濃度分布方程,穩(wěn)態(tài)溫度分布方程,,,,,,三種典型方程,,,是方程,,其中f 是任意函數(shù) ,如,,,,,,的通解,可以驗(yàn)證,對(duì)于方程:,可以驗(yàn)證,為其通解,泛定方程,暫停:休息,四、定解條件和定解問題,1、初始條件(I.C.):,初始時(shí)刻的狀態(tài),,,(一)定解條件,例1 對(duì)于弦的微小橫振動(dòng)問題,假設(shè)初始速度為零, 初始位移符合正弦函數(shù),,,,,初始條件給定的是整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài),而不是某個(gè)局部 (如入口、出口等)的狀態(tài)。,特別注意:,應(yīng)是位置坐標(biāo)的函數(shù)。,(1)第一類邊界條件—已知函數(shù),直接給出未知函數(shù) 在邊界 上的值,,,,(狄里赫利(Dirichlet)),,例2 一根弦長(zhǎng)為l ,兩端固定進(jìn)行微小橫振動(dòng) ,建立其邊界條件。,2、邊界條件(B.C.),,,例3 細(xì)桿導(dǎo)熱問題中,桿長(zhǎng)l,兩端分別保持溫度 T1和T2 ,建立邊界條件。,,,(2)第二類邊界條件—已知導(dǎo)數(shù),(牛曼(Noumann)條件),例4 細(xì)桿導(dǎo)熱問題中,桿長(zhǎng)l,一端絕熱,另一端有恒定熱流q輸入,試建立邊界條件。,,,,,,,,x=0,x=l,,,,,熱流輸出怎樣??,(3)第三類邊界條件——混合邊界條件,給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系,,(Robin條件),,例4 細(xì)桿導(dǎo)熱問題中,桿長(zhǎng)l,一端溫度為T0,另一端與溫度為T1的環(huán)境進(jìn)行對(duì)流熱交換,試建立邊界條件。,,,,,x=0,x=l,,,,,,(4)積分—微分邊界條件,(5)銜接條件,,,內(nèi)外層壁:,,,,,,,,,,,,,,,(二)定解問題,初值問題:,只有初始條件,沒有邊界條件的定解問題,邊值問題:,沒有初始條件,只有邊界條件的定解問題,混合問題:,既有初始條件又有邊界條件的定解問題,定解問題,,泛定方程(P.D.E),定解條件,,初始條件(B.C.),邊界條件(I.C.),五、線性迭加原理,所謂迭加:即幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng),產(chǎn)生 的效果等于各因素獨(dú)立作用產(chǎn)生的效果之總和,線性迭加原理:,,則級(jí)數(shù) 也是該方程之解,,,假設(shè)函數(shù),是線性齊次微分方程,的特解。,(i=1,2……),,,,,,,,,,,,六、分離變量法,例1、設(shè)兩端固定的有界弦微小自由橫振動(dòng)過程, 初始位移為φ(x),初始速度為ψ(x),,解:(1)分離變量,,設(shè),(1),(2),(3),(4),到33頁(yè),,代入方程式(1)得,分離變量得,,=,設(shè),于是可得到兩個(gè)常微分方程,,,到35頁(yè),,=,,,=,+,,,,,,,,,,,對(duì)于二階線性常系數(shù)常微分方程:,,,先求特征方程的解:,分三種情況,(?。┨卣鞣匠痰母鵵1,r2為實(shí)數(shù)時(shí),復(fù) 習(xí),,,,(ⅱ)特征方程的根r1=r2=r為重實(shí)數(shù)時(shí),(ⅲ)特征方程的根為復(fù)數(shù),即 r1=α+βi r2= α - β i,,返回31頁(yè),,,,,,由邊界條件式(2)知,,,,,因?yàn)?所以只能,(5),(6),,,,,,(?。┰O(shè)λ>0,則方程式(5)通解為,(5),,,由,,,由,,,,(2)解定解問題,——解固有值問題,到37頁(yè),,,解上述線性代數(shù)方程組得:,即,,所以,,(ⅱ)設(shè)λ =0,方程(5)通解為,,由,,由,,,,,,即,所以,(ⅲ)設(shè)λ <0,,,令 ,,此時(shí)通解為,,由,,由,,,,,,,,,,,因?yàn)锽不能為零,所以只能,,,所以,,-稱為固有值(或本征值),---稱為固有函數(shù)(或本征函數(shù)),(7),返回36頁(yè),返回54頁(yè),(3)求解不構(gòu)成本征問題的常微分方程的通解,(6),將 代入上式,,(8),將式(7)與式(8)相乘,得到一組特解,,其中, 是任意常數(shù),,(8),(7),,,,,,,(4)應(yīng)用線性疊加原理求,,,(5)由傅里葉級(jí)數(shù)確定系數(shù),,,(9),暫停:休息,復(fù)習(xí),f(x)在〔-l,l〕區(qū)間上的傅里葉展開式:,在〔0,l〕區(qū)間上的只有余弦項(xiàng)的傅里葉展開式:,在〔0,l〕區(qū)間上的只有正弦項(xiàng)的傅里葉展開式:,傅里葉展開是基于三角函數(shù)的正交性,,,,,,,根據(jù)正交性可直接確定系數(shù):,,,,(10),,,,,,,,至此, (9)~(11)即構(gòu)成了例1中定解問題的解,(11),總結(jié)分離變量求解的關(guān)鍵點(diǎn),1、假設(shè),代入齊次方程進(jìn)行分離變量;,2、分離齊次邊界條件,組構(gòu)本征值問題,并求解確定 本征值本征函數(shù);,3、求解另外一個(gè)常微分方程;,4、用線性疊加原理寫出問題的解;,5、代入初始條件,并用傅里葉展開法確定解中的常數(shù)。,例 2 一維導(dǎo)熱問題(第三邊值條件),長(zhǎng)為l 的均勻細(xì)桿,其側(cè)面(圓弧面)絕熱,桿的一端保持在0℃狀態(tài)下,另一端則與溫度為0℃環(huán)境介質(zhì)進(jìn)行自由熱交換。假設(shè)初始時(shí)刻溫度分布為φ(x)。試確定桿上各點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化規(guī)律。,,,(1),(2),(3),(4),到第52頁(yè),(1)分離變量,設(shè),,,,代入方程(1)得:,于是得:,(5),(6),比較波動(dòng)問題得到兩個(gè)常微分方程 :,,,,返回上一頁(yè),由邊界條件式(2)(3)知,,,(2) 解本征值問題,(7),(8),式(5)與式(7)、式(8)構(gòu)成本征值問題,,,,,,,同前述同樣方法討論本征值λ的三種取值情況,經(jīng)討論僅當(dāng)λ<0時(shí)才有非零解,,設(shè),于是方程式(5)通解為,,由式(7)得,由式(8)得,,,,則,,,即,,,得本征值,(n =1,2,3… ),得本征函數(shù),,(,(3) 將本征值代入式(6)并求解,,(4)由線性迭加原理得定解問題級(jí)數(shù)形式解,,,,(Cn =BnAn),(5)確定系數(shù),,,由初始條件,,,由本證函數(shù)的正交性,,,,,,,,,,,例 3、求解穩(wěn)態(tài)問題,,解:(1)分離變量,,設(shè),(1),(2),(3),,能否用分離變量法 求解???,能!!,,代入方程式(1)得,分離變量得,,=,設(shè),于是可得到兩個(gè)常微分方程,,,—,由邊界條件(3),,(5),(6),,(5),,,(2)解本征值問題,,,憑經(jīng)驗(yàn)當(dāng)λ <0,時(shí)有非零解,令,由,,由,,因?yàn)锽不能為零能,,,,,,,,,,,,所以,,(7),,(3)求解不構(gòu)成本征問題的常微分方程的通解,,(6),,將 代入上式,,,(8),,(,將式(7)與式(8)相乘,得到一組特解,,其中, 是任意常數(shù),,,,,,,,(4)應(yīng)用線性疊加原理求,,,(5)由傅里葉級(jí)數(shù)確定系數(shù),,,,(9),(10),(9),,n 為偶數(shù)時(shí),n 為奇數(shù)時(shí),1、只能用分離變量法直接求解齊次方程、 齊次邊界定解問題,2、本征值和本征函數(shù)由邊界條件類型確定,3、另外一個(gè)二階常微分方程的形式及解 由泛定方程的類型確定,總 結(jié),(b),(c),,,(d),,,,,,,,(a),一維波動(dòng)問題,一維熱傳導(dǎo)問題,二維穩(wěn)態(tài)問題,暫停:休息,,七、非齊次邊界的處理,方法: 將定解問題(A)轉(zhuǎn)化為齊次邊界問題,(A),,設(shè),使 滿足相應(yīng)的齊次邊界條件,即,,,(1),(2),(3),(4),(5),,則,,設(shè),由條件式(6)確定:,(6),(7),,,則,由條件式(7)確定:,將以上結(jié)果代入,,(B),,(a),,(a),(b),,,(c),,,(d),,,則V(x,t)滿足的定解問題為:,設(shè),,例4,設(shè)一均勻細(xì)桿,初始時(shí)全桿有一均一溫度 ,然后 使其一端保持不變溫度 ,另一端則有恒定的熱流 輸入,試求溫度分布規(guī)律。,,,解:?jiǎn)栴}可由下述數(shù)學(xué)形式表述,(1),(2),(3),,設(shè),,使,,則,,,設(shè),則由式(6)求得,,(4),(5),(6),(7),,,則,代入原問題得,,,,設(shè),,,W(x,t),,,,由經(jīng)驗(yàn),知 唯 時(shí)有解,,,設(shè),則,,由邊界,得,,,所以,,(,=0,1,2……),(n = 0,1,2……),,于是固有函數(shù)為,,,,最后由初始條件定常數(shù),,,,,暫停:休息,八、非齊次的泛定方程,,,設(shè),,,,,,,,,,例 5 兩端固定的弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問題,,=0,,,設(shè),解:,,,,而,(1),(2),(3),(4),(5),轉(zhuǎn)到82頁(yè),(b),(c),,,(d),,,,,,,,(a),返回上一頁(yè),將式(4),式(5)代入式(1)得,,所以,,,將式(3),,,,,,代入所設(shè):,,,這里,(5),(6),(7),(8),根據(jù)傅立葉展開,于是有:,,,,,,因已設(shè),,,,設(shè),,則,(6),對(duì)方程式(6)兩邊拉氏變換,,,,由卷積定理知,,=,,,,,暫停:休息,例 6 用本征函數(shù)系展開法解非齊次熱傳導(dǎo)問題,,,,,解:,,,(1),(2),(3),,,,,將上兩式代入方程式(1)得,,,,,=0,由初始條件式(3),,,,于是方程(5)解為,,所以:,,最終解為,(4),(5),,,于是方程(4)解為,,★ 重點(diǎn)掌握的內(nèi)容: 拉氏變換的定義和前5條性質(zhì);三種常用求解逆變換的方法;應(yīng)用-求解常微分方程,積分-微分方程的方法。,★ 本章主要內(nèi)容: 1、拉氏變換的概念和性質(zhì); 2、求拉氏逆變換的方法; 3、拉氏變化的應(yīng)用,如何求解微分、積分方 程、差分方程等。,第五章:拉普拉斯變換,第六章:場(chǎng)論初步,★ 本章重點(diǎn)內(nèi)容: 1、方向?qū)?shù)、通量、環(huán)量的概念及計(jì)算; 2、梯度、散度、旋度的概念及計(jì)算; 3、散度定理、斯托克斯定理; 4、無源場(chǎng)、有勢(shì)場(chǎng)(勢(shì)函數(shù))、調(diào)和場(chǎng)(調(diào)和函數(shù))概念、性質(zhì)及計(jì)算; 5、會(huì)用用場(chǎng)論方法簡(jiǎn)單的建模,重點(diǎn)是課上講的例題。,第七章:偏微分方程,★ 本章重點(diǎn)內(nèi)容: 1、會(huì)用分離變量法求解二階齊次方程、齊次邊界問題; 2、會(huì)建立簡(jiǎn)單的方程(類似三種典型方程)和定解條件; 3、掌握方程的分類和線性性判別; 4、了解非齊次邊界處理方法和非齊次方程的本征函數(shù)求解方法,2012級(jí)化工數(shù)學(xué)期末考試信息,時(shí)間:2014.6.30(第19周周一)?:00—?:00,地點(diǎn):?樓?,,,,,,,,,,,,,,,(ⅰ)設(shè)λ>0,則方程式(5)通解為,由,,由,,,,解上述線性代數(shù)方程組得:,即,,所以,,(ⅱ)設(shè)λ =0,方程(5)通解為,,由,,由,,即,,,,,,,(ⅲ)設(shè)λ <0,,,令 ,,此時(shí)通解為,,由,,由,,所以綜合有:,---稱為固有函數(shù)(或本征函數(shù)),(7),返回88頁(yè),,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
10 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 天津大學(xué) 化工 數(shù)學(xué) 微分方程 演示 文檔
鏈接地址:http://kudomayuko.com/p-359916.html