中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 第四章 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第15講 全等三角形與尺規(guī)作圖精練.doc

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第15講　全等三角形與尺規(guī)作圖 A組　基礎(chǔ)題組 一、選擇題 1.用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如下,則說明∠CAD=∠BAD的依據(jù)是(　　) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.(xx河北)尺規(guī)作圖要求:Ⅰ.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅱ.作線段的垂直平分線;Ⅲ.過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅳ.作角的平分線. 下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖: 則正確的配對(duì)是(　　) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ 3.(xx浙江麗水)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD,以下四個(gè)作圖中,作法錯(cuò)誤的是(　　) 4.在△ABC中,∠ABC=45,AC=4,H是高AD和BE的交點(diǎn),則線段BH的長度為(　　) A.6 B.4 C.23 D.5 5.如圖,在△ABC中,∠C=90,∠B=30,邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,CD=3,則BC的長為(　　) A.6 B.63 C.9 D.33 6.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下列四個(gè)結(jié)論:①OA=OD;②AD⊥EF;③當(dāng)∠BAC=90時(shí),四邊形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正確的是(　　) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 7.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖,四邊形ABCD是一個(gè)箏形,其中AD=CD,AB=CB,某同學(xué)在探究箏形的性質(zhì)時(shí),得到如下結(jié)論: ①AC⊥BD;②AO=CO=12AC;③△ABD≌△CBD. 其中正確的結(jié)論有(　　) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 二、填空題 8.(xx德州)如圖,OC為∠AOB的平分線.CM⊥OB,OC=5,OM=4.則點(diǎn)C到射線OA的距離為　　　　. 9.如圖,AB=12 m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4 m,P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng),每分鐘走1 m,Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng),每分鐘走2 m,P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng) 分鐘后△CAP與△PQB全等. 10.(xx江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,點(diǎn)D、E分別是AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).若AB=8,則EF=　　　　. 三、解答題 11.(xx河北,23,9分)如圖,∠A=∠B=50,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn),連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)∠BPN=α. (1)求證:△APM≌△BPN; (2)當(dāng)MN=2BN時(shí),求α的度數(shù); (3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出α的取值范圍. 12.(xx泰安)如圖,△ABC中,D是AB上一點(diǎn),DE⊥AC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn),FG⊥BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分∠CAB,連接GE,GD. (1)求證:△ECG≌△GHD; (2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):AD=AC+EC.請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論; (3)若∠B=30,判定四邊形AEGF是不是菱形,并說明理由. B組　提升題組 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1.(xx南京)如圖,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為(　　) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 2.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,四位同學(xué)圍繞作圖問題“如圖,已知直線l和直線l外一點(diǎn)P,用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQ⊥l于點(diǎn)Q”.分別作出了下列四個(gè)圖形.其中作法錯(cuò)誤的是(　　) 3.如圖,G,E分別是正方形ABCD的邊AB,BC的點(diǎn),且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,現(xiàn)有如下結(jié)論: ①BE=12GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45;④△GBE∽△ECH. 其中,正確的結(jié)論有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 二、填空題 4.如圖,Rt△ABC中,∠A=90,∠C=30,BD平分∠ABC且與AC邊交于點(diǎn)D,AD=2,則點(diǎn)D到邊BC的距離是　　　　. 5.如圖,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:　　　　,使△AEH≌△CEB. 6.如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F為DE的中點(diǎn).若△CEF的周長為18,則OF的長為　　　　. 三、解答題 7.如圖,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90,四邊形BCDE是平行四邊形,E為AC中點(diǎn),BD平分∠ABC,點(diǎn)F在AB上,且BF=BC.求證: (1)DF=AE; (2)DF⊥AC. 第15講　全等三角形與尺規(guī)作圖 A組　基礎(chǔ)題組 一、選擇題 1.A　從角平分線的作法可得,△AFD與△AED的三邊全部相等,則△AFD≌△AED.故選A. 2.D　根據(jù)尺規(guī)作圖的方法可知正確的配對(duì)是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故選D. 3.D　A.根據(jù)作圖的方法可知,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線,不符合題意. B.根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”知CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線,不符合題意. C.根據(jù)相交圓的公共弦的性質(zhì)可知CD是斜邊AB上的高線,不符合題意. D.無法證明CD是Rt△ABC斜邊上的高線,符合題意.故選D. 4.B　∵∠ABC=45,AD⊥BC,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90,∠BHD+∠DBH=90=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD,∴BH=AC=4. 5.C　由垂直平分線的性質(zhì)定理得BD=AD,∴∠B=∠BAD=30,∴AD平分∠BAC. ∴在Rt△ADC中,AD=2CD=6,即BD=6. ∴BC=BD+CD=9. 6.D　如果OA=OD,則結(jié)合已知條件易證得四邊形AEDF是矩形,則∠BAC=90,但由題中條件得不到∠BAC=90,所以①不正確.首先根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出△AED≌△AFD,則AE=AF,DE=DF.然后根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出△AEO≌△AFO,則∠AOE=∠AOF=90,即AD⊥EF,所以②正確.如果∠BAC=90,則四邊形AEDF的四個(gè)角都是直角,四邊形AEDF是矩形,結(jié)合DE=DF,判斷出四邊形AEDF是正方形,故③正確.根據(jù)△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,進(jìn)而得到AE+DF=AF+DE,故④正確.故選D. 7.D　在△ABD與△CBD中,AD=CD,AB=CB,DB=DB, ∴△ABD≌△CBD(SSS), 故③正確. ∴∠ADB=∠CDB, 在△AOD與△COD中, AD=CD,∠ADB=∠CDB,OD=OD, ∴△AOD≌△COD(SAS), ∴∠AOD=∠COD=90,AO=OC=12AC, ∴AC⊥BD,故①②正確.故選D. 二、填空題 8.答案　3 解析　過C作CF⊥AO. ∵OC為∠AOB的平分線,CM⊥OB, ∴CM=CF. ∵OC=5,OM=4, ∴CM=3, ∴CF=3. 故答案為3. 9.答案　4 解析　∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B, ∴∠A=∠B=90, 設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后△CAP與△PQB全等,則BP=x m,BQ=2x m,AP=(12-x)m, 分兩種情況:①若BP=AC,則x=4,此時(shí)AP=12-4=8 m,BQ=8 m,∴AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ(SAS); ②若BP=AP,則12-x=x,解得x=6,此時(shí)BQ=12 m,BQ≠AC, ∴△CAP與△PQB不全等. 綜上所述:運(yùn)動(dòng)4分鐘后△CAP與△PQB全等. 10.答案　2 解析　∵D為AB的中點(diǎn),AB=8,∴在Rt△ABC中,CD=4,又∵E、F分別為AC,AD的中點(diǎn),∴根據(jù)三角形中位線定理,得EF=2. 三、解答題 11.解析　(1)證明:∵P為AB中點(diǎn), ∴PA=PB. 又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB, ∴△APM≌△BPN. (2)由(1)得PM=PN, ∴MN=2PN, 又∵M(jìn)N=2BN, ∴PN=BN, ∴α=∠B=50. (3)40<α<90. ∵△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部, ∴△BPN是銳角三角形, ∴∠BPN和∠BNP都為銳角, 又∵∠B=50, ∴40<∠BPN<90,即40<α<90. 12.解析　(1)證明:∵AF=FG, ∴∠FAG=∠FGA, ∵AG平分∠CAB, ∴∠CAG=∠FAG, ∴∠CAG=∠FGA, ∴AC∥FG. 又∵DE⊥AC, ∴FG⊥DE, 又∵FG⊥BC, ∴DE∥BC, ∴AC⊥BC, ∴∠C=∠DHG=90,∠CGE=∠GED, ∵F是AD的中點(diǎn),FG∥AE, ∴H是ED的中點(diǎn), ∴FG是線段ED的垂直平分線, ∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED, ∴∠CGE=∠GDE, ∴△ECG≌△GHD. (2)證明:過點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P, ∴GC=GP, ∴△CAG≌△PAG, ∴AC=AP. 由(1)得EG=DG, ∴Rt△ECG≌Rt△GPD, ∴EC=PD, ∴AD=AP+PD=AC+EC. (3)四邊形AEGF是菱形,理由如下: ∵∠B=30,∴∠ADE=30, ∴AE=12AD,∴AE=AF=FG. 由(1)得AE∥FG, ∴四邊形AEGF是菱形. B組　提升題組 一、選擇題 1.D 2.A　根據(jù)垂線的作法,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.故選A. 3.B　∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠B=∠DCB=90,AB=BC, ∵AG=CE, ∴BG=BE, 由勾股定理得:BE=22GE,∴①錯(cuò)誤; ∵BG=BE,∠B=90, ∴∠BGE=∠BEG=45, ∴∠AGE=135, ∴∠GAE+∠AEG=45, ∵AE⊥EF, ∴∠AEF=90, ∵∠BEG=45, ∴∠AEG+∠FEC=45, ∴∠GAE=∠FEC, 在△GAE和△CEF中, AG=EC,∠GAE=∠CEF,AE=EF, ∴△GAE≌△CEF,∴②正確; ∴∠AGE=∠ECF=135, ∴∠FCD=135-90=45, ∴③正確; ∵∠BGE=∠BEG=45,∠AEG+∠FEC=45, ∴∠FEC<45, ∴△GBE和△ECH不相似, ∴④錯(cuò)誤. 故選B. 二、填空題 4.答案　2 解析　過D作DE⊥BC于E.∵BD平分∠ABC,∠A=90,∴DE=AD=2.故點(diǎn)D到邊BC的距離為2. 5.答案　AH=CB(或EH=EB或AE=CE) 解析　∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E, ∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=90, ∴∠B+∠BCE=90,∠B+∠BAD=90, ∴∠BCE=∠BAD, ∴AH=CB或EH=EB或AE=CE,可證△AEH≌△CEB. 6.答案　72 解析　∵四邊形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90.在Rt△DCE中,∵F為DE的中點(diǎn),∴CF=12DE=EF=DF.∵△CEF的周長為18,∴CE+CF+EF=18.又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC=132-52=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F為DE的中點(diǎn),∴OF為△BDE的中位線,∴OF=12BE=72. 三、解答題 7.證明　(1)延長DE交AB于點(diǎn)G,連接AD. ∵四邊形BCDE是平行四邊形, ∴ED∥BC,ED=BC. ∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),∠ABC=90, ∴AG=BG,DG⊥AB. ∴AD=BD,∴∠BAD=∠ABD. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠BAD=45,即∠BDE=∠ADE=45. 又BF=BC,∴BF=DE. ∴在△AED與△DFB中, AD=BD,∠ADE=∠DBF,ED=FB, ∴△AED≌△DFB(SAS), ∴AE=DF,即DF=AE. (2)設(shè)AC與FD交于點(diǎn)O. ∵由(1)知,△AED≌△DFB, ∴∠AED=∠DFB, ∴∠DEO=∠DFG. ∵∠DFG+∠FDG=90, ∴∠DEO+∠EDO=90, ∴∠EOD=90,即DF⊥AC.