九年級數(shù)學 第7講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與圖形面積的綜合問題教案.doc

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二次函數(shù)與圖形面積的綜合問題 知識點 二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質； 教學目標 1. 熟練運用所學知識解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運用數(shù)形結合思想 教學重點 巧妙運用數(shù)形結合思想解決綜合問題； 教學難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題； 知識講解 探究圖形面積的一般思路 要求三角形或四邊形的面積的最大值或是最小值，解決這類問題的基本步驟： （1）首先要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設動點運動個時間t或動點的坐標（t，at2+bt+c） （2）①求三角形面積最值時要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高，此時就先證明涉及到底和高的三角形與已知線段長度的三角形相似，從而求得用含t的代數(shù)式表示底和高； ②求四邊形的面積最值時，常用到的方法是利用割補法將四邊形分成兩個三角形，從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線段； （3）用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積； （4）用二次函數(shù)的知識來求最大值或是最小值。 例題精析 例1如圖， △ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數(shù)的圖像與y軸、x軸的交點，點B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形． （1）試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式； （2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問： ①當P運動到何處時，由PQ⊥AC？ ②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最?。看藭r四邊形PDCQ的面積是多少？  例2如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，聯(lián)結BC、AC． （1）求AB和OC的長； （2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作BC的平行線交AC于點D．設AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍； （3）在（2）的條件下，聯(lián)結CE，求△CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留π）．  例3如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、C兩點，與AB邊交于點D． （1）求拋物線的函數(shù)表達式； （2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m， △CPQ的面積為S． ①求S關于m的函數(shù)表達式，并求出m為何值時，S取得最大值； ②當S最大時，在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上若存在點F，使△FDQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的F的坐標；若不存在，請說明理由．  例4如圖，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C． （1）直接寫出A、D、C三點的坐標； （2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標； （3）設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．  課程小結 有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質及二次函數(shù)的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數(shù)與圖形面積的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與圖形面積的綜合問題時，抓住已有的信息及條件用所設未知數(shù)來表示出圖形的面積，并能運用二次函數(shù)的最值來解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關鍵。 例1【規(guī)范解答】 （1）由，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C關于OA對稱，所以B(－4,0)，BC＝8． 因為AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．將B(－4,0)、D(8,3)分別代入，得 解得，c＝－3．所以該二次函數(shù)的解析式為． （2）①設點P、Q運動的時間為t． 如圖2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝． 當PQ⊥AC時，．所以．解得． 圖2 圖3 ②如圖3，過點Q作QH⊥AD，垂足為H． 由于S△APQ＝， S△ACD＝， 所以S四邊形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝． 所以當AP＝時，四邊形PDCQ的最小值是． 【總結與反思】 1．求拋物線的解析式需要代入B、D兩點的坐標，點B的坐標由點C的坐標得到，點D的坐標由AD＝BC可以得到． 2．設點P、Q運動的時間為t，用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長表示出來． 3．四邊形PDCQ的面積最小，就是△APQ的面積最大． 例2【規(guī)范解答】（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9． （2）如圖2，因為DE//CB，所以△ADE∽△ACB． 所以．而，AE＝m，所以． m的取值范圍是0＜m＜9． 圖2 圖3 （3）如圖2，因為DE//CB，所以． 因為△CDE與△ADE是同高三角形，所以． 所以． 當時，△CDE的面積最大，最大值為． 此時E是AB的中點，． 如圖3，作EH⊥CB，垂足為H． 在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以． 在Rt△BEH中，． 當⊙E與BC相切時，．所以． 【總結與反思】 1．△ADE與△ACB相似，面積比等于對應邊的比的平方． 2．△CDE與△ADE是同高三角形，面積比等于對應底邊的比． 例3 【規(guī)范解答】（1）將A、C兩點坐標代入拋物線 c＝8，， 解得 b＝， c＝8 ，∴拋物線的解析式為 （2）①∵OA=8，OC=6∴過點Q作QE⊥BC與E點，則 ∴∴∴ ∴當m=5時，S取最大值； ②在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，∵拋物線的解析式為的對稱軸為， D的坐標為（3，8），Q（3，4）， 當∠FDQ=90時，F(xiàn)1（ ，8），當∠FQD=90時，則F2（ ，4）， 當∠DFQ=90時，設F（，n），則FD2+FQ2=DQ2，即，解得：， ∴F3（ ，），F(xiàn)4（，）， 滿足條件的點F共有四個，坐標分別為 F1（ ，8），F(xiàn)2（，4），F(xiàn)3（，），F(xiàn)4（，）． 【總結與反思】 1. 將A、C兩點坐標代入拋物線即可求得拋物線的解析式； 2. ①先用m 表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數(shù)，化簡為頂點式，便可求出S的最大值； ②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫． 例4【規(guī)范解答】解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴當y=0時， x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4． 當x=0，y=﹣3．∴A點坐標為（4，0），D點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣3）； （2）∵y=x2﹣x﹣3，∴對稱軸為直線x==1．∵AD在x軸上，點M在拋物線上， ∴當△MAD的面積與△CAD的面積相等時，分兩種情況： ①點M在x軸下方時，根據(jù)拋物線的對稱性，可知點M與點C關于直線x=1對稱， ∵C點坐標為（0，﹣3），∴M點坐標為（2，﹣3）； ②點M在x軸上方時，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3． 當y=4時， x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M點坐標為（1+，3）或（1﹣，3）． 綜上所述，所求M點坐標為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）； （3）結論：存在． 如圖所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意： ①若BC∥AP1，此時梯形為ABCP1． 由點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，可知BC∥x軸，則P1與D點重合，∴P1（﹣2，0）． ∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四邊形ABCP1為梯形； ②若AB∥CP2，此時梯形為ABCP2． ∵A點坐標為（4，0），B點坐標為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，∴可設直線CP2的解析式為y=x+n， 將C點坐標（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直線CP2的解析式為y=x﹣3．∵點P2在拋物線y=x2﹣x﹣3上， ∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化簡得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6， ∴點P2橫坐標為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標為6，∴P2（6，6）． ∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四邊形ABCP2為梯形． 綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形；點P的坐標為（﹣2，0）或（6，6）． 　　　　　 【總結與反思】 1. 令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A點和D點坐標；令x=0，求出y=﹣3，可確定C點坐標； 2. 根據(jù)拋物線的對稱性，可知在在x軸下方對稱軸右側也存在這樣的一個點；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個點，這兩個點分別到x軸的距離等于點C到x軸的距離； 3. 根據(jù)梯形定義確定點P，如圖所示：①若BC∥AP1，確定梯形ABCP1．此時P1與D點重合，即可求得點P1的坐標；②若AB∥CP2，確定梯形ABCP2．先求出直線CP2的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點P2的坐標．