靜態(tài)場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解.ppt
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1,第6章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解,本節(jié)內(nèi)容6.1邊值問(wèn)題的類型6.2唯一性定理,邊值問(wèn)題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程,,,,,2,6.1邊值問(wèn)題的類型,已知場(chǎng)域邊界面S上的位函數(shù)值，即,第一類邊值問(wèn)題（或狄里赫利問(wèn)題）,已知場(chǎng)域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,已知場(chǎng)域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第三類邊值問(wèn)題（或混合邊值問(wèn)題）,第二類邊值問(wèn)題（或紐曼問(wèn)題）,,,,,3,自然邊界條件（無(wú)界空間）,周期邊界條件,銜接條件,不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如,,,,,4,例：,（第一類邊值問(wèn)題）,（第三類邊值問(wèn)題）,例：,,,,,5,在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有唯一值。,6.2唯一性定理,唯一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有唯一解的條件,為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),唯一性定理的表述,,,,,6,唯一性定理的證明,反證法：假設(shè)解不唯一，則有兩個(gè)位函數(shù)和在場(chǎng)域V內(nèi)滿足同樣的方程，即,且在邊界面S上有,令，則在場(chǎng)域V內(nèi),且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件。,或,或,,,,,7,由格林第一恒等式,可得到,,,,對(duì)于第一類邊界條件：,,,,,對(duì)于第二類邊界條件：若和取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn)，則,對(duì)于第三類邊界條件：,,,,,,,8,本節(jié)內(nèi)容6.3.1鏡像法的基本原理6.3.2接地導(dǎo)體平面的鏡像6.3.3點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像6.3.4線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像6.3.5導(dǎo)體球面的鏡像6.3.6導(dǎo)體圓柱面的鏡像,6.3鏡像法,,,,,9,,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,1.問(wèn)題的提出,幾個(gè)實(shí)例,6.3.1鏡像法的基本原理,,,,,接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,10,接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。,,,q,非均勻感應(yīng)電荷,,q′,等效電荷,,,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。,問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？,,,,,11,2.鏡像法的原理,用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，在保持邊界條件不變的情況下，將邊界面移去，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。,,,,,12,3.鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的唯一性定理,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)唯一性定理，只要找出的解答滿足在同一給定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是唯一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。,13,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”。,4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),5.確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場(chǎng)域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中。,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定。,,,,,14,1.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,,滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。,6.3.2接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像電荷,電位函數(shù),因z=0時(shí)，,,,,,15,上半空間(z≥0）的電位函數(shù),導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,,,,,16,2.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),當(dāng)z=0時(shí)，,,,,,,17,例6-7一水平架設(shè)的雙線傳輸線，距地面的高度為h，兩線間的距離為d，導(dǎo)線的半徑為a，如圖所示。求雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。設(shè)d>>a,h>>a。,解：把地面作為無(wú)限大導(dǎo)體平面，電位為0，因?yàn)閍<<(d,h)，所以可近似把及看作是分別處在傳輸線軸線上，采用鏡像法求解。鏡像電荷的分布如圖所示。地面上部空間任一點(diǎn)P的電位就等于這四個(gè)線電荷所產(chǎn)生的電位之和，即,導(dǎo)線1的電位,18,19,20,3.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。,顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿足邊界條件。,對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2),對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2),只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。,電位函數(shù),,,,,21,例6.3.1一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？,解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。,,,由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷應(yīng)位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,,,,,22,6.3.3點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像,特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問(wèn)題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h，求空間各點(diǎn)的電位。,分析方法：計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,,,,,23,介質(zhì)1中的電位為,計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為,,,,,24,可得到,說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為,,利用電位滿足的邊界條件,,,,,25,特點(diǎn)：在直線電流I產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。,問(wèn)題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無(wú)限長(zhǎng)直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。,分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,6.3.4線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像,,,,,26,因?yàn)殡娏餮貀軸方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有y分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為,在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。,,,,,27,相應(yīng)的磁場(chǎng)可由求得。,,可得到,故,利用矢量磁位滿足的邊界條件,,,,,28,6.3.5導(dǎo)體球面的鏡像,1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來(lái)等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定和q′。,問(wèn)題：,,,,,29,令r＝a，由球面上電位為零，即?＝0，得,此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。,,,,,為了確定和，可在球面上取過(guò)的直徑的兩端點(diǎn)，對(duì)于這兩端點(diǎn)的電位式為,30,由以上兩方程解得,31,可見(jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,,,,,32,點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，點(diǎn)電荷q位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d|q|，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑b無(wú)關(guān)（為什么？）,,,,,與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到,33,球殼內(nèi)的電位,感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為,導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為,可見(jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。,,,,,34,2.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：,導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零。,采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷,點(diǎn)電荷q位于一個(gè)半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。,,,,,35,然后斷開(kāi)接地線，并將電荷－q加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q"來(lái)替代，即,球外任意點(diǎn)的電位為,,,,,36,6.3.6導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,,,,,,,,,,,,,,問(wèn)題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。,特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。,1.線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,37,由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)時(shí)，電位應(yīng)為零，即,所以有,設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù),,由于上式對(duì)任意的都成立，因此，將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到,,,,,38,導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：,由時(shí)，,故,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為,導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,,,,,,39,2.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖2所示。,問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷和。,,,,,40,通常將帶電細(xì)線所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。,由,,,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b。,思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？,,,,,導(dǎo)體圓柱外任一點(diǎn)的電位為,41,6.4分離變量法,本節(jié)內(nèi)容6.4.1分離變量法解題的基本原理6.4.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法6.4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法6.4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法,,,,,42,將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來(lái)，得到級(jí)數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。,分離變量法是求解邊值問(wèn)題的一種經(jīng)典方法,分離變量法的理論依據(jù)是唯一性定理,分離變量法解題的基本思路：,6.4.1分離變量法解題的基本原理,,,,,43,在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為,6.4.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法,將?(x,y)表示為兩個(gè)一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x)Y(y)，有,,,,,44,若取λ＝－k2，則有,,當(dāng),,,當(dāng),,,,,,45,將所有可能的?(x,y)線性疊加起來(lái)，則得到位函數(shù)的通解，即,若取λ＝k2，同理可得到,通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。,,,,,46,例6.4.1無(wú)限長(zhǎng)的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計(jì)算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。,解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為,,因?(0,y)＝0、?(a,y)＝0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為,,,,,47,,確定待定系數(shù),,,,,,,,,,,,48,,,,,將U0在（0,a）上按展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，即,其中,,,,,49,,由,故得到,,,,,50,6.4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,令其解為,代入方程，可得到,由此可將拉普拉斯方程分離為兩個(gè)常微分方程,在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為,通常?(ρ,?)隨變量?的變化是以2?為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù)k應(yīng)為整數(shù)，即k＝n(n＝0,1,2,…)。,,,,,51,當(dāng)n=0時(shí),考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式,,當(dāng)n≠0時(shí),,,,,,52,解選取圓柱坐標(biāo)系，令z軸為圓柱軸線，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與x軸一致，即,當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時(shí)，圓柱內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z無(wú)關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個(gè)邊界條件：,例6.4.2均勻外電場(chǎng)中，有一半徑為a、介電常數(shù)為ε的無(wú)限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場(chǎng)垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)、外的電位函數(shù)和電場(chǎng)強(qiáng)度。,,,,,53,①由于圓柱表面電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零，即,②無(wú)限遠(yuǎn)處的電場(chǎng)未受到擾動(dòng)，因此電位應(yīng)為,那么，根據(jù)應(yīng)滿足的邊界條件即可求得系數(shù)C1、D1應(yīng)為,,此式表明，無(wú)限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為cos?的函數(shù)，可見(jiàn)系數(shù)，且。因此電位函數(shù)為,,,,,54,代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為,則圓柱外電場(chǎng)強(qiáng)度為,圓柱外電場(chǎng)線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如圖所示。,圓柱表面的電荷分布,,,,,55,6.4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為,令,代入上式，得,與前同理，?的解應(yīng)為,且,,,,,56,上式中第一項(xiàng)僅為r的函數(shù)，第二項(xiàng)與r無(wú)關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令,式中n為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為,且,令，則上式變?yōu)?上式為連帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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